2026-2027学年福建省厦门市双十中学高一上学期第二次月考数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题，则为（）A. B.C. D.2.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，其中，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.3.如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则（）A.3 B.4 C.6 D.84.函数可能的图象大致是（）A. B.C. D.5.已知，，则（）A. B. C. D.6.已知，若函数有3个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知函数有两个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.8.已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则的最小值为（）A.5 B.6 C.7 D.8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则以下说法正确的是（）A. B. C. D.10.已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（）A.B.当时，C.若是偶函数，则D.若在区间内无最大值，则11.定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（）A. B.当时，C. D.当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数，的单调递增区间为________________.13.已知，则的值为______．14.已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.函数．（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；（2）请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；x

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（3）利用函数图象，直接写出函数在上的最大值和最小值，并指出相应的的值．16.为支撑新能源汽车产业发展，我国充电基础设施近年来快速发展.某省充电桩数量（单位：万个）与时间（单位：年，对应2020年）的函数关系式为其中a，k，m，n为非零常数，假设该函数的图象为连续的曲线，且已知该省2020年的充电桩数量为10万个，2023年的充电桩数量为30万个.（1）求a，k的值；（2）根据此模型，预计该省2026年的充电桩数量将增长到40万个，请你预测该省充电桩数量增长到50万个的年份.17.已知，对任意都有，（1）若，当时，求的值；（2）已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围．18.已知函数和，（1）若，求的值；（2）若存在实数，使得成立，试求的最小值；（3）若，对任意的，都有成立，求的取值范围．19.对于定义在区间的函数，定义：，，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值.（1）若，，试写出、的表达式；（2）设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围；（3）若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题，则为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据全称量词命题的否定可解.解答过程：命题“”的否定是.故选：D.2.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，其中，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：利用三角函数的定义即可求解.解答过程：已知角的终边经过点，当时，，当时，，故选：D.3.如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则（）A.3 B.4 C.6 D.8答案：D解析：思路：根据题意，由可得，再由扇形的面积公式即可得到结果.解答过程：设，由，得，即，所以故选：D4.函数可能的图象大致是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据解析式可知为奇函数，排除B和D选项，结合函数的周期，，，的值和符号即可判断选项.解答过程：依题意知函数的定义域为R，且满足，故为奇函数，所以排除B和D选项；因为函数的周期为，又，，，排除C选项；故选：A.5.已知，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用两角和的余弦公式，以及切化弦可求得，的值，进而利用两角和的余弦公式可求值.解答过程：因为，所以，因为，所以，所以，，所以.故选：A.6.已知，若函数有3个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先确定时函数的零点个数，再转化为三角函数在上有个零点，从而求解的取值范围.解答过程：当时，单调递增，又，，故函数在上有一个零点，则当时，有两个零点，当时，，则有，解得，故的取值范围为.7.已知函数有两个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：作出函数的图象，将原问题转化为的图象与直线有2个交点，判断交点横坐标范围，可得，再利用基本不等式即可求得答案.解答过程：如图，作出函数的图象，则函数有两个零点，即为的图象与直线有2个交点，横坐标为，则，则，，所以，当且仅当时，结合，即时取等号，所以的取值范围是，故选：B8.已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则的最小值为（）A.5 B.6 C.7 D.8答案：C解析：思路：由题意得，为常数，则，从而（c），可求得及的解析式，由条件可知，利用的单调性求解即可．解答过程：，且在上单调，，为常数，，，，在上单调递增，对，，使得成立，，又当时，，当时，，则，，，又，．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则以下说法正确的是（）A. B. C. D.