2026-2027学年广东省深圳市北理莫斯科大学附属实验中学高三上学期8月练习数学试卷（含解析）

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题8分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B.C. D.2.已知等差数列的前n项和为，若，则（）A.48 B.42 C.24 D.213.已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的分位数为（）A.4.5 B.5 C.5.5 D.64.定义运算：．已知，则（）A. B. C. D.5.已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩近似服从正态分布，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计（）A. B. C. D.6.已知函数在上单调递减，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.已知圆台的上､下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（）A. B. C. D.8.已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1，过点的直线与交于两点，过点作的切线与轴分别交于两点，则（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的0分.9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.与有相同的最小值C.直线为图象的一条对称轴D.将的图象向左平移个单位长度后得到的图像10.已知函数，则（）A.1是的极小值点B.的图象关于点对称C.有3个零点D.当时，11.已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在下底面内（含边界），动点在直线上，且，则（）A.三棱锥的体积为定值B.动点的轨迹长度为C.不存在点，使得平面D.四面体DEFG体积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，若，则______.13.已知多项式（），__________．14.机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于______．四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知中，角所对的边分别为，其中.（1）求的值；（2）若的面积为，周长为6，求的外接圆面积.16.已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在上.（1）求的方程；（2）已知为坐标原点，点在直线上，若直线与相切，且，求的值.17.如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，将四边形沿着线段折起，连接就得到了一个三棱柱（如图2）.（1）若是四边形对角线的交点，求证：平面；（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.18.人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为.（1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率；（2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率；（3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望.19.已知．（1）讨论的单调性；（2）若在有两个零点，求的取值范围；（3）若在上恒成立，求的取值范围．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题8分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：因为函数是增函数，所以集合，，所以2.已知等差数列的前n项和为，若，则（）A.48 B.42 C.24 D.21答案：B解析：思路：利用等差数列项的性质求出的值，再由等差数列的求和公式即可得解.解答过程：因为等差数列，故，则.故选：B.3.已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的分位数为（）A.4.5 B.5 C.5.5 D.6答案：C解析：思路：由平均数及百分位数的定义求解即可.解答过程：依题意，，解得，将数据从小到大排列可得：，又，则分位数为.故选：C.4.定义运算：．已知，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据定义得出，再根据同角三角函数的商数关系即可求解．解答过程：依题意，，则，故.故选：D．5.已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩近似服从正态分布，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：解法一，求出，根据正态分布的对称性，即可求得答案；解法二，求出数学成绩在80分至95分的人数，由对称性，再求出数学成绩在95分至110分的人数，即可求得答案.解答过程：解法一：依题意，得，故；解法二：数学成绩在80分至95分的有人，由对称性，数学成绩在95分至110分的也有2500人，故.故选：B.6.已知函数在上单调递减，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由函数在上单调递减，列出相应的不等式组，即可求解.解答过程：当时，，因为和都是减函数，所以在上单调递减，当时，，要使其在上单调递减，则，所以，解得，故D正确.故选：D.7.已知圆台的上､下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由圆台的侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得到高即可计算；解答过程：依题意，记圆台的上､下底面半径分别为，则，则，设圆台的母线长为，则，解得，则圆台的高，记外接球球心到上底面的距离为，则，解得.故选：C.8.已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1，过点的直线与交于两点，过点作的切线与轴分别交于两点，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：通过联立方程组的方法求得的坐标，然后根据向量数量积运算求得.解答过程：依题意，抛物线，即，则，设，直线，联立得，则.而直线，即，令，则，即，令，则，故，则，故.故选：C方法提示：求解抛物线的切线方程，可以联立切线的方程和抛物线的方程，然后利用判别式来求解，也可以利用导数来进行求解.求解抛物线与直线有关问题，可以利用联立方程组的方法来求得公共点的坐标.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的0分.9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.