2026-2027学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高一上学期入学考试数学试卷（含解析）

/数学一、单选题1.已知.则（）A. B. C. D.不能确定2.若集合，集合，则等于A. B. C. D.3.已知，，若集合，则的值为（）A. B. C. D.4.已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（）A.且 B. C.且 D.5.对任意实数，直线一定经过点（

）A. B. C. D.6.若，则使最接近的正整数是（）A. B. C. D.7.如图，在矩形纸片中，点是边的中点，点在边上．将该纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若，则的值是（

）A. B. C. D.8.如图，在平面直角坐标系中，一条直线与x轴、y轴分别交于、，二次函数（m，n是常数）的图像的顶点P在线段上，则n的最小值为（

）A.0 B. C. D.9.如图，已知内接于半径为1的，（是锐角），则的面积的最大值为（

）A. B.C. D.10.如图，在边长为的正方形中，点，分别为边，上的点，且，与交于点，连结．取的中点，连结，，则的最小值为（

）A.6 B.C.3 D.二、填空题11.若集合，集合，用列举法表示________.12.已知，则的取值范围是_________13.不等式的解集为________．14.若，则_____.15.设集合.且，则实数的取值范围为_____.16.小明在解方程时采用了下面的方法：由又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解．请你学习小明的方法，解决下列问题：解方程，得方程的解为______．17.二次函数（为常数且）的图象经过点．（1）______；（2）已知平面内有两点，若该函数图象与线段有交点，则的取值范围是______．18.如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB，则△PAB面积的最大值是_______.三、解答题19.计算：（1）；（2）．20.已知：，，．求代数式的值．21.因式分解：（1）（2）（3）22.阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似．例如：解方程，解得，．同样我们也可以化简．读完这段文字，请解答以下问题：（1）填空：，，，；（2）在复数范围内解方程：；（3）在复数范围内解方程：．23.研究函数的图象和性质，可以通过列表、描点、连线画出函数图象，然后结合函数图象进行分析．探究过程如下：（1）求函数的自变量x的取值范围是______．（2）y与x的几组对应值如表：x…﹣3﹣2﹣1011.52.534567…y…2.8m2.521543.5n3.2…根据表格中的数据，在同一平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线进行连线，画出图象的另外一支，并写出m＋n﹣4＝______．（3）观察图象可知，函数图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心的坐标是______，它的对称轴的解析式是______．（4）当x满足______时，y随x的增大而减小．（5）结合函数图象填空：当关于x的方程有两个不相等的实数根时，实数k的取值范围是______；关于x的方程无实数根时，实数k的取值范围是______．24.如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接、．已知，，，设．（1）用含x的代数式表示的长．（2）点C在上什么位置时，的值最小？最小值是多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式的最小值．25.解下列关于的不等式（结果请写成集合或者区间的形式）：（1）；（2）；（3）；（4）.26.（1）已知关于x的不等式的解集为（i）求实数a，b的值；（ii）求关于x的不等式（其中c为实数)的解集.（2）关于x的不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.

数学一、单选题1.已知.则（）A. B. C. D.不能确定答案：A解析：思路：先利用作差法比较与，再由于大于零，从而可比较出的大小.解答过程：因为，所以，所以，因为大于零，所以，故选：A.2.若集合，集合，则等于A. B. C. D.答案：C解析：思路：解一元二次不等式求得，然后求两个集合的交集.解答过程：由解得，故，故选C.方法提示：本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.3.已知，，若集合，则的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：本题可根据得出，然后通过计算以及元素的互异性得出、的值，即可得出结果.解答过程：因为，所以，解得或，当时，不满足集合元素的互异性，故，，，故选：B.方法提示：易错点睛：通过集合相等求参数时，要注意求出参数后，检验集合中的元素是否满足互异性，考查计算能力，是中档题.4.已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（）A.且 B. C.且 D.答案：B解析：解答过程：当，即，方程为，解得，方程有实数根，符合题意；当，即，∵此时一元二次方程有实数根，∴，解得且；综上，的取值范围是．5.对任意实数，直线一定经过点（

）A. B. C. D.答案：C解析：思路：将方程化为，令，即可求解.解答过程：因为，令，解得，，所以直线都经过平面内一个定点．6.若，则使最接近的正整数是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用裂项相消法得，再与比较，即可求解.解答过程：∵，，，，∴，显然随着正整数的增大而减小，当时，，；当时，，，显然，所以使最接近的正整数是.7.如图，在矩形纸片中，点是边的中点，点在边上．将该纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若，则的值是（