答案：ABD解析：思路：根据两角和差的正切公式求出判断AB；根据角的范围及特殊角的正切值判断CD.解答过程：因为，所以，，故选项AB正确；因为，所以，又，，所以，因为，所以即，所以C错误，D正确.故选：ABD10.已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（）A.B.当时，C.若是偶函数，则D.若在区间内无最大值，则答案：AC解析：思路：选项A，由得到，从而求出，利用公式求出；选项B，由得到，求出，，利用余弦函数的图像和性质得解；选项C，求出，结合是偶函数得到，结合求出；选项D.令，由的范围求出的范围，结合正弦函数的图像得到，结合得到的范围.解答过程：选项A，因为，是的两个不同解，且，所以，，，则选项A正确；选项B，因为，所以，，，因为在上是单调递减函数，且，所以，即，则选项B错误；选项C，因为是偶函数，且，所以，，因为，所以；则选项C正确；选项D，令，，，则，，因为，所以，则选项D错误.11.定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（）A. B.当时，C. D.当时，答案：ACD解析：思路：选项A，取求解；选项C，令得到，取得解；选项B，当时，，则有，从而得到；选项D，令，通过计算整理得到，利用基本不等式得到，从而得到，结合得到结论.解答过程：选项A，因为，所以取，得到，解得，选项A正确；选项C，令，则，即，取，得到，选项C正确；选项B，因为当时，，所以当时，，则有，又，即，选项B错误；选项D，令，则，即，两边除以得到，即，因为，所以，所以，又因为，所以，即，则，选项D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数，的单调递增区间为________________.答案：解析：思路：正弦函数的图像性质，列不等式求复合函数的单调区间，进而求得结果.解答过程：，令，解得：，因为，当时，，故.方法提示：本题考查复合函数在定义域内的单调区间，考查数学运算能力和转化的数学思想，属于中档题.13.已知，则的值为______．答案：解析：思路：先根据与的关系列式求得或，然后再利用辅助角公式和正弦函数值域得，即可求解.解答过程：因为，且，所以，解得或，又，所以.故14.已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为__________.答案：解析：思路：分别为与图象交点的横坐标，而与的图象关于直线对称，直线与直线垂直，从而可得，再得出的范围后即可得结论．解答过程：由题意，分别为与图象交点的横坐标，而与的图象关于直线对称，直线与直线垂直，因此这两个交点关于直线对称，如图所示：，∵，∴，.故．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.函数．（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；（2）请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；x

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（3）利用函数图象，直接写出函数在上的最大值和最小值，并指出相应的的值．答案：（1）函数的单调递增区间为，最小正周期为.（2）如图所示：00200（3）当时，有最大值为2；当时，有最小值为.解析：思路：（1）根据的单调递增区间，将替换为即可得出函数的单调递增区间，根据正弦函数周期公式，代入数值即可得出函数的最小正周期；（2）右图轴上的坐标即为要取的五点的坐标，代入和，即可得出表中数值，并用连续光滑的曲线连接即可；（3），判断所在单调区间，即可得到答案.（1）由的单调递增区间可得，，解得，所以函数的单调递增区间为；由正弦函数周期公式可得，，所以函数的最小正周期为.（2）依题意得，题干右图轴上的坐标即为表格中要取的五点的坐标，当，，；当，，；当，，；当，，；当，，，填表，描点，用光滑曲线连接后得到图象如图所示，00200（3）因为，所以在区间上的图象包含于在区间的图象，因为，，所以当时，有最大值为2；因为，在单调递减，故当时，有最小值.16.为支撑新能源汽车产业发展，我国充电基础设施近年来快速发展.某省充电桩数量（单位：万个）与时间（单位：年，对应2020年）的函数关系式为其中a，k，m，n为非零常数，假设该函数的图象为连续的曲线，且已知该省2020年的充电桩数量为10万个，2023年的充电桩数量为30万个.（1）求a，k的值；（2）根据此模型，预计该省2026年的充电桩数量将增长到40万个，请你预测该省充电桩数量增长到50万个的年份.答案：（1）.（2）2032年解析：思路：（1）由题可知：当时，；当时，.代入函数关系式可求得a，k的值；（2）由题意得，.解出.列出对应的方程，并求解，可预测该省充电桩数量增长到50万个的年份.（1）由题可知：当时，；当时，.所以，解得.所以.（2）因为函数（a，k，m，n为非零常数）的图象为连续的曲线，所以由题可知：当时，；所以.由，得令，则，即.所以，所以.因为.故可预测该省充电桩数量增长到50万个的年份为2032年.17.已知，对任意都有，（1）若，当时，求的值；（2）已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）结合正弦函数的对称性与三角恒等变换公式计算即可得；（2）利用诱导公式计算可得恒成立，再结合换元法可得任意，都有恒成立，最后借助基本不等式计算出的最小值即可得.（1）由对任意都有，故关于对称，则有，解得，又，故，即，则，即，由，则，由且，则，故，则；（2），则对任意，都有恒成立，令，由，则，则，即对任意，都有恒成立，即对任意，都有恒成立，令，对任意，都有恒成立，又，当且仅当时，等号成立，故，即实数的取值范围为.18.已知函数和，（1）若，求的值；（2）若存在实数，使得成立，试求的最小值；（3）若，对任意的，都有成立，求的取值范围．答案：（1）；（2）1；（3）.解析：思路：（1）应用对数运算性质即可求结果；（2）由题设可得，利用换元法及函数区间单调性求最值；（3）令，问题化为在上恒成立，结合指对数函数性质求参数范围即可.（1）由，所以；（2）由，则，可得，所以，令，当且仅当时等号成立，故，又在上单调递增，故，其最小值为1；（3）由题设在上最小值为0，令，则在上恒成立，由，在上恒成立，则，又，所以，由，又在定义域上单调递增，所以，即在上恒成立，所以，故，即在上恒成立，所以，综上，.方法提示：关键点点睛：第三问，注意将问题化为在上恒成立，并结合指对数函数性质求参数范围.19.对于定义在区间的函数，定义：，，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值.（1）若，，试写出、的表