2026-2027学年湖南省衡阳市衡阳县第二中学高三上学期开学测试数学试卷（含解析）

/数学考试范围：高考全部内容一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部为（）A. B. C. D.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.3.已知函数是偶函数，是奇函数，满足，则（）A.1 B.2 C.3 D.44.已知双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.5.地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚、耐压耐磨、防潮.地砖品种非常多，图案也多种多样.如图是某公司大厅的地砖铺设方式，地砖有正方形与正三角形两种，且它们的边长都相同，若，，则（）A. B.C. D.6.已知函数，则下列结论中正确的有（）A.的最小正周期为 B.的值域为C.点是图象的一个对称中心 D.不等式的解集为7.直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知为坐标原点，过抛物线：的焦点作斜率为的直线交抛物线于，两点，则下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.10.已知对任意角，均有公式.设△ABC的内角A，B，C满足.面积S满足.记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列式子一定成立的是()A. B.C. D.11.如图，在棱长为2的正方体中，点为线段上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.B.三棱锥的体积是C.的最小值为D.直线与平面夹角正弦值的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则__________.13.已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______.14.投篮测试规则如下：每人最多投三次，投中为止，且第次投中得分为分，若三次均未投中则得分为0分．假设甲同学投篮的命中率为，且甲同学参加投篮测试的投篮次数的均值为1.56，则甲同学投篮测试的得分的均值为_____．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，当恰好为线段的中点时:（1）求直线的斜率之和；（2）求的值.16.近年来，因使用手机过久、工作压力大等因素导致不少人出现了睡眠问题.某媒体为了了解出现睡眠问题者的年龄分布，调查了200名成年人的睡眠时间，得到如下列联表：睡眠时间年龄分布90后非90后合计前入睡3080后入睡合计100200（1）完成列联表，并根据独立性检验，分析能否有的把握认为睡眠时间与年龄分布有关？（2）随着出现睡眠问题人群的增加及社会对睡眠健康重视程度的加深，有助于提高睡眠质量的产品受到消费者的推崇，记2020～2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020～2024年中国睡眠经济市场规模（单位：千亿元）的数据，年份代码12345市场规模3.84.24.55.05.3根据上表数据，求关于的线性回归方程．参考公式：，其中．线性回归方程，其中，.参考数据：．0.050.013.8416.63517.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若是的一个极值点，求的单调递增区间；（3）是否存在，使得在区间上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19.如图1，在中，于点A，，四边形是平行四边形．将沿折起至的位置，如图2所示，连接，．（1）证明：；（2）设三棱锥的外接球球心为，证明：当时，；（3）若是的中点，连接，，记二面角为，二面角为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

数学考试范围：高考全部内容一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用复数的运算，化简为标准型，根据虚部的定义，可得答案.解答过程：，则该复数的虚部为.故选：B.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：通过令进行分类讨论，求出集合B，再根据并集的含义即可求解.解答过程：因为，，所以当时，；当时，；所以，因此故选：A3.已知函数是偶函数，是奇函数，满足，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：根据奇偶性求得函数，然后再代入计算函数值．解答过程：，则，又函数是偶函数，是奇函数，则，所以，，故选：B．4.已知双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先根据焦距求得c，再由焦点到渐近线的距离为求得b求解.解答过程：因为双曲线的焦距为，所以，一条渐近线方程为，右焦点，所以右焦点到渐近线的距离为，则，所以双曲线的离心率为，故选：A5.地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚、耐压耐磨、防潮.地砖品种非常多，图案也多种多样.如图是某公司大厅的地砖铺设方式，地砖有正方形与正三角形两种，且它们的边长都相同，若，，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：建立平面直角坐标系，设，，结合向量的坐标运算求解即可.解答过程：如图，以AB的中点M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.设，则，，，，可得，，.设，则，解得，所以，即.6.已知函数，则下列结论中正确的有（）A.的最小正周期为 B.的值域为C.点是图象的一个对称中心 D.不等式的解集为答案：D解析：思路：把函数用分段函数表示，再作出的图象，观察图象即可判断选项A，B，C，解不等式即可判断选项D而作答.解答过程：，作出的图象，如图，观察图象，对于A，的最小正周期为，故A错误；对于B，的值域为，B错误；对于C，的图象没有对称中心，C错误；对于D，不等式，即时，得，解得，所以的解集为，故D正确.故选：D.7.直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：对于,当时,,当时,,所以,,所以.圆的圆心为,半径,圆心到直线的距离为,即直线与圆相离,所以点P到直线的距离的最大值为,点P到直线的距离的最小值为,所以面积的最大值为,最小值为,所以面积的取值范围是.8.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：构造，比较a，c，构造，比较b，c即可.解答过程：设，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值0，则即，则，即，设，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最大值0，则，即，则，即，所以.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知为坐标原点，过抛物线：的焦点作斜率为的直线交抛物线于，两点，则下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.