八年级数学上册《用三角形全等的判定解决尺规作图问题》课件

【R·数学八年级上册】用三角形全等的判定解决尺规作图问题第4课时学习目标通过尺规作图，提升对几何知识的综合运用能力以及动手操作能力.能用尺规作图：作一个角等于已知角；过直线外一点作这条直线的平行线；已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形.回顾导入作一条线段等于已知线段：a线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素.如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？如图，已知∠AOB，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关键是能用直尺和圆规确定∠AOB

的大小.知识点1作一个角等于已知角OAB

1.一个三角形的三条边、三个角是确定的.如果能将∠AOB“放在”某个三角形中，作为其一个角，再作出一个与其全等的三角形，能否得到与∠AOB

一样大小的角？为什么？能，因为全等三角形的对应角相等.探究新知OAB2.如何围绕∠AOB构建一个三角形？如图，在∠AOB

的边OA，OB

上分别取点C，D，连接CD，得到△COD.∠AOB

就是△COD

的一个内角.CD为了作图方便，一般取OC=OD.知识点1作一个角等于已知角OAB

3.为了作出与△COD

全等的三角形，哪种三角形全等的判定方法可以作为作图依据？SSSCD知识点1作一个角等于已知角OAB作法：(1)以点O

为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB

于点C，D；CD(2)作一条射线O'A'，以点O'

为圆心，OC为半径作弧，交O'A'于点C'；O'A'C'知识点1作一个角等于已知角OAB(3)以点C'

为圆心，CD

为半径作弧，与上一步作的弧相交于点D'；(4)过点D'

作射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB.O'A'C'D'B'知识点1作一个角等于已知角CD针对训练如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，所画痕迹弧MN

是（）以点B

为圆心，OD

的长为半径的弧以点C为圆心，CD

的长为半径的弧以点E

为圆心，OD

的长为半径的弧以点E

为圆心，CD

的长为半径的弧D与“作一条线段等于已知线段”一样，“作一个角等于已知角”也是基本、常用的尺规作图，利用它可以进一步完成其他尺规作图.知识点2过直线外一点作这条直线的平行线例4

如图，已知直线AB

及直线AB

外一点C，利用直尺和圆规过点C

作直线AB

的平行线CD.CAB知识点2过直线外一点作这条直线的平行线1.我们学过的判定两直线平行的方法有哪些？①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.2.根据题目条件和已学过的知识，可以利用上述哪种判定方法来尝试作图？教材P40例题第4题作法：(1)过点C

作一条直线，与直线AB

相交于点E；CABE(2)在点C

处作∠CEB

的同位角∠FCD，使∠FCD=∠CEB；FD教材P40例题第4题(3)反向延长CD，得直线CD，则直线CD

//

AB.CABEFD还可以利用“内错角相等，两直线平行”作图.针对训练如图，已知直线AB

及直线AB

外一点C，利用“内错角相等，两直线平行”，过点C

作直线AB

的平行线CD.CABEFD解：如图，直线CD

即所求作直线.知识点3已知两边及其夹角作三角形例5

如图，已知线段a，b

和∠α，求作△ABC，使AB=a，AC=b，∠A=∠α.abα你是怎么想的？先作一个角等于已知角，再在作出的角的两边上截取指定长度的边，从而确定三角形.教材P40例题第5题作法：(1)作∠DAE=∠α；abαADE教材P40例题第5题(2)在射线AD

上作AB=a，在射线AE

上作AC=b；abαADEBC教材P40例题第5题abαADEBC(3)连接BC，则△ABC

就是所求作的三角形.已知三角形的两角及其夹边，如何作出这个三角形？针对训练如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分别等于∠α，∠β，这两角的夹边等于线段a.aα教材P41练习第2题β针对训练aα教材P41练习第2题βABC解：如图，△ABC

即所求作的三角形.随堂演练1.如图，已知∠AOB，以点O

为圆心，以任意长为半径作弧①，分别交OA，OB

于点E，F，再以点E

为圆心，以EF

长为半径作弧，交弧①于点D，画射线OD.若∠AOB=28°，则∠BOD

的度数为（

）A.34° B.62° C.56° D.124°C随堂演练2.已知△ABC，由尺规作图痕迹可知△ABC≌△ABD，判定这两个三角形全等的理由为（）A.SSS B.SAS C.AAS D.ASAD随堂演练教材P41练习第1题3.如图，用直尺和圆规作一条直线，使这条直线过△ABC

的顶点A，并且与边BC

平行.ABC作内错角或同位角均可.课堂小结尺规作图依据：SSS依据：“同位角相等，两直线平行”或“内错角相等，两直线平行”作一个角等于已知角过直线外一点作这条直线的平行线已知两边及其夹角作三角形，已知两角及其夹边作三角形.章节框架全等三角形全等三角形全等三角形的判定角平分线的性质“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”角平分线的性质角平分线的判定一、选择题

(共12题，每题3分，共36分)

1.

