九年级数学上册《关于原点对称的点的坐标》课件

28.2中心对称28.2.3关于原点对称的点的坐标第二十八章旋转R·九年级数学上册学习目标1.掌握两点关于原点对称时，横、纵坐标的关系.2.会在平面直角坐标系内作关于原点对称的图形，进一步体会数形结合的思想.复习回顾1.下列各点分别在坐标平面的什么位置上？A(3,2)B(0,−2)C(−3,−2)D(−3,0)E(−1.5,3.5)F(2,−3)第一象限y轴上第三象限x轴上第二象限第四象限2.（1）你能说出点P关于x轴对称点的坐标吗？O−1−2−3−41234−1−2−3−41234yxP(−3,2)思考：关于x轴对称的点的坐标具有怎样的关系？A(−3,−2)结论：在平面坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数.2.（2）你能说出点P关于y轴对称点的坐标吗？O−1−2−3−41234−1−2−3−41234yxP(−3,2)A(−3,−2)B(3,2)思考：关于y轴对称的点的坐标具有怎样的关系？结论：在平面坐标系中，关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数.探索新知O−1−2−3−41234−1−2−3−41234yxP(−3,2)A(−3,−2)B(3,2)C(3,−2)想一想：点A与点B的位置关系是怎样的？点P与点C呢？O−1−2−3−41234−1−2−3−41234yxP思考：如何确定平面直角坐标系中点

P关于原点对称的点P′

坐标？P(3,2)MP′M′△PMO≌△P'M'OP′(−3,−2)O−1−2−3−41234−1−2−3−41234yx如图，在平面直角坐标系中，作出下列已知点关于原点的对称点，并写出它们的坐标.A(4,0)，B(0,−3)，C(2,1)，D(−1,2)，E(−3,−4).A(4,0)B(0,−3)C(2,1)D(−1,2)E(−3,−4)A′(−4,0)B′(0,3)C′(−2,−1)D′(1,−2)E′(3,4)这些坐标与已知点的坐标有什么关系？归纳小结关于原点对称的点的坐标关系：横坐标、纵坐标的符号相反.P(x,y)关于原点对称P′(−x,−y)P(x,y)关于x轴对称P′(x,−y)P(x,y)关于y轴对称P′(−x,y)1.完成下表.牛刀小试(2,−3)(−1,2)(−6,−5)(0,−1.6)(4,0)关于x轴的对称点(2,3)(−1,−2)(−6,5)(0,1.6)(4,0)关于y轴的对称点(−2,−3)(1,2)(6,−5)(0,−1.6)(−4,0)关于原点的对称点(−2,3)(1,−2)(6,5)(0,1.6)(−4,0)简记为：“关于谁，谁不变，关于原点都改变”.例2如图，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与△ABC关于原点对称的图形.O−1−2−3−41234−1−2−3−41234yxA(−4,1)C(−3,2)B(−1,−1)解：△ABC的三个顶点：A(−4,1)，B(−1,−1)，C(−3,2).关于原点的对称点分别为A′(4,−1)，B′(1,1)，C′(3,−2).B′(1,1)A′(4,−1)C′(3,−2)依次连接A′B′，B′C′，C′A′，就可得到与△ABC关于原点对称的△A′B′C′.归纳小结

利用关于原点对称的点的坐标的特征，作给定图形关于原点对称的图形的一般步骤：1.找出给定图形上有代表性的点；2.写出这些点关于原点的对称点的坐标；3.在平面直角坐标系中描出对称点；4.顺次连接对称点.牛刀小试2.四边形ABCD

各顶点坐标分别为A(5,0)，B(−2,3)，C(−3,0)，D(−1,−5)，作出与四边形ABCD

关于原点对称的图形.解：如图所示.【选自教材第105页习题28.2第3题】随堂练习1.下列各点中，哪两个点关于原点对称？A(−5,0)，B(0,2)，C(2,−1)，D(2,0)，E(0,5)，F(−2,1)，G(−2,−1).【选自教材第104页练习第1题】解：点C和点F关于原点O对称.2.写出下列各点关于原点的对称点A'，B′，C′，D′的坐标：A(3,1)，B(−2,3)，C(−1,−2)，D(2,−3).【选自教材第104页练习第2题】解：A'(−3,−1)，B'(2,−3)，C'(1,2)，D'(−2,3).3.如图，□ABCD的对角线相交于原点，其顶点A，B的坐标分别为(−2,2)和(−1,−3).求其顶点C，D的坐标.解：C(2,−2)，D(1,3).4.已知点A(x,y−4)，B(1−y,

2x)关于原点对称，求yx的值.

