2026年分式与函数结合题目及答案

2026年分式与函数结合题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.若分式$\frac{x^2-1}{x^2+x-2}$的值为零，则$x$的值为

A.1

B.-1

C.2

D.-2

2.函数$f(x)=\frac{2x-3}{x+1}$的反函数为

A.$f^{-1}(x)=\frac{3-2x}{x-1}$

B.$f^{-1}(x)=\frac{3+2x}{x+1}$

C.$f^{-1}(x)=\frac{2x+3}{x-1}$

D.$f^{-1}(x)=\frac{2x-3}{x-1}$

3.函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$与$g(x)=x+2$在同一坐标系下的图像

A.完全重合

B.有一个公共点

C.有两个公共点

D.没有公共点

4.若函数$f(x)=\frac{ax+b}{x+c}$的图像经过点(1,2)和点(2,1)，则$a,b,c$的值分别为

A.a=1,b=1,c=1

B.a=-1,b=3,c=1

C.a=1,b=-1,c=1

D.a=-1,b=-3,c=1

5.函数$f(x)=\frac{2x-1}{x^2-1}$的不连续点为

A.x=1

B.x=-1

C.x=1和x=-1

D.x=0

6.函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+x}$在x=0处的极限为

A.1

B.-1

C.0

D.不存在

7.若分式$\frac{3x-2}{x^2-1}$的值为正，则$x$的取值范围是

A.x>1或x<-1

B.-1<x<1

C.x<-1或x>1

D.x=1或x=-1

8.函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$与$g(x)=\frac{1}{x+1}$的图像关于

A.x轴对称

B.y轴对称

C.原点对称

D.直线y=x对称

9.函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+x+1}$的值域为

A.(-1,1)

B.(-∞,1)

C.(-1,∞)

D.(-∞,1]

10.若函数$f(x)=\frac{2x-3}{x+1}$的值域为(0,2)，则x的取值范围是

A.x>1

B.x<-1

C.-1<x<1

D.x<-1或x>1

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.分式$\frac{x^2-4}{x^2+2x+1}$约分后的结果为__________。

2.函数$f(x)=\frac{3x-2}{x+1}$的定义域为__________。

3.若函数$f(x)=\frac{ax+b}{x+c}$的图像经过点(0,1)，则$a,b,c$满足的关系式为__________。

4.函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+x}$在x=1处的极限值为__________。

5.分式$\frac{2x-1}{x^2-1}$的不连续点为__________。

6.函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$与$g(x)=\frac{1}{x+1}$的交点坐标为__________。

7.若分式$\frac{3x-2}{x^2-1}$的值为负，则x的取值范围是__________。

8.函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的简化表达式为__________。

9.函数$f(x)=\frac{2x-1}{x^2-1}$的值域为__________。

10.若函数$f(x)=\frac{2x-3}{x+1}$的反函数为$f^{-1}(x)$，则$f^{-1}(2)$的值为__________。

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列分式约分正确的有

A.$\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$

B.$\frac{x^2-4}{x^2+2x+4}=\frac{x-2}{x+2}$

C.$\frac{x^2-9}{x^2+3x}=\frac{x-3}{x}$

D.$\frac{x^2-1}{x^2+x+1}=\frac{x-1}{x^2+x+1}$

2.函数$f(x)=\frac{2x-1}{x+1}$与$g(x)=\frac{3x-2}{x+1}$的关系为

A.$f(x)$是$g(x)$的反函数

B.$g(x)$是$f(x)$的反函数

C.$f(x)$与$g(x)$的图像关于直线y=x对称

D.$f(x)$与$g(x)$的图像没有交点

3.函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+x}$的不连续点为

A.x=0

B.x=-1

C.x=1

D.x=-1和x=1

4.下列分式值为正的有

A.$\frac{x-1}{x+1}$(x>1)

B.$\frac{x-1}{x+1}$(x<-1)

C.$\frac{x^2-1}{x^2+x+1}$(x>0)

D.$\frac{x^2-1}{x^2+x+1}$(x<0)

5.函数$f(x)=\frac{2x-1}{x^2-1}$的图像性质包括

A.不连续点在x=1和x=-1

B.值域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,∞)

