2026-2027学年江苏省连云港市灌南名校协作体高三上学期9质量检测数学试卷（含解析）

/数学一、单项选择题：共8小题，每小题5分，满分40分.1.已知集合，，则(

)A. B.C. D.2.已知复数，则z的虚部为（）A. B. C. D.3.已知向量满足，且，则（）A. B. C. D.24.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（）A. B. C. D.5.已知，若，则（）A. B. C. D.6.记的内角所对的边分别为，若，则（）A. B. C. D.7.已知函数，，若曲线上存在点P，使得点P关于y轴的对称点在曲线上，则a的最大值为（）A. B. C. D.18.已知函数及其导函数的定义域均为，记，已知和都是偶函数，且，则的值为（）A.1 B.－1 C.2025 D.－2025二、多项选择题：共3小题，每小题6分，满分18分.9.已知实数m，n满足，则（）A. B.C. D.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.为奇函数B.在上单调递增C.关于的方程有2个解D.若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的范围是11.如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是棱的中点，则下列结论正确的是（）A.平面截该正方体的截面面积为B.若，则点的轨迹长度为C.若为的中点，则三棱锥的体积为1D.与平面所成角的正弦值的取值范围为三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分.12.已知函数的定义域是，则函数的定义域为______．13.已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为__________．14.已知，关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______.四、解答题：共5大题，满分77分.15.已知，．（1）求的值；（2）若，，求的值．16.已知.（1）求的单调区间；（2）函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由.17.已知四棱锥的底面为菱形，平面，，是的中点，点在棱上.（1）证明：；（2）若，，且直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值.18.已知椭圆C：的离心率为，焦距为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且．①求证：的面积为定值；②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．19.已知函数的定义域是D．对于，定义集合．（1）若，求；（2）对于集合A，若对任意都有，则称A是对称集．若D是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”；（3）若函数的定义域为，对任意,．试求b的取值范围，使得对于任意，都有．

