2026-2027学年江苏省常州市常州高级中学高三上学期期初调研考试数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的最小正周期和最大值分别是（）A.和 B.和2 C.和 D.和22.设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（）A. B. C. D.3.已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（）A. B. C. D.4.已知向量a，b满足，，且对，，则=（）A.-2 B.-1 C.1 D.25.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，是指在下雨时可以用圆台形的盆接雨水来测量降雨量.若一个圆台形盆的上口直径为40cm，盆底直径为20cm，盆深20cm，某次下雨盆中积水10cm，则这次降雨量最接近（注：降雨量等于盆中水的体积除以盆口面积）（）A.3.4cm B.3.8cm C.4.0cm D.5.8cm6.已知函数是奇函数，若，则实数的值为（）A.1 B. C. D.07.已知点P在曲线上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A. B.C. D.8.从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合A，，则在的条件下，恰有个元素的概率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的有（）A. B.C. D.10.已知，，且在区间内有最大值，无最小值，则可能的取值有（）A. B. C. D.11.如图，在棱长为1的正方体中，E是棱DD₁上的动点(不含端点)，过A，B₁，E三点的平面α将正方体分为两个部分，则下列说法正确的是（）A.正方体被平面α所截得的截面形状为梯形B.存在一点E，使得点A₁和点C到平面α的距离相等C.正方体被平面α所截得的截面的面积随着线段D₁E的长度的增大而增大D.当正方体被平面α所截得的上部分的几何体的体积为时，E是DD₁的中点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则______.13.某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则至少经过______次过滤才能达到市场要求．（参考数据：，）14.若函数的最小值为，则实数m的值为_______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的内角的对边分别为，且的面积为（1）求；（2）求周长的最小值.16.如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．（1）证明：；（2）点F满足，求二面角的正弦值．17.已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数及其图象的对称中心为．（1）求c的值；（2）判断在区间上的单调性并用定义法证明；（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围．18.已知函数x∈，令其中0<t<1.（1）求不等式f(x)>2f(2x)的解集;（2）求函数f(x)的单调区间；（3）求函数h(x)在上的极值点个数.19.对整数，设是一个由个不同的正整数组成的行列的数表.若存在，使得既是第行中的最大值，也是第列中的最小值，则称数表是一个阶“好数表”，(为数表的特征数）（1）数表是否为“好数表”?如果是，指出其特征数；如果不是，请说明理由：（2）求证：若数表是阶“好数表”，则的特征数是唯一的；（3）若，且数表是一个“好数表”，对任意的，，有，记的特征数为，求的数学期望.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的最小正周期和最大值分别是（）A.和 B.和2 C.和 D.和2答案：C解析：思路：利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.解答过程：由题，，所以的最小正周期为，最大值为.故选：C．2.设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用复合函数的单调性法则把题目转化成二次函数单调性问题.解答过程：，令，由于底数，所以指数函数在上单调递增，因此的单调性与的单调性相同，要使在上单调递减，必须要求在区间上单调递减.二次函数开口向上，对称轴为，要使在区间上单调递减，只需满足对称轴在区间的右侧，所以，即.3.