2026-2027学年江苏省连云港市东海城北高级中学高三上学期第一次质量监测数学试卷（含解析）

/数学一、单选题（每题5分，共40分）（2本二必备A-1-1）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.（本二必备A-1-1）2.已知复数，.在复平面内，对应的点所在的象限为（）A.一 B.二 C.三 D.四（本二必备A-1-1）3.已知函数的导函数为，且，则（）A. B. C. D.（本二必备A-2-3）4.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.（本二必备A-1-2）5.已知且，若，，则（）A.6 B.36 C.72 D.108（本一必备B-2-3）6.已知函数（，且）在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.（本一必备B-3-4）7.已知，当时，有，则必有（）A. B.C. D.（211本一必备B-3-4）8.已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.二、多选题（每题6分，共18分）（本二必备A-2-3）9.已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（）A.B.若，则的值是C.的值域为D.的解集为（本二必备A-2-3）10.已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（）A. B.的解集为C. D.（211本一必备B-3-4）11.设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值可以为（）A. B. C. D.三、填空题（每题5分，共15分）（本二必备A-1-1）12.如果函数满足，则______．（本二必备A-1-2）13.已知函数（），若过坐标原点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是__________．（211本一必备B-3-4）14.已知不等式的解集为.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是__________.四、解答题（本二必备A-6-8）（26-27高三上·河北沧州·开学考试）15.设为全集，集合，．（1）若，求，；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．（本二必备A-6-8）16.已知数列是公差大于0的等差数列，，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和（本二必备A-6-8）17.已知二次函数满足条件，且.（1）求函数的解析式；（2）若函数，，记函数的最小值，求的解析式.（本一必备B-8-10）18.甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．（1）求甲同学至少有4次投中的概率；（2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望．（本一必备B-12-15）（25-26高三上·湖南湘西·期末）19.已知函数.（1）当为偶函数时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，证明：；（3）若实数使得对任意恒成立，当取最大值时，求.

数学一、单选题（每题5分，共40分）（2本二必备A-1-1）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：解不等式求得集合，再结合交集的运算即可求解.解答过程：解得，即集合，所以.（本二必备A-1-1）2.已知复数，.在复平面内，对应的点所在的象限为（）A.一 B.二 C.三 D.四答案：B解析：思路：根据复数乘法及复数的几何意义即可求解．解答过程：，则对应点的坐标为，在第二象限．（本二必备A-1-1）3.已知函数的导函数为，且，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程.（本二必备A-2-3）4.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由偶次根式被开方数非负，结合定义域为的条件，将问题转化为二次不等式恒成立问题，利用判别式求解参数范围.解答过程：要使函数的定义域为，需满足对任意，被开方数恒成立，二次函数的二次项系数为，图像开口向上，其恒大于等于0的充要条件为判别式，，解不等式，得，即实数的取值范围是.（本二必备A-1-2）5.已知且，若，，则（）A.6 B.36 C.72 D.108答案：D解析：思路：将对数式化为指数式，根据指数运算求得正确答案.解答过程：依题意，，，所以，所以.（本一必备B-2-3）6.已知函数（，且）在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：令，则，因为，所以在上是增函数，根据复合函数的单调性知需为减函数，所以.又在上需满足恒大于0，所以，即.综上，实数的取值范围是.（本一必备B-3-4）7.已知，当时，有，则必有（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据题意可画出函数图象，根据图象和，且，分析各个选项即可.解答过程：画出的图象：对于A，不能同时成立，因为时，函数单调递减，得不到，故A错误；对于B，如图，当时，有，则可能小于零，也可能大于零，故B错误；对于C，如图，当时，，故C错误；对于D，由图象可知，，所以，又，所以，所以，故D正确.故选：D.（211本一必备B-3-4）8.已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用的单调性和奇偶性，转化不等式为在恒成立，再构造函数，利用导数研究其最小值，即可求得的范围，从而求得其最大值.解答过程：，定义域为，且，所以是奇函数.又，且，，所以恒成立.所以在上单调递增.因为，所以，即.所以，即在恒成立；令，则；令，则，所以在单调递增.又，所以存在，使得，即.则当，，故，此时单调递减；当，，故，此时单调递增.所以当时，取得最小值.又，两边取对数可得，也即；所以的最小值.所以，则的最大值为.方法提示：处理本题的关键，一是熟练掌握利用函数单调性和奇偶性求解不等式的方法；二是熟练掌握利用导数求函数最小值的问题，尤其是本题中涉及隐零点的处理，属综合困难题.二、多选题（每题6分，共18分）（本二必备A-2-3）9.已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（）A.B.若，则的值是C.的值域为D.的解集为答案：ABC解析：思路：先求，再求可知A正确；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和方程可判断BC正误；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可知D不正确.解答过程：对于A:由题，故A正确；对于B:当时，，解得（舍去）；当时，，又，，故B正确；对于C:当时，；当时，.故的值域为，故C正确；对于D:当时，，解得；当时，解得.综上的解集为，故D不正确.故选：ABC（本二必备A-2-3）10.已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（）A. B.的解集为C. D.答案：ACD解析：思路：根据给定条件，利用三个二次的关系，结合韦达定理用表示，再逐项判断即得.解答过程：由不等式的解集为或，得是方程的两个实根，且，则，即，ACD正确；不等式，解得，B错误.（211本一必备B-3-4）11.设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值可以为（）A. B. C. D.答案：BC解析：思路：采用构造函数法，设，，则原问题转化为存在唯一的整数，使得，对求导可判断函数在处取到最小值，再结合两函数位置关系，建立不等式组，即可求解.解答过程：设，，由题设可知存在唯一的整数，使得，因为，故当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故，且，，由图可知，即，解得，BC选项符合题意.三、填空题（每题5分，共15分）（本二必备A-1-1）12.如果函数满足，则______．答案：（或）解析：思路：令，可得，代入求值即可.解答过程：令，则，所以，则（本二必备A-1-2）13.已知函数（），若过坐标原点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是__________．答案：解析：思路：设切点坐标，利用导数几何意义写出切线方程，代入原点坐标将切线条数转化为方程实根个数，构造函数求值域即可得到的取值范围.解答过程：设过原点的切线与曲线相切于点，，对求导得，因此切线斜率，切线方程为：