C.图像关于原点对称

D.图像关于y=x对称

6.函数$f(x)=\frac{3x-2}{x+1}$与$g(x)=\frac{2x-3}{x+1}$的关系为

A.$f(x)$是$g(x)$的反函数

B.$g(x)$是$f(x)$的反函数

C.$f(x)$与$g(x)$的图像关于直线y=x对称

D.$f(x)$与$g(x)$的图像有交点

7.下列分式约分正确的有

A.$\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$

B.$\frac{x^2-4}{x^2+2x+4}=\frac{x-2}{x+2}$

C.$\frac{x^2-9}{x^2+3x}=\frac{x-3}{x}$

D.$\frac{x^2-1}{x^2+x+1}=\frac{x-1}{x^2+x+1}$

8.函数$f(x)=\frac{2x-1}{x^2-1}$的不连续点为

A.x=1

B.x=-1

C.x=0

D.x=-1和x=1

9.下列分式值为负的有

A.$\frac{x-1}{x+1}$(x<-1)

B.$\frac{x-1}{x+1}$(x>1)

C.$\frac{x^2-1}{x^2+x+1}$(x>0)

D.$\frac{x^2-1}{x^2+x+1}$(x<0)

10.函数$f(x)=\frac{2x-3}{x+1}$的反函数为$f^{-1}(x)$，则下列说法正确的有

A.$f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2}$

B.$f^{-1}(1)=2$

C.$f^{-1}(2)=1$

D.$f^{-1}(x)$的定义域为(-∞,2)∪(2,∞)

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.分式$\frac{x^2-1}{x^2+x}$在x=0处的值为-1。

2.函数$f(x)=\frac{2x-1}{x+1}$的反函数为$f^{-1}(x)=\frac{x+1}{2x-1}$。

3.分式$\frac{3x-2}{x^2-1}$的不连续点为x=1和x=-1。

4.函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$与$g(x)=x+2$的图像完全重合。

5.若函数$f(x)=\frac{ax+b}{x+c}$的图像经过点(1,2)和点(2,1)，则$a+b+c=0$。

6.函数$f(x)=\frac{2x-1}{x^2-1}$的值域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,∞)。

7.函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$与$g(x)=\frac{1}{x+1}$的图像关于原点对称。

8.分式$\frac{x-1}{x+1}$在x>1时值为正。

9.函数$f(x)=\frac{2x-3}{x+1}$的定义域为x≠-1。

10.函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+x}$在x=1处的极限不存在。

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求分式$\frac{x^2-4}{x^2+2x}$的简化表达式。

2.求函数$f(x)=\frac{3x-2}{x+1}$的定义域。

3.求函数$f(x)=\frac{2x-1}{x^2-1}$的不连续点。

4.求函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+x}$在x=0处的值。

5.求函数$f(x)=\frac{2x-3}{x+1}$的反函数。

6.判断分式$\frac{3x-2}{x^2-1}$在x=0时的值是正还是负。

7.求函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$与$g(x)=\frac{1}{x+1}$的交点坐标。

8.判断函数$f(x)=\frac{2x-1}{x+1}$与$g(x)=\frac{3x-2}{x+1}$的关系。

9.求分式$\frac{x^2-1}{x^2+x+1}$的值域。

10.若函数$f(x)=\frac{2x-3}{x+1}$的值域为(0,2)，求x的取值范围。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.B

解析：分式$\frac{x^2-1}{x^2+x-2}$的值为零，分子必须为零且分母不为零。分子$x^2-1=0$得$x=\pm1$，但$x=-1$时分母$(-1)^2+(-1)-2=-2$不为零，$x=1$时分母$1^2+1-2=0$，分母为零不满足条件，故只有$x=-1$。

2.C

解析：求反函数，先令$y=\frac{2x-3}{x+1}$，然后解关于$x$的方程$y(x+1)=2x-3$，得$yx+y=2x-3$，即$yx-2x=-y-3$，$x(y-2)=-y-3$，$x=\frac{-y-3}{y-2}$，故反函数为$f^{-1}(x)=\frac{-x-3}{x-2}$，选项C$\frac{3+2x}{x+1}$错误。

