2026-2027学年江苏省百校大联考高三上学期9月学情检测数学试卷（含解析）

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，则（）A. B.C. D.2.已知，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.函数的单调增区间是（）A. B.C. D.4.已知正实数x、y满足，则的最小值是（）A. B.3C. D.65.设，，，则（）A. B.C. D.6.函数的图象大致是（）A. B.C. D.7.正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（）A. B.C. D.8.已知函数，若有且只有3个整数解，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.10.如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（）A.B.与平面所成角等于C.在底面上的射影是线段的三等分点D.与所成角的余弦值为11.设函数的定义域为，且满足是偶函数，，当时，，则（）A.是奇函数B.C.的最小值是D.方程在区间内恰有1013个实数解三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知定义域为的函数，则关于的不等式的解集是___________．13.已知，，则__________．14.如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形（顶点A与P重合）沿圆周逆时针滚动.若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了________轮，此时点A走过的路径的长度为___________.四、解答题本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知命题：函数的定义域为；命题：，不等式在上有解．（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为真命题且为假命题，求实数的取值范围．16.已知函数．（1）若将函数的图象向右平移个单位得到，求在区间上的单调递增区间；（2）若，求的值．17.已知关于的函数．（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（2）若关于的方程有3个不等实数根，求实数的取值范围．18.如图所示的几何体中，四边形为等腰梯形，∥，，，四边形为正方形，平面平面.（1）若点是棱的中点，求证：∥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.19.已知函数．（1）当时，求曲线在原点处的切线方程；（2）若在上单调递增，求a的取值范围；（3）当时，证明：当时，．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：利用对数函数的性质解出对数不等式得出集合，然后再利用集合并集运算即可.解答过程：因为，所以，即，解得：，所以，又，所以.2.已知，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：解答过程：判断充分性：取，，满足，但无意义，推不出，充分性不成立.判断必要性：若，则，一定有，必要性成立.所以“”是“”的必要不充分条件，选项符合题意.3.函数的单调增区间是（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：令，解得或，即函数定义域为.设，，在上单调递减.是开口向上的二次函数，对称轴为，函数在上单调递减，根据复合函数“同增异减”规则，的单调增区间为.4.已知正实数x、y满足，则的最小值是（）A. B.3C. D.6答案：B解析：思路：借助基本不等式“1”的活用计算即可得.解答过程：，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值是.5.设，，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：先判断为负数最小，再将、与中间值比较大小，即可得出三者的大小关系.解答过程：由得，由于对数函数在上单调递增，且，因此，即；对于，由于对数函数在上单调递增，且，因此，即；对于，由于，所以，综上可得，.6.函数的图象大致是（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：函数的定义域为，关于原点对称.∵，∴是奇函数，图象关于原点对称，排除B、C.当时，，,∴.∵对数函数在上单调递增，时,∴，即时函数值为负，图象位于轴下方，排除D.7.正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：建立空间直角坐标系，求出两条异面直线的方向向量，联立方程求解公垂线方向向量，再套用异面直线距离公式，计算连接两直线上点的向量在公垂向量上投影的绝对值得到距离．解答过程：设正四棱锥的底面中心为原点，建立下图所示空间直角坐标系，已知，则，为侧棱的中点，故，则，设异面直线与的公垂线方向向量为，则，令，则，故异面直线与的距离．8.已知函数，若有且只有3个整数解，则的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：分离参数，将有且只有3个整数解，转化为有且只有3个整数解.构造函数，利用导数分析其单调性，即可求得的取值范围.解答过程：函数的定义域为.若有且只有3个整数解，则有且只有3个整数解.因为，所以有且只有3个整数解.令，则.令，则.令，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以在处取得极大值，即最大值，最大值为，所以恒成立，是减函数.又，所以，使得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.又，若有且只有3个整数解，则的取值范围是.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：本题考查不等式性质、作差法比较大小、基本不等式的应用，结合已知条件逐一判断选项即可.解答过程：选项A：由，两边同乘正数可得，又，两边同乘正数，不等号方向不变，得，即，A正确；选项B：作差比较：，由，可知分子分母均为正，故，即，B错误；选项C：由，得，，因此，正数不可能小于负数，C错误；选项D：由基本不等式，对正数，因故，算术平均数大于几何平均数：，D正确.10.如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（）A.B.