八年级数学上册《利用完全平方公式分解因式》课件

R·八年级上册第2课时利用完全平方公式分解因式学习目标掌握完全平方式的特点，能识别完全平方式.能利用完全平方公式对多项式进行因式分解.复习导入在括号里填上适当的式子，使等式成立：(1)(a+b)2=________________；(2)(a–b)2=________________；(3)a2+______+1=(a+1)2；(4)

a2–______+1=(a–1)2

.a2+2ab+b2a2

–

2ab+b22a2a整式乘法因式分解探究新知思考这两个式子有什么特点？a2+2ab+b2a2–2ab+b2首平方尾平方2倍乘积放中央完全平方式注意：①平方项符号相同；②中间项是积的2倍.练习下列多项式是不是完全平方式？（1）a2–12a+36（2）x2+4x+4y2（3）4a2+2ab+

b214（4）a2–

ab+b2（6）a2+a+0.25是不是是不是不是是a2622·a·6x2(2y)22·x·2(2a)2(b)2122·2a·b12a2b22·a·b12a20.522·a·0.5（5）x2–6x

–9完全平方公式：

即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.等号两边互换：(a

+

b)2=a2+2ab+b2(a

–

b)2=a2–2ab+b2a2+2ab+b2=(a

+

b)2a2–2ab+b2=(a

–

b)2利用完全平方公式可以将形如完全平方式的多项式分解因式.

例3分解因式：(1)x2+4x+4；(2)16x2–24x+9.解：(1)x2+4x+4=x2+2·x·2+22分析：是完全平方式(2)16x2–24x+9=(4x)2–2·4x·3+32=(4x–3)2a2222·x·2=(x+2)2是完全平方式(4x)2322·4x·3

例4分解因式：(1)(a+b)2

–12(a+b)+36；(2)–x2+4xy

–4y2.解：(1)(a+b)2

–12(a+b)+36=(a+b)2

–2·(a+b)·6+62是完全平方式(2)–x2+4xy–4y2=–(x2–4xy+4y2)=–[x2–2·x·2y+(2y)2]m2622·m·6=(a+b–6)2整体思想：设a+b=m先提负号：是完全平方式–(x2–4xy+4y2)=–(x–2y)2x22·x·2y(2y)2思考运用完全平方公式分解因式应注意什么？（1）先找平方项，再运用公式；（2）平方项可以是单项式，也可以是多项式；（3）若平方项前面是负号，先把负号提到括号前面，再考虑用完全平方公式.练习把下列各式分解因式：（1）x2y2–2xy

+1；（2）–9–12t–4t2；解：(1)x2y2–2xy

+1=(xy)2–2·xy·1

+12=(xy

–1)2(2)–9–12t–4t2=–(9+12t+4t2)=–[32+2·3·2t+(2t)2]（3）4+12(x–y)+9(x

–y)2.=–(3+2t)2(3)4+12(x–y)+9(x

–y)2=22+2·2·3(x–y)+[3(x

–y)]2=(2

+3x–3y)2归纳有关完全平方公式的常见变形：a2+b2

的变形ab

的变形a2+b2=(a+b)2–2aba2+b2=(a–b)2+2ab(a±b)2

的变形a2+b2=[(a+b)2+(a–b)2]ab=[(a+b)2–(a2+b2)]ab=[(a2+b2)–(a–b)2]ab=[(a+b)2–(a–b)2](a+b)2=(a–b)2+4ab(a–b)2=(a+b)2–4ab可以看出，把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些具有特殊形式的多项式分解因式的公式.运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法.随堂练习1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？（1）a2–4a+4（2）1

+4a2是只有两项，不是不是a2222·a·2a2b22·a·0.5b【教材P131练习第1题】最后一项为负，不是（3）4b2+4b

–

1（4）a2+ab+b22.分解因式：（1）a2+2a+1；

（2）x2–12x+36；（3）4x2

–4x+1；

（4）4p2+12pq+9q2；【教材P131练习第2题】解：(1)a2+2a+1=a2+2·a·1

+12=(a

+1)2(2)x2–12x+36=x2

–2·x·6

+62=(x

–

6)2(3)4x2–4x+1=(2x)2

–2·2x·1

+12=(2x

–

1)2(4)4p2+12pq+9q2=(2p)2

+2·2p·3q

+(3q)2=(2p

+

3q)22.分解因式：（5）(x+y)2–10(x+y)+25；（6）–2xy–x2–y2.(5)(x+y)2–10(x+y)+25=(x+y)2

–2·(x+y)·5

+52=(x+y

–

5)2【教材P131练习第2题】(6)–2xy–x2–y2=–(x2+2xy+y2)=–(x+y)23.计算：（1）38.92–2×38.9×48.9+48.92；

