八年级数学上册《三角形的中线、角平分线、高》课件

13.2.2三角形的中线、角平分线、高【R·数学八年级上册】学习目标理解三角形的中线、角平分线、高等概念，了解三角形的重心的概念.探究三角形三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线分别交于一点的过程.会画出任意三角形的中线、角平分线、高.复习导入连一连.线段中点角平分线垂线a=bab12∠1=∠2它们在三角形中是什么样的？复习导入如图，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点D的运动过程中，观察点D或线段AD有没有特殊的位置？你认为有哪些特殊位置？ABC如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC

的中点D.所得线段

AD

叫作△ABC的边BC

上的中线.D

∴AD是△ABC的中线.几何符号语言：F你能画出几条中线？E三角形有3条边，所以一个三角形有3条中线.探究新知知识点1三角形的中线知识点1三角形的中线画出直角三角形和钝角三角形的中线.ABCDFEABCABCFDEFDE你发现了什么？三角形的三条中线相交于三角形内一点三角形的重心三角形的重心的实际意义图中框架能被手指托起后保持平衡，是因为手指恰好托在了框架的重心上.一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块木板的重心.教材P8练习第2题

ABCDFECDACAF

BF针对训练知识点2三角形的角平分线如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D.ABCF几何符号语言：你能画出几条角平分线？DE三角形有3个内角，所以可以画3条角平分线

∴

AD是△ABC的角平分线.所得线段AD叫作△ABC的角平分线.12提示：可以折一折，或用量角器角的平分线是一条______，三角形的角平分线是一条_______.射线线段12AOCABCD12辨析提示知识点2三角形的角平分线画出直角三角形和钝角三角形的角平分线.ABCABC你发现了什么？三角形的三条角平分线相交于三角形内一点FDEFDEABCFDE教材P8练习第2题

ABCFDE1342∠2∠ABC∠4

∠ACF针对训练2.如图，AD是△ABC的中线，AE是∠BAC的平分线，则BD=________=

BC，∠BAE=_________=∠BAC.DC∠CAEABCED针对训练知识点3三角形的高你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？ABC垂线在三角形内是什么？知识点3三角形的高如图，从△ABC的顶点A

向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D.ABC几何符号语言：D∴AD是△ABC的高.∵AD⊥BC(∠BDA=∠CDA=90°)，

所得线段AD叫作△ABC边BC

上的高线.三角形的高线简称三角形的高.知识点3三角形的高ABCDEFO锐角三角形的三条高都在三角形的内部.锐角三角形的三条高交于三角形内一点.这个点叫作三角形的垂心.画出锐角三角形的三条高，你有什么发现？探究知识点3三角形的高画出直角三角形的三条高，你有什么发现？探究ABC直角边BC边上的高是_____；

直角边AC边上的高是_____；

ACBC斜边AB边上的高是_____；

DCD直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边，三条高的交点在直角顶点处.知识点3三角形的高画出钝角三角形的三条高，你有什么发现？探究ABCDEF三条高的交点在三角形外部.O钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上.锐角三角形直角三角形钝角三角形高在三角形内部的数量311高之间是否相交相交相交不相交高所在的直线是否相交相交相交相交三条高交点的位置三角形内直角顶点上三角形外归纳总结1.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点C，D，E，则下列说法不正确的是（）A.AC是△ABC的高B.DE是△BCD的高C.DE是△ABE的高D.AD是△ACD的高CCABDE√√√△BCD或△BDE或△CDE针对训练针对训练2.在下图中，正确画出△ABC中边BC上高的是（）C

A.

B.

C.

D.ADCBADCBADCBADCB随堂演练教材P8练习第1题1.如图，过△ABC

的顶点C，分别画出它的中线、角平分线和高.ABCDEF解：如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线和高.2.如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线.（1）AC=____AE=____EC；

CD=______；

AF=____AB；（2）若S△ABC

=12，则S△ABD=____.ABCDEF22BD6三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分随堂演练3.如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，BC=8cm，则AC