已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据正切函数的对称中心的结论求解.解答过程：根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足，即的对称中心是，即，又，则时最小，最小值是，即.故选：B4.已知向量a，b满足，，且对，，则=（）A.-2 B.-1 C.1 D.2答案：C解析：思路：对两边平方，根据二次函数性质即可求解.解答过程：因为，所以，所以，因为对，，所以，所以，所以.故选：C.5.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，是指在下雨时可以用圆台形的盆接雨水来测量降雨量.若一个圆台形盆的上口直径为40cm，盆底直径为20cm，盆深20cm，某次下雨盆中积水10cm，则这次降雨量最接近（注：降雨量等于盆中水的体积除以盆口面积）（）A.3.4cm B.3.8cm C.4.0cm D.5.8cm答案：C解析：思路：先求得盆中水的体积和盆口面积，进而求得这次降雨量的值.解答过程：该圆台形盆的中截面半径为（cm）盆中水的体积为，盆口面积为，则这次降雨量为（cm）故选：C6.已知函数是奇函数，若，则实数的值为（）A.1 B. C. D.0答案：B解析：思路：先利用奇函数的性质求出的可能取值，再根据判断函数单调性，筛选得到的正确值.解答过程：因为函数是奇函数，所以对定义域内任意，都有成立.，由得：，交叉相乘整理得：对任意定义域内恒成立，因为，故，解得.将变形为，是上的增函数.当时，，此时为减函数，故为增函数，，不符合条件；当时，，此时在，上单调递减，单调递减，满足，符合题意.综上，.7.已知点P在曲线上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：求导，结合基本不等式可得，得到答案解答过程：由题．设，则，，当且仅当即时等号成立，，∵，∴．8.从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合A，，则在的条件下，恰有个元素的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：按照要求分类讨论计算即可.解答过程：由题意可分以下四种情况讨论：①若A中有一个元素，则B中至少有三个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种；②若A中有两个元素，则B中至少有两个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种；③若A中有三个元素，则B中至少有一个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种；④若A中有四个元素，则B中至少有一个元素，此时满足的情况有种，而满足恰有个元素的有种；故满足题意的概率为：，故选：B方法提示：本题考查集合与古典概型，较为新颖，属于较难题.关键在于分类讨论要不重复不遗漏，需要较高的逻辑思维.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的有（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：对于A：直接求出，即可判断；对于B：直接求出，即可判断；对于C：直接求出，即可判断；对于D：直接求出，即可判断.解答过程：对于A：因为复数，所以.故A正确；对于B：因为复数，所以.故B错误；对于C：因为复数，所以.故C正确；对于D：因为复数，所以.故D正确.故选：ACD.10.已知，，且在区间内有最大值，无最小值，则可能的取值有（）A. B. C. D.答案：AC解析：思路：根据题意可知为函数的一条对称轴，且在处取得最大值，进而可得，，从而可求出的值.解答过程：由，且在区间内有最大值，无最小值，可得，即为函数的一条对称轴，∴在处取得最大值，即，∴，又，即，∴的值为或.故选：AC.11.如图，在棱长为1的正方体中，E是棱DD₁上的动点(不含端点)，过A，B₁，E三点的平面α将正方体分为两个部分，则下列说法正确的是（）A.正方体被平面α所截得的截面形状为梯形B.存在一点E，使得点A₁和点C到平面α的距离相等C.正方体被平面α所截得的截面的面积随着线段D₁E的长度的增大而增大D.当正方体被平面α所截得的上部分的几何体的体积为时，E是DD₁的中点答案：ACD解析：思路：对于A，利用面面平行的性质定理判断截面形状；对于B，建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式列方程求解；对于C，求出截面梯形的面积关于