（2）1012+101×198+992.解：(1)原式=(38.9–48.9)2=(–10)2=100(2)原式=1012+2×101×99+992=(101+99)2=2002=400004.如果三角形的三边长a，b，c

满足：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c求三角形的周长.解：因为a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，所以(a2–6a+9)+(b2–8b+16)+(c2–10c+25)=0.即(a–3)2+(b–4)2+(c–5)2=0.所以a=3，b=4，c=5.因为3+4>5，所以能组成三角形.所以a+b+c=3+4+5=12，即三角形的周长为12.课堂小结运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法.一、选择题(每题4分，共40分)1.

如果

x

－2是多项式

x2－6

x

＋

m

的一个因式，那么

m

的值为(

A

)A.

8B.

－8C.

2D.

－2【解析】设另一个因式是

x

＋

a

，则(

x

－2)(

x

＋

a

)＝

x2＋

ax

－2

x

－2

a

＝

x2＋(

a

－2)

x

－2

a

＝

x2－6

x

＋

m

，∴

a

－2＝－6，解得

a

＝－4.∴

m

＝－2

a

＝8.A1234567891011121314151617182.

下列各式：①4

x2－

y2；②2

x4＋8

x3

y

＋8

x2

y2；③

a2＋2

ab

－

b2；④

x2＋

xy

－6

y2；⑤

x2＋2

x

＋3.其中不能分解因式的有(

B

)A.

1个B.

2个C.

3个D.

4个【解析】①原式＝(2

x

＋

y

)(2

x

－

y

)，能分解因式；②原式＝2

x2(

x

＋2

y

)2，能分解因式；③不能分解因式；④原式＝(

x

＋3

y

)(

x

－2

y

)，能分解因式；⑤不能化为两个整式积的形式，故不能分解因式.则不能分解因式的有2个.B1234567891011121314151617183.

下列式子从左到右的变形属于因式分解的是(

A

)B.

x2－4

x

＋1＝

x

(

x

－4)＋1D.

(

a

＋

b

)(

a

－

b

)＝

a2－

b2A1234567891011121314151617184.

多项式8

a3

b2＋12

a3

bc

－4

a2

b

中，各项的公因式是(

C

)A.

a2

b

B.

－4

a2

b2C.

4

a2

b

D.

－

a2

b

5.

下列各组中，没有公因式的一组是(

C

)A.

ax

－

bx

与

by

－

ay

B.

6

xy

－8

x2

y

与－4

x

＋3C.

ab

－

ac

与

ab

－

bc

D.

(

a

－

b

)3

x

与(

b

－

a

)2

y

CC123456789101112131415161718【解析】A.

ax

－

bx

＝

x

(

a

－

b

)，

by

－

ay

＝－

y

·(

a

－

b

)，有公因式

a

－

b

，故本选项不符合题意；B.6

xy

－8

x2

y

＝－2

xy

(4

x

－3)，－4

x

＋3＝－(4

x

－3)，有公因式4

x

－

3，故本选项不符合题意；C.

ab

－

ac

＝

a

(

b

－

c

)，

ab

－

bc

＝

b

(

a

－

c

)，没有公因式，故本选项符

合题意；D.(

a

－

b

)3

x

与(

b

－

a

)2

y

有公因式(

a

－

b

)2，故本选项不符合题意.1234567891011121314151617186.

已知

ab

＝－3，

a

＋

b

＝2，则

a2

b

＋

ab2的值是(

B

)A.

6B.

－6C.

1D.

－1【解析】∵

ab

＝－3，

a

＋

b

＝2，∴

a2

b

＋

ab2＝

ab

(

a

＋

b

)＝－3×2＝－6.B1234567891011121314151617187.