的长为____cm.ABCM分析：CM

是中线C△BCM

–C△ACM

=

3cmAM=

BMBC–AC=

3cmBC=

8cmAC=

5cm5随堂演练随堂演练4.如图，在△ABC中，已知D、E、F

分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC

=12，则图中阴影部分的面积为（）A.1 B.2 C.3 D.4CABCDEFS△ABD=S△ACD=S△ABC=666S△BDE=S△CDE=S△ABD=333S△BEF=S△BCE=35.如图，D是△ABC的边AC上一点，DE//BC交AB于点E，若∠EDB=∠EBD，试说明：BD是△ABC的角平分线.解：∵DE//BC，∴∠EDB=∠DBC.又∵∠EDB=∠EBD，∴∠EBD=∠DBC.所以BD是△ABC的角平分线.ABCED随堂演练课堂小结三角形的重要线段高中线角平分线ABCEDFABCDABCEDFABCEDFABCEDFABCEDFABCEDFABCEDFABCEDF一、选择题(共12题，每题3分，共36分)1.

[唐山丰南区期中]木工要做一个三角形木架，现有两根木条的

长度分别为12

cm和5

cm，则第三根木条的长度不能是(

A

)

A.

6

cmB.

9

cmC.

13

cmD.

16

cm2.

如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是(

D

)A.

钝角三角形B.

直角三角形C.

锐角三角形D.

以上都有可能AD12345678910111213141516171819203.

[唐山丰润区模拟]如图，在△

ABC

中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，

则下列说法中，正确的是(

B

)A.

AD

是△

ABE

的中线B.

AE

是△

ABC

的角平分线C.

AF

是△

ACE

的高线D.

AE

是△

DAF

的中线B12345678910111213141516171819204.

把

n

边形变为(

n

＋

x

)边形，内角和增加了180°，则

x

的值为(

A

)A.

1B.

2C.

3D.

4【解析】由题意，得(

n

＋

x

－2)×180°－(

n

－2)×180°＝180°，解得

x

＝1.A12345678910111213141516171819205.

如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点

A

，

B

，

C

都在格点上，则△

ABC

的面积为(

C

)B.

3D.

4

C12345678910111213141516171819206.

科技馆为某机器人编写了一段程序，如果这个机器人在平地上按照

图中所示的程序行走，那么该机器人所走的总路程为(

C

)A.

6

mB.

8

mC.

12

mD.

不能确定C1234567891011121314151617181920【解析】由题意知，机器人从点

A

出发再回到点

A

时，走过的路线可围

成一个正多边形，∵每次左转30°，即这个正多边形的每个外角为30°，∴这个正多边形的边数为360°÷30°＝12.∴它第一次回到出发点

A

时，一共走了12×1＝12(m).12345678910111213141516171819207.

如图，在四边形

ABCD

中，∠

C

＝110°，与∠

BAD

，∠

ABC

相邻

的外角都是110°，则与∠

ADC

相邻的外角α的度数是(

D

)A.

90°B.

85°C.

80°D.

70°【解析】∵在四边形

ABCD

中，∠

C

＝110°，∴与∠

C

相邻的外角度数为180°－110°＝70°.∴α＝360°－70°－110°－110°＝70°.D12345678910111213141516171819208.

一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则

∠1＋∠2的度数是(

B

)A.

90°B.

100°C.

130°D.

180°B1234567891011121314151617181920【解析】如图可知，∠

BAC

＝180°－90°－∠1＝90°－∠1，∠

ABC

＝180°－60°－∠3＝120°－50°＝70°，∠

ACB

＝180°－60°－

∠2＝120°－∠2.∵在△

ABC

中，∠

BAC

＋∠

ABC

＋∠

ACB

＝180°，∴90°－∠1＋70°＋120°－∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝100°.12345678910111213141516171819209.

若三角形三个外角的比为3∶4∶5，则这个三角形是(

B

)A.

锐角三角形B.

直角三角形C.

等腰三角形D.

钝角三角形【解析】设三角形的三个外角的度数分别为3

x

，4

x

，5

x

，则3

x

＋4

x

＋5

x

＝360°，解得

x

＝30°.∴3

x

＝90°，4

x

＝120°，5

x

＝150°，相应的内角分别为90°，60°，30°.∴这个三角形是直角三角形.B123456789101112131415161718192010.

等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角度数是

(

B

)A.

65°B.

65°或25°C.

25°D.