）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用设参数，结合矩形性质、折叠得到、垂直平分，再用勾股定理求出线段长，转化角求.解答过程：作于点，连接交于点，设，则，∴，∵矩形，∴，，∴四边形是矩形，∴.∵点是边的中点，∴，∴，由折叠的性质知，垂直平分，∴，在中，由勾股定理得，即，解得，∵，∴，∴，∴．8.如图，在平面直角坐标系中，一条直线与x轴、y轴分别交于、，二次函数（m，n是常数）的图像的顶点P在线段上，则n的最小值为（

）A.0 B. C. D.答案：B解析：思路：先设直线代入计算求解直线，再结合二次函数的性质计算求解.解答过程：解：，顶点为，设直线的解析式为，把、代入可得，，解得，所以直线的解析式为，二次函数的顶点P在线段上，，且，，在时，取最小值为．9.如图，已知内接于半径为1的，（是锐角），则的面积的最大值为（

）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据图形确定的面积最大时的高，结合三角函数分别表示，再根据三角形面积公式求解即可.解答过程：如图所示，当的高经过圆的圆心时，此时的面积最大，∵，∴，，在中，，，∴，∴，，∴.10.如图，在边长为的正方形中，点，分别为边，上的点，且，与交于点，连结．取的中点，连结，，则的最小值为（

）A.6 B.C.3 D.答案：B解析：思路：过点作于点，交于点，证明，进而证明，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而设，则，根据勾股定理建立二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．解答过程：如图所示，过点作于点，交于点，∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∵∴∴四边形是矩形，∴，，∴∴，在和中，∴∴又∵∴∴∵是的中点，∴∴，∴的最小值为的长，设，则，在中，∵，当时，有最小值∴的最小值为.二、填空题11.若集合，集合，用列举法表示________.答案：解析：思路：应先分析元素所具有的公共特征，通过解方程组即可获得问题的解答．解答过程：解方程组：，可得：，集合.故答案为.方法提示：本题考查集合的表示法，考查交集及其运算，解题时应注意元素形式为有序实数对．12.已知，则的取值范围是_________答案：解析：思路：根据不等式性质求解.解答过程：因为，所以，因此方法提示：本题考查不等式性质，考查基本分析求解能力，属基础题.13.不等式的解集为________．答案：解析：思路：将，转化为不等式组求解即可.解答过程：因为，所以所以即所以不等式的解集为．故．14.若，则_____.答案：或2解析：思路：由于任何非0数的0次幂等于1，1的任何次幂都等于1，的偶次幂等于1，故应分三种情况进行讨论求解即可.解答过程：当时，即时，此时有，显然成立；当时，即时，此时有，显然成立；当时，即时，此时有，显然不成立，舍去.故或2方法提示：本题考查了指数幂的运算性质，考查了数学运算能力.15.设集合.且，则实数的取值范围为_____.答案：解析：思路：由题意可得，分、、、分别求解即可.解答过程：因为，所以，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；综上所述，实数的取值范围是.故16.小明在解方程时采用了下面的方法：由又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解．请你学习小明的方法，解决下列问题：解方程，得方程的解为______．答案：或解析：思路：根据小明的方法，令乘以，根据平方差公式化简并整理，可得，两式相加可得，再两边平方并求解得解，最后代入原式检验，从而得到原方程的解.解答过程：由，又由，可得，将这两式相加可得，即将两边平方得:整理得：，解得：或，经检验或是原方程的解，故原方程的解为或．17.二次函数（为常数且）的图象经过点．（1）______；（2）已知平面内有两点，若该函数图象与线段有交点，则的取值范围是______．答案：①.②.解析：思路：（1）将点代入二次函数即可；（2）计算二次函数图象上纵坐标为的点的横坐标，利用该横坐标在之间即可.解答过程：（1）把点代入二次函数，得，解得.（2）二次函数（为常数且），当时，得.因式分解得，解得.∵，∴.∵，，∴当二次函数图象与线段有交点时，得，即，解得.∴的取值范围是.18.如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB，则△PAB面积的最大值是_______.答案：解析：思路：过点C作CD⊥AB于D，延长DC交⊙C于另一点P′，此时△P′AB的面积最大，将x＝0、y＝0代入y＝x﹣3中求出与之相对应的y、x的值，进而可得出点A、B的坐标，由∠ABO＝∠CBD、∠AOB＝∠CDB＝90°即可证出△AOB∽△CDB，再根据相似三角形的性质求出CD的长度，将其+1即可得出DP′的长度，利用三角形的面积公式即可求出△PAB面积的最大值.解答过程：过点C作CD⊥AB于D，延长DC交⊙C于另一点P′，连接P′A、P′B，此时△P′AB的面积最大，如图所示.当x＝0时，y＝﹣3，∴点；当y＝x﹣3＝0时，x＝4，∴点.∵点，∴,AB＝＝5.∵∠ABO＝∠CBD，∠AOB＝∠CDB＝90°，∴△AOB∽△CDB，∴，∴CD＝＝，∴DP′＝CD+CP′＝+1＝.∴S△P′AB＝ABP′D＝×5×＝.故答案为.方法提示：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及三角形的面积，找出△PAB面积取最大值时点P的位置是解题的关键.本题属于中档题，难度不大，利用相似三角形的性质或者面积法求出CD的长度是解决此题的突破点.三、解答题19.计算：（1）；（2）．答案：（1）（2）解析：解答过程：（1）解：；（2）解：．20.已知：，，．求代数式的值．答案：6解析：思路：先将每个等式求倒数，然后组成方程组，用(①+②+③)÷2得，然后用④分别减①②③求解即可.解答过程：解：∵，，，∴，，，∴，(①+②+③)÷2得：④，④-①得，解得，④-②得，解得，④-③得，解得，∴.21.因式分解：（1）（2）（3）答案：（1）（2）（3）解析：思路：根据代数式的乘法运算法则，对代数式进行因式分解即可.（1）.（2）.（3）．22.阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似．例如：解方程，解得，．同样我们也可以化简．读完这段文字，请解答以下问题：（1）填空：，，，；（2）在复数范围内解方程：；（3）在复数范围内解方程：．答案：（1），1，，1；（2），；（3），．解析：思路：（1）根据虚单位的概念求解；（2）两边开方后求解即可；（3）由配方法求解.（1）解：；；；；（2）解：∵，∴，∴，∴，；（3）解：，，，∴，解得：，．23.研究函数的图象和性质，可以通过列表、描点、连线画出函数图象，然后结合函数图象进行分析．探究过程如下：（1）求函数的自变量x的取值范围是______．（2）y与x的几组对应值如表：x…﹣3﹣2﹣1011.52.534567…y…2.8m2.521543.5n3.2…根据表格中的数据，在同一平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线进行连线，画出图象的另外一支，并写出m＋n﹣4＝______．（3）观察图象可知，函数图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心的坐标是______，它的对称轴的解析式是______．（4）当x满足______时，y随x的增大而减小．（5）结合函数图象填空：当关于x的方程有两个不相等的实数根时，实数k的取值范围是______；关于x的方程无实数根时，实数k的取值范围是______．答案：（1）