5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,

3)，B(3,4)，C(2,2).O−1−2−3−41234−1−2−3−41234yx（1）画出△ABC关于原点О对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；（2）画出将△ABC绕原点逆时针旋转

90°后的△A2B2C2，并写出点B的对应点B2的坐标；（3）求△A2B2C2的面积.ABCO−1−2−3−41234−1−2−3−41234yxABC解：（1）△A1B1C1如图所示，点B1的坐标为(−3,−4).A1B1C1（2）△A2B2C2如图所示，点B2的坐标为(−4,3).A2B2C2

6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为(2,1)，(6,1)，∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交y轴于P.若△ABC与△A′B′C′关于点P对称，则点A′的坐标为（）A.(−4,−5) B.(−5,−4)C.(−3,−4) D.(−4,−3)DEA课堂小结关于原点对称的点的坐标特征作图口诀P(x,

y)关于原点的对称点为P′(−x,−y).作出关于原点对称的图形，先求出对称点的坐标再描点画图.关于谁，谁不变，关于原点都改变一、选择题(共12题，每题3分，共36分)1.[山东青岛中考]生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图

形但不是轴对称图形的是(

D

)D12345678910111213141516171819202.如图，用左边的三角形连续旋转可以得到右边的图形，那么每次至少

要旋转(

C

)A.60°B.90°C.120°D.150°第2题图C12345678910111213141516171819203.如图，在△

ABC

中，∠

BAC

＝100°，将△

ABC

绕点

A

逆时针旋转150°，得到△

ADE

，这时点

B

，

C

，

D

恰好在同一直线上，则∠

E

的度数为(

C

)A.50°B.75°C.65°D.60°第3题图C12345678910111213141516171819204.若点

A

(3－

m

，

n

＋2)关于原点的对称点

B

的坐标是(3，－2)，则

m

，

n

的值为(

C

)A.

m

＝－6，

n

＝－4B.

m

＝0，

n

＝6C.

m

＝6，

n

＝0D.

m

＝6，

n

＝－4C12345678910111213141516171819205.一个正多边形绕它的中心旋转40°后，就与原正多边形第一次重合，

那么这个正多边形(

A

)A.是轴对称图形，但不是中心对称图形B.是中心对称图形，但不是轴对称图形C.既是轴对称图形，又是中心对称图形D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形A12345678910111213141516171819206.如图，已知△

ABC

和△A'B'C'关于点

O

成中心对称，下列结论错误的

是(

D

)A.∠

ABC

＝∠

A

'

B

'

C

'B.∠

AOB

＝∠

A

'

OB

'C.

AB

＝

A

'

B

'D.

OA

＝

OB

'第6题图D12345678910111213141516171819207.如图，在等边三角形

ABC

中，

D

是边

AC

上一点，连接

BD

，将△

BCD

绕点

B

逆时针旋转60°得到△

BAE

，连接

ED

，若

BC

＝8，

BD

＝7，则△

AED

的周长是(

A

)A.15B.14C.13D.12第7题图A1234567891011121314151617181920【解析】∵将△

BCD

绕点

B

逆时针旋转60°得到△

BAE

，∴

BD

＝

BE

，∠

DBE

＝60°，

CD

＝

AE

.

∴△

DBE

是等边三角形.∴

DE

＝

BD

＝7.∴△

AED

的周长是

AE

＋

AD

＋

DE

＝

CD

＋

AD

＋

DE

＝

AC

＋

DE

＝8＋7＝15.12345678910111213141516171819208.[邯郸冀南新区期末]如图，在正方形网格中，

A

，

B

，

C

，

D

，

E

，

F

，

G

，

H

，

M

，

N

是网格线交点，△

ABC

与△

DEF

关于某点对

称，则其对称中心是(

C

)A.点

G

B.点

H

C.点

M

D.点

N

第8题图C12345678910111213141516171819209.如图，点

O

是边长为

a

的正方形

ABCD

的中心，将一块半径足够长，

圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在点

O

处，并将纸板绕圆心

O

旋转，

那么阴影部分的面积为(

D

)第9题图D1234567891011121314151617181920【解析】如图，设扇形的半径交

AD

于点

E

，交

CD

于点

F

，连接

OC

，

OD

，∵四边形

ABCD

为正方形，∴

OD

＝

OC

，∠

COD

＝90°，∠

ODA

＝∠

OCD

＝45°.∵∠

EOF

＝90°，即∠

EOD

＋∠

DOF

＝90°，∠

DOF

＋∠

FOC

＝90°，∴∠

EOD

＝∠

FOC

.