若

x2＋5

x

＋

m

＝(

x

＋

n

)2，则

m

，

n

的值分别为(

A

)C.

m

＝25，

n

＝5【解析】∵

x2＋5

x

＋

m

＝(

x

＋

n

)2＝

x2＋2

nx

＋

n2，∴2

n

＝5，

m

＝

n2，

A1234567891011121314151617188.

已知

a

，

b

，

c

分别是△

ABC

的三边长，且满足

a2＋

b2＋2

c2＝2

ac

＋

2

bc

，则△

ABC

是(

B

)A.

等腰三角形B.

等边三角形C.

直角三角形D.

等腰直角三角形B123456789101112131415161718【解析】∵

a2＋

b2＋2

c2＝2

ac

＋2

bc

，∴(

a2－2

ac

＋

c2)＋(

b2－2

bc

＋

c2)＝0，即(

a

－

c

)2＋(

b

－

c

)2＝0.∴

a

－

c

＝0，

b

－

c

＝0.∴

a

＝

b

＝

c

.∴△

ABC

是等边三角形.1234567891011121314151617189.

(保定容城县一模)小李在计算2

0232

023－2

0232

021时，发现其计

算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是(

B

)A.

2

023，2

024，2

025B.

2

022，2

023，2

024C.

2

021，2

022，2

023D.

2

020，2

021，2

022B123456789101112131415161718【解析】2

0232

023－2

0232

021＝2

0232

021×(2

0232－1)＝2

0232

021×(2

023－1)×(2

023＋1)＝2

0232

021×2

022×2

024∴能被2

022，2

023，2

024整除.123456789101112131415161718

A.

1B.

2C.

3D.

4C123456789101112131415161718

123456789101112131415161718二、填空题(共4题，每题5分，共20分)11.

若多项式

x3＋

x

＋

m

含有因式

x2－

x

＋2，则

m

的值是

⁠.【解析】∵多项式

x3＋

x

＋

m

含有因式

x2－

x

＋2，∴设另一个因式是

x

＋

a

，则(

x2－

x

＋2)(

x

＋

a

)＝

x3＋

x

＋

m

.∵(

x2－

x

＋2)(

x

＋

a

)＝

x3＋

ax2－

x2－

ax

＋2

x

＋2

a

＝

x3＋(

a

－1)

x2＋

(－

a

＋2)

x

＋2

a

，∴

a

－1＝0，2

a

＝

m

，解得

a

＝1，

m

＝2.2

12345678910111213141516171812.

若

x2＋2(3－

m

)

x

＋25可以用完全平方公式来分解因式，则

m

的值

为

⁠.【解析】∵

x2＋2(3－

m

)

x

＋25可以用完全平方公式来分解因式，∴2(3

－

m

)＝±10，解得

m

＝－2或8.－2或8

12345678910111213141516171813.

若

a

＋

b

＝2，

ab

＝－3，则代数式

a3

b

＋2

a2

b2＋

ab3的值为

⁠.【解析】∵

a

＋

b

＝2，

ab

＝－3，∴

a3

b

＋2

a2

b2＋

ab3＝

ab

(

a2＋2

ab

＋

b2)＝

ab

(

a

＋

b

)2＝－3×4＝－12.－12

123456789101112131415161718

22

8

910

123456789101112131415161718

123456789101112131415161718

123456789101112131415161718

(2)4

b2

c2－(

b2＋

c2)2；解：原式＝(2

bc

＋

b2＋

c2)(2

bc

－

b2－

c2)

＝－(

b

＋

c

)2(

b

－

c

)2.123456789101112131415161718(3)

a

(

a2－1)－

a2＋1；解：原式＝

a

(

a2－1)－(

a2－1)

＝

a

(

a

＋1)(

a

－1)－(

a

＋1)(

a

－1)

＝(

a

＋1)(

a

－1)2.(4)(

a

＋1)(

a

－1)－8.解：原式＝

a2－1－8

＝

a2－9

＝(

a

＋3)(

a

－3).12345678910111213141516171816.

(8分)利用因式分解简便计算：(1)1022＋102×196＋982；解：1022＋102×196＋982＝1022＋2×102×98＋982＝(102＋98)2＝2002

＝40

000.(2)17.82－2×17.8×7.8＋7.