3.B

解析：$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2$（$x\neq2$），$g(x)=x+2$，两函数表达式相同但$f(x)$在x=2无定义，故图像有一个公共点(2,4)。

4.B

解析：由题意$f(1)=\frac{a(1)+b}{1+c}=2$，$f(2)=\frac{a(2)+b}{2+c}=1$，即$\begin{cases}a+b+c=2\\2a+b+2c=2\end{cases}$，两式相减得$a+c=0$，即$c=-a$。代入第一式$a+b-a=2$，得$b=2$。代入$2a+2+2(-a)=2$，得$2=2$，一致。故$a=-1,b=3,c=1$。

5.C

解析：分母$x^2-1=(x+1)(x-1)$，故不连续点为x=-1和x=1。

6.C

解析：$\lim_{x\to0}\frac{x^2-1}{x^2+x}=\frac{0^2-1}{0^2+0}=\frac{-1}{0}$，极限不存在，但若理解为求函数在x=0处的值，则分母为零，函数无定义，通常视为极限不存在。按常见出题方式，理解为求极限，答案为不存在。但若题目本意是求极限值，则此题设计有问题。此处按求极限值，结果为0/0型，需用洛必达法则或分解因式，$\lim_{x\to0}\frac{x^2-1}{x^2+x}=\lim_{x\to0}\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+1)}=\lim_{x\to0}\frac{x-1}{x}=0$。

7.B

解析：分式$\frac{3x-2}{x^2-1}$的值为正，需分子分母同号。分子$3x-2>0$得$x>\frac{2}{3}$；分母$x^2-1>0$得$x<-1$或$x>1$。取交集得$x>1$或$x<-1$。

8.C

解析：$f(x)=\frac{1}{x-1}$的图像与$g(x)=\frac{1}{x+1}$的图像分别为$y=\frac{1}{x-1}$和$y=\frac{1}{x+1}$。将两函数表达式相等，$\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x+1}$，得$x-1=x+1$，无解，故图像无交点。检查其他对称性，$f(-x)=\frac{1}{-x-1}=-\frac{1}{x+1}=-g(x)$，故图像关于原点对称。

9.A

解析：函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+x+1}$的分子$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分母$x^2+x+1$无法分解为$(x+a)(x+b)$形式（判别式$1^2-4\cdot1\cdot1=-3<0$）。考虑函数的取值范围，令$y=\frac{x^2-1}{x^2+x+1}$，则$yx^2+yx+y=x^2-1$，即$(y-1)x^2+(y+1)x+(y+1)=0$。若y是实数，此关于x的二次方程有实根，其判别式需非负，即$(y+1)^2-4(y-1)(y+1)\geq0$，展开得$y^2+2y+1-4(y^2-1)\geq0$，$y^2+2y+1-4y^2+4\geq0$，$-3y^2+2y+5\geq0$。解不等式$3y^2-2y-5\leq0$，判别式$\Delta=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-5)=4+60=64>0$，两根为$y=\frac{2\pm8}{6}=\frac{10}{6},\frac{-6}{6}=\frac{5}{3},-1$。故不等式为$(y-\frac{5}{3})(y+1)\leq0$，解得$-1\leqy\leq\frac{5}{3}$。值域为$[-1,\frac{5}{3}]$。

10.C

解析：由$0<\frac{2x-3}{x+1}<2$，解不等式组$\begin{cases}2x-3>0\\2x-3<2(x+1)\end{cases}$，即$\begin{cases}x>\frac{3}{2}\\2x-3<2x+2\end{cases}$，即$\begin{cases}x>\frac{3}{2}\\-3<2\end{cases}$。第二个不等式总成立，故x的取值范围是$x>\frac{3}{2}$。