50°B1234567891011121314151617181920【解析】当该等腰三角形为锐角三角形时，如图1，可求得其顶角为50°，

当该等腰三角形为钝角三角形时，如图2，

可求得顶角的外角为50°，则顶角为180°－50°＝130°，

综上所述，该等腰三角形的底角为65°或25°.123456789101112131415161718192011.

如图所示，将正五边形

ABCDE

的点

C

固定，并按顺时针方向旋

转，要使新五边形A'B'CD'E'的顶点D'落在直线

BC

上，则旋转角度为

(

B

)A.

108°B.

72°C.

54°D.

36°第11题图B1234567891011121314151617181920【解析】∵正五边形的外角＝360°÷5＝72°，∴将正五边形

ABCDE

的点

C

固定，并按顺时针方向旋转，则旋转72°，可使得新五边形

A'B'CD'E'的顶点D'落在直线

BC

上.第11题图123456789101112131415161718192012.

如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”(图1)和“梅花”图案

(图2)(图中的折扇无重叠)，则“梅花”图案中的五角星的五个锐角均为

(

D

)A.

36°B.

42°C.

45°D.

48°第12题图D1234567891011121314151617181920【解析】如图，连接图中五角星的各个顶点，组成正五边形.∵五边形的内角和＝(5－2)×180°＝540°，

∵扇形中心角度为120°，

∴剩下顶角为108°－2×30°＝48°.第12题图1234567891011121314151617181920二、填空题(共4题，每题3分，共12分)13.

在以下生活现象中：①自行车的三角形车架；②校门口的自动伸缩

栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条.利用了三角形的

稳定性的有

(填序号).①③④

123456789101112131415161718192014.

如图，在△

ABC

中，∠

ABC

＝50°，∠

ACB

＝78°，

BD

平分∠

ABC

交

AC

于点

D

，则∠

BDC

的度数为

⁠°.77

123456789101112131415161718192015.

[石家庄裕华区二模]一块板材如图所示，测得∠

B

＝90°，∠

A

＝20°，∠

C

＝35°，根据需要，∠

ADC

为140°，师傅说板材不符

合要求且只能改动∠

A

，则可将∠

A

(填“增加”或“减少”)

⁠°.第15题图减少5

1234567891011121314151617181920【解析】如图，延长

CD

交

AB

于点

E

.

∵∠

ADC

＝∠

A

＋∠

CEA

，∠

CEA

＝∠

B

＋∠

C

，∴∠

ADC

＝∠

A

＋∠

B

＋∠

C

.

∵∠

B

＝90°，∠

A

＝20°，∠

C

＝35°，∴∠

ADC

＝20°＋90°＋35°＝145°.∵∠

ADC

需为140°，∴可将∠

A

减少5°.第15题图123456789101112131415161718192016.

[石家庄模拟]我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数

是另一个角度数的3倍，这样的三角形我们称之为“和谐三角形”.如：

三个内角分别为105°，40°，35°的三角形是“和谐三角形”.概念

理解：如图，∠

MON

＝60°，在射线

OM

上找一点

A

，过点

A

作

AB

⊥

OM

交

ON

于点

B

，则∠

ABO

的度数为

，△

AOB

(填

“是”或“不是”)“和谐三角形”.30°

是第16题图1234567891011121314151617181920【解析】∵

AB

⊥

OM

，∴∠

OAB

＝90°.∵∠

MON

＝60°，∴∠

ABO

＝180°－90°－60°＝30°.在△

AOB

中，∠

OAB

＝90°，∠

ABO

＝30°，即∠

OAB

＝3∠

ABO

，

∴△

AOB

是“和谐三角形”.第16题图1234567891011121314151617181920三、解答题(共52分)17.

(6分)已知

n

边形的内角和θ＝(

n

－2)×180°.(1)甲同学说：“θ能取360°”；而乙同学说：“θ也能取630°”.甲、

乙同学的说法对吗？若对，求出边数

n

；若不对，请说明理由；解：(1)∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3.5，∴甲同学的说法对，乙同学的说法不对.∵360°÷180°＋2＝2＋2＝4.∴甲同学说的边数

n

是4.1234567891011121314151617181920(2)若

n

边形变为(

n

＋

x

)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方

法确定

x

.解：(2)依据题意，得(

n

＋

x

－2)×180°－(

n

－2)×180°＝360°，解

得

x

＝2.∴

x

的值是2.123456789101112131415161718192018.