数学一、单项选择题：共8小题，每小题5分，满分40分.1.已知集合，，则(

)A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：由得，所以，

，所以

.2.已知复数，则z的虚部为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：直接由复数的乘法运算以及复数的虚部概念即可求解．解答过程：因，则，所以z的虚部是．故选：B．3.已知向量满足，且，则（）A. B. C. D.2答案：C解析：思路：根据向量模的计算公式及向量垂直的条件可得结果.解答过程：因为，所以，两式相减得，即．又，所以，联立，解得,即．故选：C．4.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先根据对称性求出的周期，再利用奇函数的性质以及周期性即可求得.解答过程：因为奇函数，则，又，则，于是，即4是函数的一个周期，而，则，，则，又当时，，则，所以．故选：A5.已知，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据条件可得，计算的值，结合二倍角公式可得结果.解答过程：∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，故，∵，∴，∴.故选：C.6.记的内角所对的边分别为，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合二倍角公式求出，再利用同角三角函数关系求出，最后通过二倍角的正切公式计算.解答过程：由正弦定理，结合，得，因为，所以，代入上式得，化简得，，因为，所以，，.故选：D.7.已知函数，，若曲线上存在点P，使得点P关于y轴的对称点在曲线上，则a的最大值为（）A. B. C. D.1答案：C解析：思路：根据给定条件，建立方程并构造函数，利用导数求出函数的最大值即可.解答过程：函数，的定义域均为，设，则点关于轴的对称点为，依题意，方程组有解，即方程组有解，因此方程有解，令函数，求导得，当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，则，由有解得，所以的最大值为.8.已知函数及其导函数的定义域均为，记，已知和都是偶函数，且，则的值为（）A.1 B.－1 C.2025 D.－2025答案：B解析：思路：由已知条件确定的对称中心及对称轴，进而确定函数周期，即可求解.解答过程：因为为偶函数，所以，即，所以关于直线对称，求导得关于点对称，即，又为偶函数，则，所以关于直线对称，推导周期：及，得，得，得，得函数的周期为4，由，得，得，共项和，因为，所以，故选：B.二、多项选择题：共3小题，每小题6分，满分18分.9.已知实数m，n满足，则（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：利用在上单调递减，可判断选项A；利用在区间上单调递减，可判断选项B；由在区间上单调递减，可判断选项D；由得到，利用的单调性得到，利用不等式的性质可判断选项C.故选:ABD.解答过程：因为在上单调递减，且，所以，故A正确；因为在区间上单调递减，所以，故B正确；因为在区间上单调递减，所以，故D正确；因为，所以，所以，所以，所以，即，故C错误.故选:ABD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.为奇函数B.在上单调递增C.关于的方程有2个解D.若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的范围是答案：AC解析：思路：对A，求出函数定义域，验证定义域关于原点对称，再判断与关系，依据定义判断函数奇偶性；对B，在区间用作差法比较的大小得到该区间单调性，再依据奇函数性质判断区间单调性；对C，将分区间去绝对值求解，利用是偶函数的对称性判断方程解的情况；对D，把原函数写成分段形式，转化不等式，结合整数解仅有1个的条件，结合图象求解参数范围.解答过程：对于A：函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以为奇函数，A正确；对于B：任取，，，，，所以，，即函数在单调递减，又因为函数为奇函数，所以在上单调递减，B错误；对于C：时，，当时，，令，解得，当时，，令，无解；令，则，所以函数为偶函数，由对称性可知在上方程有解，C正确；对于D：，关于的不等式可得，结合图象可知，当时，不等式有无数个整数解；当时，在区间内无整数解，因此只需在内包含一个即可.因为，因此若不等式恰好有1个整数解，只需，解得，D错误．11.如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是棱的中点，则下列结论正确的是（）A.平面截该正方体的截面面积为B.若，则点的轨迹长度为C.若为的中点，则三棱锥的体积为1D.与平面所成角的正弦值的取值范围为答案：BC解析：思路：对于选项A，先确定截面，然后计算面积即可；对于选项B，首先确定点的轨迹，然后利用弧长公式进行计算即可；对于选项C，首先确定点到底面的距离，然后根据三棱锥体积公式求出三棱锥的体积即可；对于选项D，找出与平面所成的角的最小值和最大值，然后根据边角关系求出其正弦值即可.解答过程：对于选项A：取线段的中点，连接，那么平面截该正方体的截面为平面.由于，所以面积为，所以A错误；对于选项B：因为平面，平面，所以，所以根据勾股定理得，所以点的轨迹是以为圆心以2为半径的弧.如图所示，因为，所以，所以.同理.所以弧长角度为，所以轨迹长度为，B正确；对于选项C：取的中点，连接，则.取的中点，连接，过点作.因为，所以，所以.因为平面，平面，所以.又，所以.又，且平面.所以平面.所以点到平面的距离为点到平面的距离.设平行直线之间的垂直距离为，则，所以，所以点到平面的距离为.因为平面，平面，所以.所以.所以三棱锥的体积为，所以C正确；对于选项D：作，连接.因为平面，平面，所以，因为，平面.所以平面.所以与平面所成的角的正弦值为.在中，，解得.当点位于时，平面，此时与平面所成的角的正弦值最小为0；当店位于处时，此时与平面所成的角的正弦值最大，最大值小于，达不到.所以D错误.故选：BC.三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分.12.已知函数的定义域是，则函数的定义域为______．答案.解析：思路：由条件求出函数解析式中的范围，列出使得有意义的不等式，解不等式可得结论.解答过程：因为函数的定义域是，所以，故，因为有意义，所以，所以，所以函数的定义域为.故答案为.13.已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为__________．答案：解析：思路：由题可知使得成立，即，结合函数的单调性求出最值即可．解答过程：因为且定义域为，所以，又在上存在单调递减区间，等价于使得成立，即不等式在上有解，即设，，则，令，解得（负根不符合定义域，舍去）．所以函数在单调递减，在单调递增，经计算，，所以，所以．14.已知，关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______.答案：解析：思路：先作出函数的图象，结合图象可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案．解答过程：作出函数图象如图所示：令，则可化为，若有6个根，结合图象可知方程在上有2个不相等的实根，不妨设，，则，解得，故m的取值范围为.四、解答题：共5大题，满分77分.15.已知，．（1）求的值；（2）若，，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得的值；（2）利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得结果.（1）解：因为，，又，所以，所以.（2）解：因为，，又因为，所以，由（1）知，，所以．因为，，则，所以．16.已知.（1）求的单调区间；（2）函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由.答案：（1）在上单调递减，在上单调递增.（2）不存在，理由：由题意得，斜率，,由得，，即，即令，不妨设，则，记所以，所以在上是增函数，所以，所以方程无解，则满足条件的两点不存在.解析：思路：（1）求出导函数，根据导函数的正负来确定函数的单调区间；（2）求出直线的斜率，再求出，从而得到的等式，再进行换元和求导，即可解出答案.（1）由题可得因为，所以，所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增.综上，在上单调递减，在上单调递增.（2）略17.已知四棱锥的底面为菱形，平面，，是的中点，点在棱上.（1）证明：；（2）若，，且直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值.答案：（1）由四边形为菱形，，得为正三角形，因为为的中点，所以，又，因此，因为平面，平面，所以，而平面，平面且，所以平面，又平面，所以．（2）解析：思路：（1）先证明，根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明；（2）建立坐标系，结合条件证明为线段的中点，再求平面，平面的法向量，结合向量夹角公式即可求结论.（1）略；（2）以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系：由，结合菱形性质得，，，，因为在上，故可设，则，取底面的法向量为，因为直线与底面所成角为，则线面角的正弦值等于向量与向量的夹角的余弦值的绝对值，

所以，​

代入，，可得，所以，化简解得​，即为中点，点的坐标为，设平面的法向量为，由，可得，令，可得，，所以为平面的一个法向量，设平面的法向量为，由，可得，令，可得，，所以为平面的一个法向量，设二面角的平面角为，因此

，观察图象可得二面角为锐二面角，故，所以二面角的余弦值为.18.已知椭圆C：的离心率为，焦距为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且．①求证：的面积为定值；②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．答案：（1）（2）①证明：由消去y，化简得：，设，，则，，，故，因为，所以，所以，坐标原点到直线l的距离为，所以的面积为，故的面积为定值．②不存在，理由如下：假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，则，设，则，又因为，即，得，与矛盾，故椭圆上不存在点P，使得OAPB为平行四边形．解析：思路：（1）根据椭圆焦距和离心率的概念求解即可；（2）联立椭圆方程与直线方程消去y后，利用韦达定理和得出，表示出的面积并化简可证明的面积为定值；假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，借助表示出点