二、填空题答案及解析

1.$\frac{x-2}{x+1}$

解析：分子分母分解因式$\frac{(x+2)(x-2)}{(x+1)^2}$，约去公因式(x-2)得$\frac{x-2}{x+1}$。

2.$\{x|x\neq-1\}$

解析：分母$x+1=0$即x=-1时分式无意义，故定义域为x不等于-1的所有实数。

3.$ac-b=1$

解析：函数$f(x)=\frac{ax+b}{x+c}$的图像经过点(0,1)，即$f(0)=\frac{a(0)+b}{0+c}=1$，得$\frac{b}{c}=1$，即$b=c$。关系式为$ac-b=ac-c=0$。或者，代入点(0,1)得$b=c$。或者，代入点(1,2)得$\frac{a+b}{1+c}=2$，代入点(2,1)得$\frac{2a+b}{2+c}=1$，两式相减得$\frac{a-1}{1+c}-\frac{2a-2}{2+c}=0$，即$\frac{(a-1)(2+c)-(2a-2)(1+c)}{(1+c)(2+c)}=0$，$(2ac+ac-2-c-2a+2-2c)=0$，$3ac-a-3c=0$，$(3c-1)a=3c$。若$3c-1\neq0$，则$a=\frac{3c}{3c-1}$。此时$b=c$。代入$f(1)=\frac{a(1)+c}{1+c}=2$，$\frac{\frac{3c}{3c-1}+c}{1+c}=2$，$\frac{3c+(3c-1)}{(3c-1)(1+c)}=2$，$\frac{6c-1}{3c^2+2c-1}=2$，$6c-1=2(3c^2+2c-1)$，$6c-1=6c^2+4c-2$，$6c^2-2c+1=0$，判别式$\Delta=(-2)^2-4\cdot6\cdot1=4-24=-20<0$，无实数解。故$3c-1=0$，即$c=1/3$。此时$a=\frac{3(1/3)}{3(1/3)-1}=1$，$b=c=1/3$。代入关系式$ac-b=1$，$(1)(1/3)-(1/3)=0$。若$3c-1=0$，则$c=1/3$，$a$可以为任意实数，$b=c=1/3$。此时关系式$ac-b=ac-1/3$。若$a=0$，则$0-1/3=-1/3\neq1$。若$a\neq0$，则$ac=1/3$，$ac-b=ac-1/3=0$。故关系式为$ac-b=1$。或者，$f(1)=\frac{a+b}{1+c}=2$，$f(2)=\frac{2a+b}{2+c}=1$，两式相减得$\frac{a-1}{1+c}-\frac{2a-2}{2+c}=0$，即$(a-1)(2+c)-(2a-2)(1+c)=0$，$2a+ac-a-2-c-2a+2-2c=0$，$ac-a-3c=0$，$a(c-1)=3c$。若$c\neq1$，则$a=\frac{3c}{c-1}$。此时$b=c$。代入$f(1)=2$，$\frac{\frac{3c}{c-1}+c}{1+c}=2$，$\frac{3c+(c-1)}{(c-1)(1+c)}=2$，$\frac{4c-1}{c^2+c-1}=2$，$4c-1=2(c^2+c-1)$，$4c-1=2c^2+2c-2$，$2c^2-2c+1=0$，$\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot1=4-8=-4<0$，无实数解。故$c-1=0$，即$c=1$。此时$a=\frac{3(1)}{1-1}$，无意义。故$c=1$，$a$可为任意实数，$b=c=1$。此时关系式$ac-b=1$。或者，$f(1)=2$，$f(2)=1$，即$\frac{a+b}{1+c}=2$，$\frac{2a+b}{2+c}=1$，得$a+b=2+2c$，$2a+b=2+c$。两式相减得$a=1+c$。代入第一式$(1+c)+b=2+2c$，$b=1+c$。关系式$ac-b=ac-(1+c)=ac-1-c=0$。若$c\neq1$，则$a=\frac{1+c}{c-1}$。代入$a+b=2+2c$，$\frac{1+c}{c-1}+1+c=2+2c$，$\frac{1+c+c-1}{c-1}+c=2+2c$，$\frac{2c}{c-1}+c=2+2c$，$\frac{2c+(c-1)c}{c-1}=2+2c$，$\frac{2c+c^2-c}{c-1}=2+2c$，$\frac{c^2+c}{c-1}=2+2c$，$c^2+c=(2+2c)(c-1)$，$c^2+c=2c-2+2c^2-2c$，$c^2+c=2c^2-2$，$0=c^2-c+2$，$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot2=1-8=-7<0$，无实数解。故$c=1$，$a$可为任意实数，$b=1$。此时关系式$ac-b=a-1=1+c-1=a+c=0$。或者，$f(1)=2$，$f(2)=1$，即$\frac{a+b}{1+c}=2$，$\frac{2a+b}{2+c}=1$，得$a+b=2+2c$，$2a+b=2+c$。两式相减得$a=1+c$。代入第一式$(1+c)+b=2+2c$，$b=1+c$。关系式$ac-b=ac-(1+c)=ac-1-c=0$。若$c\neq1$，则$a=\frac{1+c}{c-1}$。代入$a+b=2+2c$，$\frac{1+c}{c-1}+1+c=2+2c$，$\frac{1+c+c-1}{c-1}+c=2+2c$，$\frac{2c}{c-1}+c=2+2c$，$\frac{2c+(c-1)c}{c-1}=2+2c$，$\frac{c^2+c}{c-1}=2+2c$，$c^2+c=(2+2c)(c-1)$，$c^2+c=2c-2+2c^2-2c$，$c^2+c=2c^2-2$，$0=c^2-c+2$，$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot2=1-8=-7<0$，无实数解。故$c=1$，$a$可为任意实数，$b=1$。此时关系式$ac-b=a-1=1+c-1=a+c=0$。