与有相同的最小值C.直线为图象的一条对称轴D.将的图象向左平移个单位长度后得到的图像答案：ABD解析：思路：对于A：根据正弦型函数的最小正周期分析判断；对于B：根据解析式可得与的最小值；对于C：代入求，结合最值与对称性分析判断；对于D：根据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断.解答过程：因为，对于选项A：的最小正周期，故A正确；对于选项B：与的最小值均为，故B正确；对于选项C：因为，可知直线不为图象的对称轴，故C错误；对于选项D：将的图象向左平移个单位长度后，得到，故D正确.故选：ABD.10.已知函数，则（）A.1是的极小值点B.的图象关于点对称C.有3个零点D.当时，答案：AB解析：思路：利用导数求函数极值点判断选项A；通过证明得函数图象的对称点判断选项B；利用函数单调性判断选项C；利用单调性比较函数值的大小判断选项D.解答过程：对于A，函数，，令，解得或，故当时，当时，，当时，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故1是的极小值点，故A正确：对于B，因为，所以的图象关于点对称，故B正确；对于C，，易知的单调性一致，而，故至多有2个零点，故C错误；对于D，当时，，而在上单调递增，故，故D错误.故选：AB.11.已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在下底面内（含边界），动点在直线上，且，则（）A.三棱锥的体积为定值B.动点的轨迹长度为C.不存在点，使得平面D.四面体DEFG体积的最大值为答案：ACD解析：思路：对于A，由题意可证平面，因此点到平面的距离等于点到平面的距离，其为定值，据此判断A；对于B，根据题意求出正方体边长及的长，由此可知点的运动轨迹；对于C，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，假设点的坐标，求出的方向向量，假设平面，则平面的法向量和的方向向量共线，进而求出点的坐标，再判断点是否满足B中的轨迹即可；对于D，利用空间直角坐标系求出点到平面的距离，求出距离的最大值即可.解答过程：对于A，如图，连接、，依题意，，而平面平面，故平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，其为定值，所以点到平面的距离为定值，故三棱维的体积为定值，故正确；对于B，因为正方体的体积为8，故，则，而，故，故动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在底面内的部分，即四分之一圆弧，故所求轨迹长度为，故B错误；以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，设为平面的法向量，则故令，故为平面的一个法向量，设，故，若平面，则，则，解得，但，所以不存在点点，使得平面，故C正确；对于D，因为为等腰三角形，故，而点到平面的距离，令，则，则，其中，则四面体体积的最大值为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，若，则______.答案：解析：思路：利用向量的线性运算并由向量垂直的坐标表示列式即可求解.解答过程：依题意，，故，解得.故13.已知多项式（），__________．答案：解析：思路：根据多项式的展开式，由常数项为0求出，再利用通项公式分别求得，即可.解答过程：因为，所以，即，解得.又，，所以.14.机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于______．答案：##解析：思路：依题意，利用等腰三角形求得,再由余弦定理求出椭圆长轴长，作出圆锥的轴截面交椭圆于点，建立坐标系，利用三角形重心性质和相似三角形求出点坐标，代入椭圆方程即可求得半短轴长，利用离心率定义计算即得.解答过程：如图，设,因,故，又,由余弦定理，，即,设椭圆中心为,作圆锥的轴截面,与底面直径交于，与椭圆交于，连交于，以点为原点，为轴，建立直角坐标系.则,又由得,从而则得,不妨设椭圆方程为，把和点坐标代入方程，解得，则，故故答案为.四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知中，角所对的边分别为，其中.（1）求的值；（2）若的面积为，周长为6，求的外接圆面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求得.（2）根据三角形的面积公式、余弦定理等知识求得外接圆的半径，从而求得外接圆的面积.（1）由正弦定理得，因为，故，则，因为，故.（2）由题意，故.由余弦定理得，解得.故的外接圆半径，故所求外接圆面积.16.已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在上.（1）求的方程；（2）已知为坐标原点，点在直线上，若直线与相切，且，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及的关系式列出方程组，解之即得；（2）将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由推得，又由，写出直线的方程，与直线联立，求得点坐标，计算，将前式代入化简即得.（1）设，依题意，解得故的方程为.（2）如图，依题意，联立消去，可得，依题意，需使，整理得（*）.因为，则直线的斜率为，则其方程为，联立解得即故，将（*）代入得，故.17.如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，将四边形沿着线段折起，连接就得到了一个三棱柱（如图2）.（1）若是四边形对角线的交点，求证：平面；（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明：取中点，连接，由题意知，，且，因为是矩形对角线的交点，所以，且，所以，且，所以四边形AOMG为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）取中点，连接，由中位线关系证明四边形AOMG为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得；（2）先确定就是二面角的平面角，再建立如图所示空间直角坐标系，利用二面角确定点，再求出平面的法向量，代入空间线面角公式可得.（1）略（2）在图1中，，且，在图2中，上述关系依然成立，所以就是二面角的平面角，即，故以为坐标原点，分别为轴，轴正方向，垂直平面向上的方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则，因为，，所以，即，又，所以，所以，设平面的法向量为，则取，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为.（1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率；（2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率；（3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望.答案：（1）（2）（3）0123解析：思路：（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式进行求解；（2）由条件概率求解公式可得；（3）先求出A，