，将原点代入切线方程，得：

整理得，由于过原点可作两条切线，故关于的方程有两个不同的实根。构造函数，，求导得：

，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，因此的最小值为，又当时，；当时，，且，因此当且仅当时，直线与的图象有两个不同交点，对应存在两条切线，故的取值范围是.（211本一必备B-3-4）14.已知不等式的解集为.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是__________.答案：解析：思路：根据一元二次不等式的解集，结合韦达定理可得，，然后代入目标不等式化简即可得解.解答过程：不等式的解集为，则，且分别为方程的两根，由根与系数的关系，得即.将代入不等式，化简得，即.容易判断或时，均不符合题意，所以.所以原不等式即为，依题意应有且，所以.故四、解答题（本二必备A-6-8）（26-27高三上·河北沧州·开学考试）15.设为全集，集合，．（1）若，求，；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．答案：（1），；（2）.解析：思路：（1）由题设结合交集，补集定义可得答案；（2）由题可得是的真子集，据此可得答案.（1）当时，，又，结合，则，，从而.则，或，；（2）由（1）知.由题可得是的真子集，若为空集，则；若不为空集，且等号不同时成立，解得，综上可得.（本二必备A-6-8）16.已知数列是公差大于0的等差数列，，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据等差数列的通项公式，再结合成等比数列即可求出公差，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，可得，然后利用乘公比错位相减求和即可.解答过程：（1）设数列的公差为，，且成等比数列，，即，解得（舍）或，.（2）由（1）可知，数列的前项和，，相减得，.方法提示：本题主要考查了求等差数列的通项公式，考查了乘公比错位相减求和，属于中档题.（本二必备A-6-8）17.已知二次函数满足条件，且.（1）求函数的解析式；（2）若函数，，记函数的最小值，求的解析式.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）根据二次函数对称轴与所给区间的相对位置分类讨论进行求解即可.（1）已知是二次函数，设，因解得，故.（2）当时，，则函数开口向上，且对称轴的方程为，①当时，函数在区间上单调递增，则的最小值是；②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则的最小值是；③当时，函数在区间上单调递减，的最小值是.综上，函数的最小值为.（本一必备B-8-10）18.甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．（1）求甲同学至少有4次投中的概率；（2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望．答案：（1）；（2）的分布表为

1

2

3

4

5

的数学期望．解析：解答过程：试题分析：（1）求概率问题关键在于明确题意，即事件是什么.甲同学至少有4次投中，指甲同学在5次投篮中“恰投中4次”及“恰投中5次”这两个互斥事件.其概率为=．（2）求概率分布，首先正确确定随机变量取值情况，本题，其次要正确确定随机变量对应各个概率，本题中的概率，直接求时要注意，第5次乙同学不论是否投中都停止，即第5次不考虑乙同学是否投中.也可间接求,利用各概率和为1，即，这也是一种验证方法.试题解析：解：（1）设甲同学在5次投篮中，有次投中，“至少有4次投中”的概率为，则==（2）由题意．，，，，．的分布表为12345的数学期望．考点：概率分布，数学期望值（本一必备B-12-15）（25-26高三上·湖南湘西·期末）19.已知函数.（1）当为偶函数时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，证明：；（3）若实数使得对任意恒成立，当取最大值时，求.答案：（1）（2）当时，，要证，即证.设，则.令，得，由于，故，等号仅在时取得，故是R上的增函数，，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，得证.（3）解析：思路：（1）根据为偶函数，求出a，可得函数解析式，根据导数的几何意义即