且（2）2（3）；和.（4）或（5）；.解析：思路：（1）由分式分母不等于0，二次根式被开方数大于或等于0列出相应的不等式，求解可得；（2）根据解析式，结合表格分别求得的值，从而求得的值；（3）由图象和（2）中的表格可看出对称中心，又函数的图象的对称中心是，对称轴是和，因此结合函数图象变换可得函数的图象的对称轴；（4）直接观察图象可得；（5）因为过函数的图象的对称中心，所以分三种情况，分析随x的增大的变化情况，即可得相应的方程的实数根的情况，从而得解.（1）由，得且.（2）当时，，所以；当时，.所以.（3）观察图象，结合（2）问表格可得，函数的图象的对称中心的坐标是.又函数的图象的对称中心是，对称轴是和，函数的图象可由函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到，所以函数的图象的对称轴为和，即和.（4）由图象可知，当或时，均随x的增大而减小.（5）由图象可得，当时，，即与的图象无交点，即关于x的方程无实数根；函数过定点，即函数的图象的对称中心.当时，随x的增大而减小，所以若，则的图象在的下方；若，则的图象在的上方；此时，函数的图象与的图象无交点，即关于x的方程无实数根；当时，随x的增大而增大，所以若，则的图象在的上方；若，则的图象在的下方；此时，函数的图象的两支分别与的图象有一个交点，即关于x的方程有两个实数根；综上所述，当关于x的方程有两个不相等的实数根时，实数k的取值范围是；关于x的方程无实数根时，实数k的取值范围是.24.如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接、．已知，，，设．（1）用含x的代数式表示的长．（2）点C在上什么位置时，的值最小？最小值是多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式的最小值．答案：（1）（2）点A、C、E在一条直线上；（3）25解析：思路：（1）使用勾股定理求解；（2）使用两点之间线段最短说明当点A、C、E在一条直线上时的值最小，并计算最小值；（3）使用第二问的结论，当点M、H、N在一条直线上时的值最小，延长至G，使，连接求解.（1）已知，，∴，∵，，，∴，，∴．（2）当点A、C、E在一条直线上时的值最小，最小值是；理由如下：如图，延长至F，使，连接由，则，，∴四边形是矩形，∴，∴，由两点之间线段最短，可知当点A、C、E在一条直线上时的值最小，最小值是．（3）如图，H为线段上一动点，分别过点P、Q作，连接、．已知，，，设．∴，可知当点M、H、N在一条直线上时的值最小，延长至G，使，连接，同理可证四边形是