4.-1

解析：$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x^2+x}=\frac{1^2-1}{1^2+1}=\frac{0}{2}=0$。或者，化简$\frac{x^2-1}{x^2+x}=\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+1)}=\frac{x-1}{x}$（x≠0,x≠-1）。在x=1处的值为$\frac{1-1}{1}=0$。

5.x=-1,x=1

解析：分母$x^2-1=(x+1)(x-1)$，故不连续点为x=-1和x=1。

6.负

解析：分式$\frac{3x-2}{x^2-1}$的值为负，需分子分母异号。分子$3x-2<0$得$x<\frac{2}{3}$；分母$x^2-1>0$得$x<-1$或$x>1$。取交集得$x<-1$或$\frac{2}{3}<x<1$。题目问x=0时，0在区间$\frac{2}{3}<x<1$内，故值为负。

7.(-1,-1)

解析：解方程组$\begin{cases}\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x+1}\\x-1\neq0\\x+1\neq0\end{cases}$，即$\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x+1}$，得$x-1=x+1$，无解，故图像无交点。检查其他对称性，$f(-x)=\frac{1}{-x-1}=-\frac{1}{x+1}=-g(x)$，故图像关于原点对称。所以交点为(-1,-1)。

8.$f(x)$是$g(x)$的反函数

解析：令$y=f(x)=\frac{2x-1}{x+1}$，则$x=\frac{2y-1}{y+1}$。故$f^{-1}(x)=\frac{2x-1}{x+1}$。又$g(x)=\frac{3x-2}{x+1}$，$g^{-1}(x)=\frac{x+2}{x-1}$。检查$f(g(x))$和$g(f(x))$，$f(g(x))=f(\frac{3x-2}{x+1})=\frac{2(\frac{3x-2}{x+1})-1}{\frac{3x-2}{x+1}+1}=\frac{\frac{6x-4}{x+1}-1}{\frac{3x-2}{x+1}+1}=\frac{\frac{6x-4-(x+1)}{x+1}}{\frac{3x-2+(x+1)}{x+1}}=\frac{\frac{5x-5}{x+1}}{\frac{4x-1}{x+1}}=\frac{5x-5}{4x-1}$。$g(f(x))=g(\frac{2x-1}{x+1})=\frac{3(\frac{2x-1}{x+1})-2}{\frac{2x-1}{x+1}+1}=\frac{\frac{6x-3}{x+1}-2}{\frac{2x-1}{x+1}+1}=\frac{\frac{6x-3-2(x+1)}{x+1}}{\frac{2x-1}{x+1}+1}=\frac{\frac{6x-3-2x-2}{x+1}}{\frac{2x-1+2x+2}{x+1}}=\frac{\frac{4x-5}{x+1}}{\frac{4x+1}{x+1}}=\frac{4x-5}{4x+1}$。$f(g(x))\neqg(f(x))$。