长度的函数，利用导数判断单调性；对于D，利用分割法或积分法求出上部分几何体的体积关于

长度的函数，代入体积值求解

的位置.解答过程：选项A：设平面

与棱

交于点

.连接，因为平面

平面，且平面

与这两个平面分别交于

和

，根据面面平行的性质定理，可得

.又因为E是棱DD₁上的动点(不含端点)，

所以

，故四边形

为梯形，即截面形状为梯形，故A正确；选项B：以

为原点，

所在直线分别为

轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为1，，则

.

.设平面

的法向量为

，则

，取

，则

，即

.平面

的方程为

，即

.点

到平面

的距离

.点

到平面

的距离

.若

，则

，解得

，即

与

重合，与题意矛盾，故B错误；选项C：由A可知截面为等腰梯形

..在

中，，由

可知

为等腰直角三角形，，.梯形的高

.截面面积

.令

.

.因为

，所以

，函数

单调递增，即面积

随

()的增大而增大，故C正确；选项D：由图可知，上半部分为三棱台，所以当E是DD₁的中点时，,故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则______.答案：##0.28解析：思路：切化弦，然后整理可得，再利用倍角公式计算即可.解答过程：，得，解得或（舍）所以.故答案为.13.某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则至少经过______次过滤才能达到市场要求．（参考数据：，）答案：9解析：思路：根据题意列不等式，运算求解即可.解答过程：由题意可得：经过次过滤后该溶液的杂质含量为，则，解得，∵，则的最小值为9，故至少经过9次过滤才能达到市场要求.故9.方法提示：方法点睛：函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序：（1）常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题；（2）应用函数模型解决实际问题的一般程序：读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）；（3）解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式的有关知识加以综合解答．14.若函数的最小值为，则实数m的值为_______.答案：解析：思路：先代入特殊值结合符号判断得到；对函数求导后构造辅助函数，研究其单调性与极限趋势，结合零点存在定理确定唯一极小值点；再利用导数为零的等式与最小值等式整体代换消去指数，求得，回代算出参数.解答过程：由题意得在上恒成立，所以，即.因为，所以令，则，易得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.又时，且，当时，，的大致图像如图所示：故当时，，单调递减；当时，，单调递增.故时，取得最小值，又，联立得，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的内角的对边分别为，且的面积为（1）求；（2）求周长的最小值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）已知条件结合余弦定理求出，得角；（2）由的面积求出，余弦定理得，由基本不等式求周长的最小值.（1）由，得，即，则，由，得.（2），得，由余弦定理，有，得，周长，当且仅当时取等号，所以周长的最小值为.16.如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．（1）证明：；（2）点F满足，求二面角的正弦值．答案：（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，因为，，所以与均为等边三角形，，从而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）．解析：思路：（1）根据题意易证平面，从而证得；（2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出．（1）略（2）不妨设，，．，，又，平面平面．以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设，设平面与平面的一个法向量分别为，二面角平面角为,而，因为，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，从而．所以二面角的正弦值为．17.已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数及其图象的对称中心为．（1）求c的值；（2）判断在区间上的单调性并用定义法证明；（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围．答案：（1）（2）函数在递增；设，则，由于，所以，所以，故函数在递增；（3）解析：思路：（1）根据函数的对称性得到关于的方程，解出即可求出函数的对称中心；（2）利用函数单调性的定义即可判断函数单增,（3）问题转化为在,上的值域,，通过讨论的范围，得到关于的不等式组，解出即可．（1）由于的图象的对称中心为，则，即，整理得，解得：，故的对称中心为；（2）函数在递增,证明略；（3）由已知，的值域为值域的子集，由（2）知在,上递增，且，故的值域为,，于是原问题转化为在,上的值域,，当即时，在,递增，注意到的图象恒过对称中心，可知在,上亦单调递增，故在，递增，又，，故,，所以,，，且，解得，当即时，在递减，在，递增，又过对称中心，故在递增，在，递减，故此时，，，，欲使，，只需且，解不等式得：，又，此时，当即时，在,递减，在,上亦递减，由对称性知在,上递减，于是,，则,，，故，解得：，综上：实数的取值范围是,．方法提示：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.（3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.18.已知函数x∈，令其中0<t<1.（1）求不等式f(x)>2f(2x)的解集;（2）求函数f(x)的单调区间；（3）求函数h(x)在上的极值点个数.答案：（1）不等式的解集为.（2）的单调递减区间为，无单调递增区间.（3）在上的极值点个数为1.解析：思路：（1）根据函数的概念求解定义域，结合二倍角公式和复合函数不等式问题的解法即可求解；（2）对原函数求导，结合函数的导数与函数单调性的关系即可求解；（3）对原函数求导，转化为函数零点问题，结合函数单调性与零点存在定理求解其导数正负，根据极值点处的导数性质即可求解.（1）已知，定义域为，因此满足，即，因此原不等式可化为，因为，所以原不等式等价于，由二倍角公式得，，令，原不等式化为，故不等式的解集为，结合的取值范围得，不等式的解集为.（2）对原函数求导得，，设，因此，故当和时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此，故在内恒成立，因此在内恒成立，综上，的单调递减区间为，无单调递增区间.（3）因为，故化简得，对原函数求导得，，令，即，令，则问题转化为在内的解的个数，求导得，分析函数在上的单调性可知函数在此区间上单调递减，因为，，故根据零点存在定理和函数单调性，函数在存在唯一零点，使得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故是的极大值点，对应的极小值点，同理，在上单调递减，而时，，故在上恒为负，在上单调递增，且，根据零点存在定理，在内有且仅有一个零点，且是唯一的极小值点，故在上的极值点个数为1.19.对整数，设是一个由个不同的正整数组成的行列的数表.若存在，使得既是第行中的最大值，也