2026-2027学年湖南省娄底市涟源市部分学校高二上学期入学考试数学试卷（含解析）

/数学（考试时长：90分钟，共100分）一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知为两条不同直线，为三个不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题序号为（）A.②③ B.②③④ C.①④ D.①②③2.已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（）A.， B.， C.， D.，3.某位同学参加歌唱比赛，有8位评委．歌唱结束后，各评委打分的平均数为5，方差为3．又加入一个特邀嘉宾的打分为5，此时这9个分数的平均数为，方差为，则（）A.， B.， C.， D.，4.如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（

）A.B.C.四边形的周长为D.四边形的面积为5.在中，是线段的中点，是线段的中点，则（）A. B.C. D.6.已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.7.如图，的外接圆的圆心为,,,,则等于()A. B.3 C.2 D.8.若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（）A. B. C.[3，5] D.二、多选题（本大题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.设复数满足，为复数的共轭复数，则下列说法正确的是（）A. B.的虚部为C.是个纯虚数 D.复数对应的点位于复平面的第二象限10.如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（

）A.存在点，使得平面，B.过点三点的平面截正方体所得截面的面积最大为5C.当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，且定值为D.的最小值为三、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分，把答案填在题中的横线上）11.如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________12.为所在平面外一点，为在平面上的射影.若､､与平面所成的角相等，则是的___________心.四、解答题（本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩中抽取容量为n的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间的人数为5．（1）求样本容量n以及频率分布直方图中的x；（2）估计全年级学生竞赛成绩的平均数；（3）从样本中得分在[80,100]的学生中随机抽取两人，问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是多少？14.记的内角的对边分别为，已知.（1）若，求；（2）若是的中点，且，求；（3）若，求的面积.15.每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．（1）若，求乙恰好有一轮胜出的概率；（2）若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为．①求p，q的值；②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率．16.如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，.（1）求证：平面；（2）求直线到平面的距离；（3）若点P是正方形内的动点（不含边界），且满足，设直线与平面所成角为，求的取值范围.

数学（考试时长：90分钟，共100分）一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知为两条不同直线，为三个不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题序号为（）A.②③ B.②③④ C.①④ D.①②③答案：C解析：思路：根据面面平行的性质和判定，结合线面垂直的性质，对每个选项进行逐一分析即可.解答过程：根据面面平行的性质以及判定定理可得，若，，则，故①正确；若，，平面可能相交，故②错误；若，，则可能平行，故③错误；由线面垂直的性质可得，垂直于同一个平面的两直线平行，故④正确；综上所述，正确的是①④.故选.方法提示：本题考查面面平行的判定和性质，涉及线面垂直的性质，属综合基础题.2.已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（）A.， B.， C.， D.，答案：A解析：思路：根据空间向量的基底向量的定义，及共面向量的定义逐项分析判断即可．解答过程：对于选项A，假设存在实数，，使得，则，方程无解，即不存在实数，使得上式成立，所以，，不共面，能构成一组基底，故A正确；对于选项B，假设存在实数，，使得，则，解得，即存在实数，使得上式成立，所以，，共面，不能构成一组基底，故B错误；对于选项C，假设存在实数，，使得，则，解得，即存在实数，使得上式成立，所以，，共面，不能构成一组基底，故C错误；对于选项D，假设存在实数，，使得，则，解得，即存在实数，使得上式成立，所以，，共面，不能构成一组基底，故D错误．3.某位同学参加歌唱比赛，有8位评委．歌唱结束后，各评委打分的平均数为5，方差为3．又加入一个特邀嘉宾的打分为5，此时这9个分数的平均数为，方差为，则（）A.， B.， C.， D.，答案：B解析：思路：由平均数和方差的计算公式可判断.解答过程：某位同学参加歌唱比赛，有8位评委．歌唱结束后，各评委打分的平均数为5，方差为3．又加入一个特邀嘉宾的打分为5，此时这9个分数的平均数为，方差为s2，则，．故选B．方法提示：本题考查平均数、方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（

