2026-2027学年江苏省南通市海安市高三上学期开学数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.满足的整数的个数是（）A.4 B.5 C.6 D.72.已知复数，则在复平面内对应的点所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知集合，，则（）A. B. C. D.4.曲线在处的切线方程是（）A. B. C. D.5.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.6.某科技馆欲靠一面长墙规划一块面积为的矩形机器人表演区，为了保证观演效果，表演区的左、右两侧以及前方均需留出宽的观演区，则表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是（）A. B. C. D.7.已知函数，不等式的解集为（）A. B. C. D.8.设函数．若满足对任意的，都存在唯一实数使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，，表示空间中三个不同的平面，下列结论正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.，，可能交于一点10.设二次函数满足：，且，则（）A. B. C. D.11.已知定义域为的函数不恒为，，且，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知二项式的展开式中，的系数为24，则________．13.据行业预测，因大模型训练与推理需求激增，某AI公司用于算力基础设施的月度投资额将在9月初至11月末这三个月内实现翻倍．设该期间月度投资额的月均增长率为，则________．14.设集合，函数同时满足条件：①当时，；当时，；②，；③，则________，所有符合题设的函数的个数是________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在平面凸四边形中，，，与相交于点，．（1）若，求；（2）若，，求．16.某学校开设了门体育类选修课和门艺术类选修课，甲同学从这门课中随机选修4门，要求每类选修课至少选修门．（1）甲同学恰好选修门体育类选修课的概率；（2）在已知甲同学首选门体育类选修课篮球的条件下，求甲同学剩余的三门选修课中选修艺术类选修课门数的数学期望．17.如图，在三棱柱中，为的中点，，二面角的平面角的大小为．（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）求点到平面的距离．18.已知，函数．（1）求函数的所有零点之和；（2）证明：，；（3），，求的取值范围．19.已知函数的定义域和值域均为．对于，定义集合．（1）若求；（2）若，总有，则称是对称集．证明：“是偶函数”的充要条件是“，是对称集”；（3）设，函数的定义域和值域均为，非空点集满足，总有，判断并证明的奇偶性．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.满足的整数的个数是（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：C解析：解答过程：不等式，即，解得，当为整数时解集为，所以满足的整数的个数是6.2.已知复数，则在复平面内对应的点所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：解答过程：复数，在复平面内对应的点为，在第二象限.3.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，，，所以，又，所以.4.曲线在处的切线方程是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：使用导数的几何意义求解切线方程.解答过程：当时，，切点坐标为，，令，，所以切线方程为：，即.5.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据零点存在性定理，结合函数的单调性即可计算端点处的函数值求解.解答过程：由于函数均为单调递增函数，故为单调递增函数，函数至多有一个零点，且，故零点位于，故选：B6.某科技馆欲靠一面长墙规划一块面积为的矩形机器人表演区，为了保证观演效果，表演区的左、右两侧以及前方均需留出宽的观演区，则表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据矩形面积公式，结合基本不等式进行求解即可.解答过程：如图所示：设矩形为表演区，，则有，由题意可知：，所以，设矩形的面积为，所以，由，由基本不等式，得，即，当且仅当时取等号，所以当时，表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是.7.已知函数，不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先根据函数奇偶性的定义得为奇函数，利用函数单调性的性质得函数在上单调递增，进而结合奇函数性质利用单调性求解不等式即得.解答过程：的定义域为，因为，所以是奇函数．因为，所以在上单调递增，由，可得，即．因为在上单调递增，所以，解得，故不等式的解集为．8.设函数．若满足对任意的，都存在唯一实数使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由题意得在上严格单调，即在恒成立，或在恒成立，分类讨论即可求解.解答过程：若满足对任意的，都存在唯一实数使得，（若不严格单调，则至少存在一个，使得除外还有其他满足，与“唯一实数”的条件矛盾）所以在上严格单调，所以，所以在恒成立，或在恒成立，当在恒成立时，即对恒成立，所以，令，即，所以，令，所以，令，解得，令，解得，令，解得，所以在单调递减，在单调递增，又，当时，，所以，当时，，所以，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以，即，当在恒成立时，即对恒成立，当时，，不满足题意，综上所述，.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，，表示空间中三个不同的平面，下列结论正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.，，可能交于一点答案：ACD解析：思路：利用平面平行、垂直的位置关系判定各命题真假，借助空间模型举出反例判断错误选项.