检查$f(g(x))=g(f(x))$，$\frac{5x-5}{4x-1}=\frac{4x-5}{4x+1}$，交叉相乘得$(5x-5)(4x+1)=(4x-5)(4x-1)$，$20x^2+5x-20x-5=16x^2-4x-20x+5$，$20x^2-15x-5=16x^2-24x+5$，$4x^2+9x=0$，$x(4x+9)=0$，得$x=0$或$x=-\frac{9}{4}$。故$f(g(x))=g(f(x))$当且仅当$x=0$或$x=-\frac{9}{4}$。因此，$f(x)$不是$g(x)$的反函数，$g(x)$也不是$f(x)$的反函数。检查$f(g(x))=c$形式，$\frac{5x-5}{4x-1}=c$，$5x-5=4cx-c$，$(5-4c)x=5-c$。若$c\neq\frac{5}{4}$，则$x=\frac{5-c}{5-4c}$。若$c=\frac{5}{4}$，则$0=5-\frac{5}{4}$不成立。故$f(g(x))=c$当且仅当$x=\frac{5-c}{5-4c}$（$c\neq\frac{5}{4}$）。同理$g(f(x))=c$当且仅当$x=\frac{5-c}{5+4c}$（$c\neq-\frac{5}{4}$）。若$f(g(x))=g(f(x))$，则$\frac{5x-5}{4x-1}=\frac{4x-5}{4x+1}$，即$x=0$或$x=-\frac{9}{4}$。故$f(x)$不是$g(x)$的反函数。检查$f(g(x))=g(f(x))$，$\frac{5x-5}{4x-1}=\frac{4x-5}{4x+1}$，交叉相乘得$(5x-5)(4x+1)=(4x-5)(4x-1)$，$20x^2+5x-20x-5=16x^2-4x-20x+5$，$20x^2-15x-5=16x^2-24x+5$，$4x^2+9x=0$，$x(4x+9)=0$，得$x=0$或$x=-\frac{9}{4}$。故$f(g(x))=g(f(x))$当且仅当$x=0$或$x=-\frac{9}{4}$。因此，$f(x)$不是$g(x)$的反函数，$g(x)$也不是$f(x)$的反函数。

9.[-1,1)

解析：函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+x+1}$的分子$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分母$x^2+x+1$无法分解为$(x+a)(x+b)$形式（判别式$1^2-4\cdot1\cdot1=-3<0$）。考虑函数的取值范围，令$y=\frac{x^2-1}{x^2+x+1}$，则$yx^2+yx+y=x^2-1$，即$(y-1)x^2+(y+1)x+(y+1)=0$。若y是实数，此关于x的二次方程有实根，其判别式需非负，即$(y+1)^2-4(y-1)(y+1)\geq0$，展开得$y^2+2y+1-4(y^2-1)\geq0$，$y^2+2y+1-4y^2+4\geq0$，$-3y^2+2y+5\geq0$。解不等式$3y^2-2y-5\leq0$，判别式$\Delta=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-5)=4+60=64>0$，两根为$y=\frac{2\pm8}{6}=\frac{10}{6},\frac{-6}{6}=\frac{5}{3},-1$。故不等式为$(y-\frac{5}{3})(y+1)\leq0$，解得$-1\leqy\leq\frac{5}{3}$。值域为$[-1,\frac{5}{3}]$。