与平面所成角等于C.在底面上的射影是线段的三等分点D.与所成角的余弦值为答案：ACD解析：思路：分别计算和判断A；线段上靠近点的三等分点为，连接，计算可得、，即可得C；计算，根据勾股定理判断，结合C所得可知与平面所成角为，再计算判断B；计算以及，再利用向量的夹角公式判断D.解答过程：对于A，由题意，所以，又因为，所以，A说法正确；对于C，设线段上靠近点的三等分点为，连接，则，有，且有，故、，又且、底面，故底面，即在底面上的射影是线段的三等分点，C说法正确；对于B，由C知在底面上的射影是线段的三等分点，所以与平面所成角为，在中，，，，，所以，所以，则，即，所以与平面所成角大于，B说法错误；对于D，因为，所以，D说法正确.11.设函数的定义域为，且满足是偶函数，，当时，，则（）A.是奇函数B.C.的最小值是D.方程在区间内恰有1013个实数解答案：ABD解析：思路：由题意分析函数的对称性，奇偶性及周期性，再逐项判断即可.解答过程：因为是偶函数，所以，即，即.又，所以，且.所以是奇函数，且是周期为的周期函数.所以选项A正确.，所以选项B正确.，所以选项C不正确.作一个周期内的图象，可得与一个周期内的图象有4个交点，所以与在内的图象有个交点.即方程在区间内恰有1013个实数解.所以选项D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知定义域为的函数，则关于的不等式的解集是___________．答案：解析：思路：根据给定条件，分析函数的奇偶性和单调性，再变形不等式并求解.解答过程：函数和函数均为奇函数，且在上均为增函数，则函数是奇函数，且在上为增函数，由，得，则，解得，所以所求解集为.故13.已知，，则__________．答案：解析：解答过程：可知，即，由得，则，则，即，则.14.如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形（顶点A与P重合）沿圆周逆时针滚动.若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了________轮，此时点A走过的路径的长度为___________.答案：①.3②.解析：思路：将问题化为4和6的最小公倍数问题求A第一次回到点P的位置正方形滚动的轮数，再求滚动1轮点A走过的路径长度，即可求此时A走过的路径的长度.解答过程：正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为，顶点两次回到点P时，正方形顶点将圆周正好分成六等分，由4和6的最小公倍数：，所以到点A首次与P重合时，正方形滚动了3轮.这一轮中，点A路径是圆心角为，半径分别为2，，2的三段弧，故路径长，∴点A与P重合时总路径长为.故3，.方法提示：关键点点睛：将A第一次回到点P的位置所滚的轮数转化为求4和6的最小公倍数，注意滚动一轮A的圆周运动特点求路径长.四、解答题本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知命题：函数的定义域为；命题：，不等式在上有解．（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为真命题且为假命题，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据角的范围，求出余弦函数的范围，进而构造函数，根据不等式存在成立的情况，求出函数的最大值，进而求出参数范围；（2）根据对数函数性质，判断定义域为时的情况，进而根据二次函数性质，列出不等式，求出参数范围，进而根据命题的性质，求出参数范围即可.（1）当时，，则，不等式在上有解，即当时有解，令，设函数，函数在上单调递减，在上单调递增，且,故在时取得最大值为，所以当时，不等式在上有解，所以.（2）为真命题时，即函数的定义域为，即在上恒成立，所以时，符合条件，当时，，解得，所以当为真命题时，，当为假命题时，，所以为真命题且为假命题时实数的取值范围为.16.已知函数．（1）若将函数的图象向右平移个单位得到，求在区间上的单调递增区间；（2）若，求的值．答案：（1）和（2）解析：思路：（1）利用三角恒等变换化简得，再利用平移变换求得的解析式，进而利用整体法求得在区间上的单调递增区间；（2）利用已知可求得，化为齐次式，进而利用齐次式化为正切的代数式可求值.（1）因为将函数的图象向右平移个单位得到，所以，由，得，又，所以的单调递增区间为和；（2）因为，所以，所以，所以，所以，所以.17.已知关于的函数．（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（2）若关于的方程有3个不等实数根，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）用换元法，令，分离参数m，构造函数求最小值，得到m的取值范围；（2）用换元法，令化简方程，结合解的个数特征，利用二次函数根的分布求出t的范围．（1）令，则，不等式化为：，即，设，则，故，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为0，故实数的取值范围为．（2）令，有意义，则，，故原方程可化为，化简整理得，作的大致图象如下图所示：则当时，对应2个解，当时，对应1个解，原方程有3个不等实根，等价于二次方程有两个正根，且一个根在内，另一个根大于1，设，开口向上，由根的分布得：，，解得，此时，满足两个不同实根条件，故的取值范围为．18.如图所示的几何体中，四边形为等腰梯形，∥，，，四边形为正方形，平面平面.（1）若点是棱的中点，求证：∥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.答案：（1）证明见解析；（2）（3）不存在，理由见解析．解析：思路：（1）证明//，可证平面;（2）因为平面平面，所以平面.在中，由余弦定理，得，所以,如图,以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间坐标系,写出各点坐标,求出平面的法向量,根据线面角公式求值即可;（3）假设线段上存在点，设，分别求出两个平面的法向量,令数量积为0，解方程可得结论.（1）由已知得//，且.因为为等腰梯形，是棱的中点，所以//，．所以//，且，故四边形为平行四边形,所以//.因为平面，平面，所以平面．（2）因为四边形为正方形，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.在中，因为，，所以由余弦定理，得，，所以．在等腰梯形中，，可得.如图,以为原点，以所在直线分别为轴建立空间坐标系，则，，，，，所以，，.设平面的法向量为，由所以，取，则，得．设直线与平面所成的角为，则所以与平面所成的角的正弦值为.（3）线段上不存在点，使平面平面．证明如下：假设线段上存在点，设，则．