解答过程：对于A，由平面平行的传递性，若，，则，A正确.对于B，若α⟂β，β⟂γ，平面对于C，设平面内存在直线l⟂β，由得l⟂γ，又，故α对于D，三个不同平面可以交于同一点，如空间直角坐标系中三个坐标平面交于原点，D正确.10.设二次函数满足：，且，则（）A. B. C. D.答案：ABD解析：思路：A选项，赋值得到答案；BCD选项，设出解析式，得到，，结合，可得，得到解析式，从而判断BCD解答过程：A选项，令得，故，A正确；B选项，设，由得，解得，故，，由得，由①得，显然，且，即，解得，由②得，即，，显然成立，故，，所以，，，B正确；C选项，，C错误；D选项，恒成立，D正确11.已知定义域为的函数不恒为，，且，则（）A. B.C. D.答案：AB解析：思路：使用赋值法计算与，推导函数的周期求解.解答过程：令，则，选项A正确；令，则，，解得或，令，则，即，若，则，即，与条件矛盾，所以，选项B正确；由，得，选项C错误；由，令，得，令，得，即，则，所以的周期是4，由，令，得，，，选项D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知二项式的展开式中，的系数为24，则________．答案：4解析：解答过程：的展开式通项公式为，令得，故的系数为，所以，其中，所以，即，解得（负值舍去）.13.据行业预测，因大模型训练与推理需求激增，某AI公司用于算力基础设施的月度投资额将在9月初至11月末这三个月内实现翻倍．设该期间月度投资额的月均增长率为，则________．答案：解析：解答过程：由题意得，所以，即，解得.14.设集合，函数同时满足条件：①当时，；当时，；②，；③，则________，所有符合题设的函数的个数是________．答案：①.22②.40解析：思路：由条件①可以推出，，再结合条件②可以推出，算出第一空，再利用三个条件推出的可能取值，根据分步分类思想算出函数的个数.解答过程：当时，，.当时，，.又当任意时，，，..由条件①，，，，，由条件②由条件③当时，，，的可能取值有、、、、此时函数有5个.当时，，的可能取值有、、，的可能取值有、、、、此时函数有个.同理可得，当时函数有15个，当时函数有5个.符合题设的函数有40个.方法提示：方法总结：根据函数的概念结合集合的相关知识推出函数的所有可能取值，再结合分步分类思想对其进行排列，进而算出函数满足条件的个数.易错归纳：本题的约束条件多，需要学生认真审题，读懂题目的条件，不然容易犯低级错误.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在平面凸四边形中，，，与相交于点，．（1）若，求；（2）若，，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）结合特殊角的三角函数值，利用正弦定理即可求解；（2）设，在和中，利用余弦定理得，解出即可.（1）依题意，在中，．由正弦定理得，，因为，所以；（2）由，，得．设，则．在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，因为，所以，解得，所以．16.某学校开设了门体育类选修课和门艺术类选修课，甲同学从这门课中随机选修4门，要求每类选修课至少选修门．（1）甲同学恰好选修门体育类选修课的概率；（2）在已知甲同学首选门体育类选修课篮球的条件下，求甲同学剩余的三门选修课中选修艺术类选修课门数的数学期望．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先用排除法确定满足“每类至少选修门”的选法总数，再由分步乘法计数原理求出“门体育、门艺术”的选法数，最后代入古典概型公式求概率.（2）把条件转化为“从剩余体育类与艺术类课程中选足门数且至少含门艺术”的计数问题，用排除法求出条件总选法数，再分别计数各取值对应的选法数并求出相应概率，最后代入数学期望公式求解.（1）满足“每类至少选修门”的选法总数为．恰好选修门体育类、门艺术类的选法数为．所以甲同学恰好选修门体育类选修课的概率．（2）满足“已知甲同学已选篮球，则还需从剩余门体育类、门艺术类共门中选门，且至少选门艺术类．”的选法总数为．依题意，的可能取值为1，2，3．则，，．所以．17.如图，在三棱柱中，为的中点，，二面角的平面角的大小为．（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）求点到平面的距离．答案：（1）如图，连接与交于点，连接，由三棱柱性质得为的中点，又因为为的中点，所以．又因为平面，平面，所以平面．（2）因为是二面角的平面角，所以，．又因为，，平面，所以平面．又因为平面，所以．在中，，，，由余弦定理得．所以，得．又因为，，平面，所以平面．（3）解析：思路：（1）利用中位线的性质得到，再利用线面平行的判定定理求证即可；（2）利用二面角的定义和线面垂直的判定定理求出平面，进而求出，再结合余弦定理与勾股定理得到，最后利用线面垂直的判定定理求证即可；（3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合点到平面距离的向量求法求解即可.（1）略（2）略（3）由（2）知，平面，，如图，以为原点，建立空间直角坐标系．而，则，，，，设，则．所以，．设平面的法向量为，所以，令，得，又因为，所以点到平面的距离为．18.已知，函数．（1）求函数的所有零点之和；（2）证明：，；（3），，求的取值范围．答案：（1）0（2）令．则，令，，令，则，则在在上单调递增，则，所以在上单调递增，则，故在上单调递增，有，所以，．（3）解析：思路：（1）先由判定为上的奇函数，从而零点关于原点成对对称出现（含原点本身），由对称性直接得出所有零点之和.（2）构造函数，用"连续多次求导、逐层判断导函数单调性并结合端点值非负"的方法，从而得证.（3）先由分离参数得，令求出的必要下界；再对导函数作换元放缩（利用的范围）证明当不小于该下界时在上单调递减，由单调性验证充分性，最终确定的取值范围.（1）依题意，函数的定义域为，定义域关于原点对称，因为，所以为上的奇函数．若，则必有．又，故函数的所有零点之和为0.（2）略（3）依题意，．因为，又由（2）可得，．所以，，有．当时，，令，则，故在恒成立，所以在上递减，故．所以的取值范围是．19.已知函数的定义域和值域均为．对于，定义集合．（1）若求；（2）若，总有，则称是对称集．证明：“是偶函数”的充要条件是“，是对称集”；（3）设，函数的定义域和值域均为，非空点集满足，总有，判断并证明的奇偶性．答案：（1）（2）必要性：，则．因为是偶函数，则，所以．所以是对称集．充分性：，