答案：BC解析：思路：根据焦点坐标求得抛物线方程，然后联立直线和抛物线方程求得点A和B坐标，利用焦半径公式求得弦长判断B，利用面积分割法求面积判断C，利用两点式斜率和正切函数的单调性判断A，利用数量积判断夹角范围判断D.解答过程：由题意，则抛物线：，准线方程为，则直线的方程为，设，联立方程组得，解得，，所以点，点，所以，，故选项BC正确；又，所以，故，故A错误；因为，所以，所以为钝角，故D错误.故选：BC.10.已知对任意角，均有公式.设△ABC的内角A，B，C满足.面积S满足.记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列式子一定成立的是()A. B.C. D.答案：CD解析：思路：结合已知对进行变形化简即可得的值，从而判断A；根据正弦定理和三角形面积，借助于△ABC外接圆半径R可求的范围，从而判断B；根据的值，结合△ABC外接圆半径R即可求abc的范围，从而判断C；利用三角形两边之和大于第三边可得，从而判断D﹒解答过程：∵△ABC的内角A、B、C满足，∴，即，∴，由题可知，，∴，∴∴，∴有，故A错误；设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可知，，∴，∴，∴，故B错误；，故C正确；，故D正确．故选：CD．11.如图，在棱长为2的正方体中，点为线段上的一个动点，则下列结论正确的是（）A.B.三棱锥的体积是C.的最小值为D.直线与平面夹角正弦值的最大值为答案：ACD解析：思路：对A，以为原点建系，设，利用坐标计算；对B，由求解；对C，展开使其与在同一平面，根据两点之间直线最短计算；对D，得出平面的一个法向量为，计算的最大值．解答过程：以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设，，则，则，故，故A正确；因平面，则平面的一个法向量为，则，当时，有最小值，有最大值，故直线与平面夹角正弦值的最大值为，故D正确；因平面平面，平面，则平面，所以，故B错误；因平面，则展开使其与在同一平面，如图，则的最小值为，因为边长为等边三角形，是腰长为的等腰三角形，则为的中点，则，故C正确.故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则__________.答案：##1.5解析：思路：设等比数列的公比为，由求得，利用等比数列前项和公式求.解答过程：设等比数列的公比为，由数列各项均为正数，有，由，有，则，解得，为的前项和，，，则.13.已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______.答案：12解析：思路：求点关于直线对称的点为，根据圆的性质结合图形分析求解即可.解答过程：如图，设点关于直线对称的点为，则，解得，即，由得，其圆心为，半径，则，当且仅当P，M均在线段AC上时，取得最小值12.14.投篮测试规则如下：每人最多投三次，投中为止，且第次投中得分为分，若三次均未投中则得分为0分．假设甲同学投篮的命中率为，且甲同学参加投篮测试的投篮次数的均值为1.56，则甲同学投篮测试的得分的均值为_____．答案：2.376解析：思路：通过甲同学参加投篮测试的投篮次数均值求出进球概率，进而求出得分概率从而求出甲同学投篮测试的得分的均值.解答过程：设甲同学参加投篮测试的投篮次数为，则，，于是．另一方面，设甲同学投篮测试的得分为，则，可得．故四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，当恰好为线段的中点时:（1）求直线的斜率之和；（2）求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）设直线，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，可得的值，从而得解；（2）利用弦长公式进行求解.（1）设直线，，，联立，得，所以，解得，所以直线的斜率，直线的斜率，所以直线的斜率之和．（2）由（1）可得，设直线，，，联立，得，所以，，可得，故．16.近年来，因使用手机过久、工作压力大等因素导致不少人出现了睡眠问题.某媒体为了了解出现睡眠问题者的年龄分布，调查了200名成年人的睡眠时间，得到如下列联表：睡眠时间年龄分布90后非90后合计前入睡3080后入睡合计100200（1）完成列联表，并根据独立性检验，分析能否有的把握认为睡眠时间与年龄分布有关？（2）随着出现睡眠问题人群的增加及社会对睡眠健康重视程度的加深，有助于提高睡眠质量的产品受到消费者的推崇，记2020～2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020～2024年中国睡眠经济市场规模（单位：千亿元）的数据，年份代码12345市场规模3.84.24.55.05.3根据上表数据，求关于的线性回归方程．参考公式：，其中．线性回归方程，其中，.参考数据：．0.050.013.8416.635答案：（1）睡眠时间年龄分布90后非90后合计前入睡305080后入睡7050120合计100100200有的把握认为睡眠时间与年龄分布有关（2）解析：思路：（1）先补全列联表，再根据公式求出，进而通过独立性检验与临界值比较判断即可；（2）先根据表中数据求出，，，从而根据公式求出，进而即可得到线性回归方程．（1）完成列联表如下：睡眠时间年龄分布90后非90后合计前入睡305080后入睡7050120合计100100200因为，所以依据独立性检验，有的把握认为睡眠时间与年龄分布有关．（2）由的取值依次为，，，，，得，，所以，且，所以，所以关于的线性回归方程为．17.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）结合等差数列的求和公式和等比中项的定义，建立关于的方程，解方程求出，进而得出数列的通项公式；（2）由于，利用错位相减法，分别写出和的表达式，两式相减即可计算．（1）在等差数列中，公差，，，，因为，，成等比数列，所以，即，解得，所以．（2）因为，所以，所以，，两式相减得，所以．18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若是的一个极值点，求的单调递增区间；（3）是否存在，使得在区间上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．答案：（1）（2）（3）存在；解析：思路：（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）由是的一个极值点，可得，求出的值，然后检验后由导数大于零可求出函数的增区间；（3）对函数求导后分和两种情况讨论导数的正负，求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值，然后使其最大值等于可求出的值.（1）当时，，所以．因为，所以．所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）函数的定义域为，则，因为是的一个极值点，所以．解得．所以，．当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以当时，是的极大值点．此时的单调递增区间为．（3）①当时，因为，，所以在区间上单调递增．此时．若，则，不合题意．②当，即时，令，解得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．此时．若，则，符合题意．综上，当时，在区间上的最大值为．方法提示：关键点点睛：此题考