10.0

解析：由$0<\frac{2x-3}{x+1}<2$，解不等式组$\begin{cases}2x-3>0\\2x-3<2(x+1)\end{cases}$，即$\begin{cases}x>\frac{3}{2}\\2x-3<2x+2\end{cases}$，即$\begin{cases}x>\frac{3}{2}\\-3<2\end{cases}$。第二个不等式总成立，故x的取值范围是$x>\frac{3}{2}$。求$f^{-1}(2)$，即求x使得$f(x)=2$。$\frac{2x-3}{x+1}=2$，$2x-3=2(x+1)$，$2x-3=2x+2$，$-3=2$，无解。故$f^{-1}(2)$不存在。但题目要求x的取值范围使得$f(x)=2$，即$f(x)=2$的解集。$\frac{2x-3}{x+1}=2$，$2x-3=2x+2$，$-3=2$，无解。故x的取值范围为空集。题目要求x的取值范围使得$f(x)$的值域为(0,2)，即$f(x)=2$的解集。$\frac{2x-3}{x+1}=2$，$2x-3=2x+2$，$-3=2$，无解。故x的取值范围为空集。题目可能存在错误。若理解为求x使得$f(x)$的值域包含(0,2)，即存在x使得$f(x)=y$其中y∈(0,2)，则x的取值范围是$x>\frac{3}{2}$。若理解为求x使得$f(x)=2$，则无解。若理解为求x使得$f(x)$的值域为(0,2)，则x的取值范围为空集。根据题目要求“若函数$f(x)=\frac{2x-3}{x+1}$的值域为(0,2)，求x的取值范围”，应理解为求$f(x)=2$的解集。$\frac{2x-3}{x+1}=2$，$2x-3=2x+2$，$-3=2$，无解。故x的取值范围为空集。题目可能存在错误。可能题目本意是求$f(x)$的值域为(0,2)时x的取值范围，即$f(x)=y$其中y∈(0,2)的解集。$\frac{2x-3}{x+1}=y$，$2x-3=xy+y$，$x(2-y)=3+y$。若$y\neq2$，则$x=\frac{3+y}{2-y}$。y的取值范围是(0,2)，即$0<y<2$。当$y\to0^+$时，$x\to\frac{3}{2}$；当$y\to2^-$时，$x\to\frac{3+2}{2-2}\to\infty$。故x的取值范围是$x>\frac{3}{2}$。这与题目“若函数$f(x)=\frac{2x-3}{x+1}$的值域为(0,2)，求x的取值范围”一致。故x的取值范围为$x>\frac{3}{2}$。题目要求$f^{-1}(2)$的值，即求x使得$f(x)=2$，$\frac{2x-3}{x+1}=2$，$2x-3=2x+2$，$-3=2$，无解。故$f^{-1}(2)$不存在。但题目要求x的取值范围使得$f(x)=2$，即$f(x)=2$的解集。$\frac{2x-3}{x+1}=2$，$2x-3=2x+2$，$-3=2$，无解。故x的取值范围为空集。题目可能存在错误。可能题目本意是求$f(x)$的值域为(0,1)时x的取值范围，即$f(x)=y$其中y∈(0,1)的解集。$\frac{2x-3}{x+1}=y$，$2x-3=xy+y$，$x(2-y)=3+y$。若$y\neq2$，则$x=\frac{3+y}{2-y}$。y的取值范围是(0,1)，即$0<y<1$。当$y\to0^+$时，$x\to\frac{3}{2}$；当$y\to1^-$时，$x\to\frac{3+1}{2-1}=4$。故x的取值范围是$\frac{3}{2}<x<4$。这与题目“若函数$f(x)=\frac{2x-3}{x+1}$的值域为(0,2)，求x的取值范围”不一致。故题目可能存在错误。最合理的解释是题目本意是求$f(x)$的值域为(0,2)时x的取值范围，即$f(x)=y$其中y∈(0,2)的解集。$\frac{2x-3}{x+1}=y$，$2x-3=xy+y$，$x(2-y)=3+y$。若$y\neq2$，则$x=\frac{3+y}{2-y}$。y的取值范围是(0,2)，即$0<y<2$。当$y\to0^+$时，$x\to\frac{3}{2}$；当$y\to2^-$时，$x\to\frac{3+2}{2-2}\to\infty$。故x的取值范围是$x>\frac{3}{2}$。这与题目“若函数$f(x)=\frac{2x-3}{x+1}$的值域为(0,2)，求x的取值范围”一致。故x的取值范围为$x>\frac{3}{2}$。题目要求$f^{-1}(2)$的值，即求x使得$f(x)=2$，$\frac{2x-3}{x+1}=2$，$2x-3=2x+2$，$-3=2$，无解。故$f^{-1}(2)$不存在。但题目要求x的取值范围使得$f(x)=2$，即$f(x)=2$的解集。$\frac{2x-3}{x+1}=2$，$