(6分)如图，在△

ABC

中，∠

B

＝∠

C

，

D

，

E

分别是

BC

，

AC

上

的点，连接

DE

，∠1＝∠2，∠

BAD

＝40°，求∠

EDC

的度数.解：∵∠1是△

DEC

的外角，∴∠1＝∠

EDC

＋∠

C

.

∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠

EDC

＋∠

C

.

∵∠

ADC

是△

ABD

的外角，∴∠

ADC

＝∠

B

＋∠

BAD

.

∴∠

B

＋∠

BAD

＝∠2＋∠

EDC

，即∠

B

＋40°＝∠

C

＋2∠

EDC

.

又∵∠

B

＝∠

C

，∴2∠

EDC

＝40°.∴∠

EDC

＝20°.123456789101112131415161718192019.

(8分)如图，用钉子把木棒

AB

，

BC

和

CD

分别在端点

B

，

C

处连接

起来，并让木棒

AB

，

CD

可以分别绕端点

B

，

C

转动，用橡皮筋把

AD

连接起来，设橡皮筋

AD

的长是

x

cm.(1)若

AB

＝5

cm，

CD

＝3

cm，

BC

＝11

cm，求

x

的最大值和最小值；1234567891011121314151617181920解：(1)当

AB

绕点

B

逆时针转到与

BC

共线，

CD

绕点

C

顺时针转到与

BC

共线时，

x

为最大值，即

x

＝

AB

＋

BC

＋

CD

＝5＋11＋3＝19(cm)；当

AB

绕点

B

顺时针转到与

BC

共线，

CD

绕点

C

逆时针转

到与

BC

共线时，

x

为最小值，即

x

＝

BC

－

AB

－

CD

＝

11－5－3＝3(cm).1234567891011121314151617181920(2)在(1)的条件下要围成一个四边形，你能求出

x

的取值范围吗？解：(2)如果要使

AB

，

BC

，

CD

，

AD

围成一个四边形，

那么

AB

，

BC

，

CD

三根木棒不能共线，∴

x

的取值范围

为3＜

x

＜19.123456789101112131415161718192020.

(9分)如图，在四边形

ABCD

中，∠

B

＝∠

D

＝90°，

AE

平分∠

BAD

，

CF

平分∠

BCD

，则

AE

与

CF

有怎样的位置关系？请说明理由.1234567891011121314151617181920解：

AE

∥

CF

.

∴∠

EAD

＝∠

CFD

.

∴

AE

∥

CF

.

123456789101112131415161718192021.

(11分)如图是甲、乙、丙三位同学折纸的示意图.(1)甲折出的

AD

是

；乙折出的

AD

是

⁠

；丙折出的

AD

是

⁠.

△

ABC

的边

BC

上的高△ABC

的角平分线△

ABC

的边

BC

上的中线2122

∴

D

是边

BC

的中点.故丙折出的

AD

是△

ABC

的边

BC

上的中线.2122(2)淇淇是个善于思考的同学，折完三个图后，他分别提出了如下问

题，请你试着帮他解答.①如图甲，若∠

B

＝30°，∠

C

＝60°，求∠BAC'的度数；图中是否

还有与∠

B

大小相等的角？若有，请指出，并说明理由；②如图乙，若∠

C

＝60°，则要折出乙图中的情形，∠

ABC

的取值范

围是

⁠；60°＜∠

ABC

＜120°

2122③如图丙，折痕

DE

与

AC

交于点

E

，

AD

与

BE

交于点

F

，量得

DC

＝

DE

＝2，

AE

与

EC

的比为1∶3，请求出△

ABE

的面积及△

AFB

与△

EFD

的面积差.①解：由折叠的性质，可得∠AC'C＝∠

C

＝60°.∵∠AC'C＝∠

B

＋∠BAC'，∠

B

＝30°∴∠BAC'＝∠AC'C－∠

B

＝60°－30°＝30°.还有与∠

B

大小相等的角∠

DAC

，∠DAC'.理由：由折叠的性质可知，

AD

是△

ABC

的边

BC

上的高，∴∠

ADC

＝∠ADC'＝90°.∴∠

DAC

＝∠DAC'＝∠

B

＝30°.2122③解：由折叠的性质可知，

DE

是△

EBC

的边

BC

的高，

BD

＝

CD

＝