在△

ODE

和△

OCF

中，∵∠

ODE

＝∠

OCF

，

OD

＝

OC

，∠

EOD

＝∠

FOC

，∴△

ODE

≌△

OCF

(ASA).∴

S△

ODE

＝

S△

OCF

.

1234567891011121314151617181920

第10题图B1234567891011121314151617181920

∴如图1，当△

ABO

绕点

O

顺时针旋转90°后得到△

A1

B1

O

，

如图2，当△

ABO

绕点

O

逆时针旋转90°后得到△

A1

B1

O

，

123456789101112131415161718192011.有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着

“众”“志”“成”“城”四个字牌，如图，若将位于上下位置的两个字牌对

调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90°，

则完成一次变换.图1，图2分别表示第1次变换和第2次变换.按上述规则

完成第9次变换后“众”字位于转盘的位置是(

B

)A.上B.左C.右D.下B1234567891011121314151617181920【解析】根据题意可知，每一次变换后相当于逆时针旋转了90度，经过4次变换后会回到原始位置，所以按上述规则完成第9次变换后，“众”

字位于转盘的位置是第一次变换后的位置，即在左边，比较可得B选项

符合要求.123456789101112131415161718192012.如图，在矩形

ABCD

中，

AB

＝5，

BC

＝6，点

E

在

BC

边上，且

BE

＝2，

F

为

AB

边上的一个动点，连接

EF

，以

EF

为边作等边三角形

EFG

，且点

G

在矩形

ABCD

内，连接

CG

，则

CG

的最小值为(

C

)A.3B.2.5C.4C1234567891011121314151617181920【解析】如图，以

EC

为边作等边三角形

ECH

，过点

H

作

HN

⊥

BC

于

点

N

，

HM

⊥

AB

于点

M

，连接

FH

.

∵∠

ABC

＝90°，∴四边形

MHNB

是矩形.∴

MH

＝

BN

.

∵

BE

＝2，∴

EC

＝4.∵△

EHC

是等边三角形，

HN

⊥

EC

，∴

EH

＝

EC

＝4，

EN

＝

NC

＝2，∠

HEC

＝60°.1234567891011121314151617181920∴

BN

＝4＝

MH

.

∵△

EFG

是等边三角形，∴

FE

＝

GE

，∠

FEG

＝60°＝∠

HEC

.

∴∠

FEH

＝∠

GEC

.

∴△

FEH

≌△

GEC

(SAS).∴

FH

＝

GC

.

∴当

FH

⊥

AB

时，

FH

有最小值，即

GC

有最小值.∴当点

F

与点

M

重合时，

FH

＝

HM

＝4＝

GC

.

1234567891011121314151617181920二、填空题(共4题，每题3分，共12分)13.在等腰直角三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形和正方

形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有

个.14.如图所示，图形①经过

变化成图形②，图形②经过

⁠

变化成图形③，图形③经过

变化成图形④.第14题图3

轴对称

平移

旋转

123456789101112131415161718192015.[湖南益阳中考]如图，在正方形

ABCD

中，

AB

＝4，

E

为

AB

的

中点，连接

DE

，将△

DAE

绕点

D

按逆时针方向旋转90°得到△

DCF

，

连接

EF

，则

EF

的长为

⁠.第15题图

1234567891011121314151617181920

123456789101112131415161718192016.小明把一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，固定三角尺

ABC

，将另一块三角尺

DEF

绕公共顶点

B

顺时针旋转(旋转的度数不超过180°).若两块三角尺有一边平行，则三角尺

DEF

旋转的度数可能是

⁠.15°或45°或90°或135°

1234567891011121314151617181920【解析】设旋转的度数为α，如图1，若

DE

∥

AB

，则∠

E

＝∠

ABE

＝90°，∴α＝90°－30°－45°＝15°；如图2，若

BE

∥

AC

，则∠

ABE

＝180°－∠

A

＝120°，∴α＝120°－30°－45°＝45°；如图3，若

BD

∥

AC

，则∠

ACB

＝∠

CBD

＝90°，∴α＝90°；1234567891011121314151617181920如图4，当点

C

，

B

，

E

共线时，∵∠

ACB

＝∠

DEB

＝90°，∴

AC

∥

DE

.