）A.B.C.四边形的周长为D.四边形的面积为答案：D解析：思路：利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关.解答过程：如图可知，四边形的周长为，四边形的面积为.故选:D.5.在中，是线段的中点，是线段的中点，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据平面向量的线性运算求解.解答过程：因为是线段的中点，所以.因为是线段的中点，所以，则.故选：D6.已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台体积公式求解即可.解答过程：如图，设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心O一定在的中点处，设球O与母线切于M点，所以，所以，所以与全等，所以，同理，所以，过A作，垂足为G，则，，所以，所以，所以，所以，所以该圆台的体积为.故选：C7.如图，的外接圆的圆心为,,,,则等于()A. B.3 C.2 D.答案：D解析：思路：取的中点为，连接，则可转化为.解答过程：取的中点为，连接，则，又，故选D.方法提示：向量的数量积的计算，有四种途径：（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标来求，把数量积的计算归结坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量的数量积转化到题设中的角或边对应的向量．8.若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（）A. B. C.[3，5] D.答案：B解析：思路：根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围.解答过程：由题意可得：，即是上的“完整函数”，所以存在，使得成立；即存在，使得成立；又因为，因此，即在上至少存在两个最大值点，所以，解得；当，即时，一定满足题意；若，因为，，所以，又易知；所以只需保证即可，解得，综上可知．故选：B．二、多选题（本大题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.设复数满足，为复数的共轭复数，则下列说法正确的是（）A. B.的虚部为C.是个纯虚数 D.复数对应的点位于复平面的第二象限答案：AC解析：解答过程：对于A选项，，由可得，则，A对；对于B选项，，故的虚部为，B错；对于C选项，，故为纯虚数，C对；对于D选项，复数在复平面对应的点的坐标为，位于第一象限，D错.10.如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（

）A.存在点，使得平面，B.过点三点的平面截正方体所得截面的面积最大为5C.当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，且定值为D.的最小值为答案：ACD解析：思路：根据题意，证得平面和平面，得到平面平面，可判定A正确；得到过点的截面为平行四边形，结合，可判定B不正确；证得平面，得到点和到平面的距离相等，结合，可判定C正确；将等腰直角展开到与矩形在同一个平面内，在中，利用余弦定理，可判定D正确.解答过程：对于A，如图（1）所示，分别连接，在正方体中，可得，因为平面，平面，所以平面，同理可证：平面，因为，且平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面，所以A正确；对于B，如图（2）所示，过点在平面内，作，交分别为，则过点的截面为平行四边形，设，其中，可得，，当时，即点与重合时，，此时，所以；当时，可得且，所以，综上可得，截面平行四边形的面积，所以B不正确；对于C，如图（3）所示，因为，且平面，平面，所以平面，又因为，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，所以，所以三棱锥的体积为定值，且定值为，所以C正确；对于D，如图（4）所示，将等腰直角展开到与矩形在同一个平面内，此时点为点，则满足，当且仅当三点共线时，取得等号，在中，，则，所以的最小值为，所以D正确.三、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分，把答案填在题中的横线上）11.如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________答案：解析：解答过程：因为的坐标为，所以，，，所以，，故.12.为所在平面外一点，为在平面上的射影.若､､与平面所成的角相等，则是的___________心.答案：外解析：思路：由条件证明，由此判断是的外心.解答过程：如图，因为为在平面上的射影，所以平面，又平面，所以，，，即，因为平面，所以分别为，，与平面所成的角的平面角，由已知可得，又，所以，所以，所以是的外心，故外.四、解答题（本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩中抽取容量为n的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间的人数为5．（1）求样本容量n以及频率分布直方图中的x；（2）估计全年级学生竞赛成绩的平均数；（3）从样本中得分在[80,100]的学生中随机抽取两人，问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是多少？答案：（1），（2）（3）解析：思路：（1）由成绩在区间的频率为，求得样本容量，频率分布直方图中频率和为1求得；（2）根据频率分布直方图估计平均数；（3）列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得所求概率．（1）成绩在区间的频率为，，由频率分布直方图可得第4组的频率为，故.（2）先估计所抽取的25名学生成绩的平均数为（分），估计全年级学生竞赛成绩的平均数为；（3）得分成绩在有（人），这组的3名学生分别为，，，得分在区间[90，100]有（人），这组的2名学生分别为，，随机抽取两人，所以可能的结果为共10种，所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90，100]的结果为共7种，故所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是.14.记的内角的对边分别为，已知.（1）若，求；（2）若是的中点，且，求；（3）若，求的面积.答案：（1）或；（2）；（3）.解析：思路：（1）应用正弦定理求角的大小；（2）由及余弦定理得，法一：应用正余弦定理得，即可求边长；法二：延长至点，使得，连接，易得，利用等比例性质求边长；（3）在内作，再由正弦定理、三角形面积公式求面积.（1）在中，由正弦定理，即，解得，所以或.（2）因为，即，化简得①.法一：在中，由正弦定理，，在中，由正弦定理，，又，所以，在中，由余弦定理可得，所以，则②.联立①②得，即，解得或（舍）或（舍）.所以.法二：延长至点，使得，连接，由题意，则，即，整理得③.联立①③，，解得或（舍）.所以.（3）在内作，所以，设，在中，由正弦定理知，即，知，所以，所以.15.每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．（1）若，求乙恰好有一轮胜出的概率；（2）若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为．①求p，q的值；②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率．答案：（1）（2）①，；②解析：思路：（1）利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可；（2）①根据对立事件和独立事件的概率公式列方程，即可求解；②先根据独立事件的概率公式求“甲两轮都胜出”和“乙两轮都胜出”的概率，再利用互斥事件和独立事件的概