∴α＝180°－45°＝135°.综上所述，三角尺

DEF

旋转的度数可能是15°或45°或90°或135°.1234567891011121314151617181920三、解答题(共52分)17.(8分)已知点

A

(－1，3

a

－1)与点

B

(2

b

＋1，－2)关于

x

轴对称，点

C

(

a

＋2，

b

)与点

D

关于原点对称.(1)求点

A

，

B

，

C

，

D

的坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中描出这四个点；1234567891011121314151617181920解：(1)∵点

A

(－1，3

a

－1)与点

B

(2

b

＋1，－2)

关于

x

轴对称，∴2

b

＋1＝－1，3

a

－1＝2，解得

a

＝1，

b

＝－1.∴点

A

(－1，2)，

B

(－1，－2)，

C

(3，－1).∵点

C

(

a

＋2，

b

)与点

D

关于原点对称，∴点

D

(－3，1).描点如图所示，1234567891011121314151617181920(2)顺次连接点

A

，

D

，

B

，

C

，求所得图形的面积.

123456789101112131415161718192018.(8分)[廊坊期中]如图，△

ACE

是等腰直角三角形，∠

ACE

＝

90°，

AE

＝8，

B

为边

AE

上一点，连接

BC

，将△

ABC

绕点

C

旋转到△

EDC

的位置.(1)若∠

CDE

＝115°，求∠

ACB

的度数；解：(1)∵△

ACE

是等腰直角三角形，∠

ACE

＝90°，∴∠

CAE

＝∠

CEA

＝45°.由旋转的性质，可得∠

ABC

＝∠

EDC

＝115°，∴∠

ACB

＝180°－∠

CAB

－∠

ABC

＝20°.1234567891011121314151617181920(2)连接

BD

，求

BD

长度的最小值.解：(2)由旋转的性质，可得∠

CED

＝∠

CAB

＝45°，

AB

＝

DE

，∴∠

BED

＝∠

CEB

＋∠

CED

＝90°.设

AB

＝

DE

＝

x

，则

BE

＝

AE

－

AB

＝8－

x

，在Rt△

BED

中，由勾股定理得

BD2＝

BE2＋

DE2，∴

BD2＝

x2＋(8－

x

)2＝2

x2－16

x

＋64＝2(

x

－4)2＋32.∵2＞0，

123456789101112131415161718192019.(8分)在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系

xOy

，△

ABC

的三个顶点都在格点上，点

A

的坐标是(4，4)，请回答下列问题：(1)将△

ABC

向下平移6个单位长度，画出平移后的△

A1

B1

C1，并写出点

A

的对应点

A1的坐标；解：(1)如图，△

A1

B1

C1即为所求，点

A

的对应点

A1的坐标为(4，－2).1234567891011121314151617181920(2)画出△

ABC

关于原点

O

对称的△

A2

B2

C2，并写出点

A2的坐标；解：(2)如图，△

A2

B2

C2即为所求，点

A2的坐标为

(－4，－4).1234567891011121314151617181920(3)判断△

A1

B1

C1与△

A2

B2

C2是否关于某点成中心对称；若是，请画出

对称中心

M

，并写出点

M

的坐标.解：(3)△

A1

B1

C1与△

A2

B2

C2关于点

M

成中心对

称，

M

(0，－3).123456789101112131415161718192020.(8分)如图，某游乐场的摩天轮(圆形转盘)上的点距离地面的最大高

度为160米，转盘直径为153米，旋转一周约需30分钟.某人从该摩天轮

上到地面距离最近的点登舱，逆时针旋转20分钟时，他从登舱位置起旋

转了多少度？求此时他离地面的高度.1234567891011121314151617181920解：如图，设此人从点

A

处登舱，逆时针旋转20分钟后到达点

C

.

∵旋转一周约需30分钟，此人从该摩天轮上到地面距离最近的点登舱，

逆时针旋转20分钟，

∴∠

AOC

＝120°.过点

O

作

OE

⊥

CD

于点

E

，则四边形

BDEO

是矩形，

1234567891011121314151617181920在Rt△

OEC

中，

∴

CD

＝

CE

＋

DE