下列图形中与已知图形全等的是(

A

)A.

B.

C.

D.

2.

已知△

ABC

≌△

DEF

，∠

A

＝45°，∠

F

＝75°，则∠

B

的度数是

(

D

)A.

50°B.

120°C.

75°D.

60°AD12345678910111213141516171819203.

如图，已知图中的两个三角形全等，则图中∠α的度数是(

D

)

第3题图A.

72°B.

60°C.

78°D.

30°D12345678910111213141516171819204.

在△

ABC

中，把两个完全一样的直角三角尺按如图所示的位置摆

放，它们的一组对应直角边分别在

AB

，

AC

上，且这组对应边所对的

顶点重合于点

M

，则点

M

一定在(

C

)A.

AC

边的高上B.

AB

边的中线上C.

∠

A

的平分线上D.

BC

边的中线上第4题图C12345678910111213141516171819205.

如图，△

ACB

≌△A'CB'，∠

ACB

＝70°，∠ACB'＝100°，则

∠BCA'的度数为(

B

)A.

30°B.

40°C.

35°D.

50°B12345678910111213141516171819206.

如图，在四边形

ABCD

中，

AB

∥

CD

，将四边形

ABCD

沿对角线

AC

折叠，使点

B

落在点B'处.若∠1＝∠2＝44°，则∠

B

的度数为(

C

)A.

66°B.

104°C.

114°D.

124°C12345678910111213141516171819207.

如图，淇淇站在堤岸的点

A

处，正对他的

S

点停有一艘游艇，他想知

道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆

B

旁(直线

AC

与堤

岸平行)，接着再往前走相同的距离，到达

C

点，然后他向左转90°直

行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于

D

点，那

么

C

，

D

两点间的距离就是在

A

点处淇淇与游艇之间的距离.在这个问

题中，可作为证明△

ABS

≌△

CBD

的依据是(

C

)A.

SAS或SSSB.

AAS或SSSC.

ASA或AASD.

ASA或SAS第7题图C1234567891011121314151617181920

第7题图12345678910111213141516171819208.

如图，在四边形

ABCD

中，∠

BCD

＝90°，

BD

平分∠

ABC

，

AB

＝

6，

BC

＝9，

CD

＝4，则四边形

ABCD

的面积是(

A

)A.

30B.

24C.

36D.

42第8题图A1234567891011121314151617181920【解析】如图，过点

D

作

DH

⊥

AB

交

BA

的延长线于点

H

.

∵

BD

平分∠

ABC

，∠

BCD

＝90°，∴

DH

＝

CD

＝4.

第8题图12345678910111213141516171819209.

如图，△

ABE

和△

ADC

是△

ABC

分别沿着

AB

，

AC

边翻折形成

的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为(

A

)A.

80°B.

100°C.

60°D.

45°第9题图A1234567891011121314151617181920【解析】设∠3＝3

x

，则∠1＝28

x

，∠2＝5

x

.∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴28

x

＋5

x

＋3

x

＝180°，解得

x

＝5°.∴∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°.∵△

ABE

是△

ABC

沿着

AB

边翻折形成的，∴∠1＝∠

BAE

＝140°，∠

E

＝∠3＝15°.∴∠

EAC

＝360°－∠

BAE

－∠

BAC

＝360°－140°－140°＝80°.又∵△

ADC

是△

ABC

沿着

AC

边翻折形成的，∴∠

ACD

＝∠3＝∠

E

＝15°.而∠α＋∠

E

＝∠

EAC

＋∠

ACD

，∴∠α＝∠

EAC

＝80°.第9题图123456789101112131415161718192010.

如图，

AB

⊥

CD

，且

AB

＝

CD

，

E

，

F

是

AD

上两点，

CE

⊥

AD

，

BF

⊥

AD

，垂足分别为点

E

，

F

.

若

CE

＝

a

，

BF

＝

b

，

EF

＝

c

，则

AD

的长为(

D

)A.

a

＋

c

B.

b

＋

c

C.

a

－

b

＋

c

D.

a

＋

b

－

c

第10题图D1234567891011121314151617181920

第10题图123456789101112131415161718192011.

如图，

AP

平分∠

BAC

，点

M

，

N

分别在边

AB

，

AC

上，如果添加

一个条件，即可推出

AM

＝

AN

，那么下列条件中不正确的是(

A

)A.

PM

＝

PN

B.

∠

APM

＝∠

APN

C.

MN

⊥

AP

D.

∠

AMP

＝∠

ANP

第11题图A1234567891011121314151617181920【解析】∵

AP

平分∠

BAC

，∴∠

BAP

＝∠

CAP

.

A.

由∠

BAP

＝∠

CAP

，

PM

＝

PN

，

AP

＝

AP

，不能判定△

APM

≌△

APN

，∴不能推出

AM

＝

AN

，故选项A符合题意；B.

由∠

BAP

＝∠

CAP

，

AP

＝

AP

，∠

APM

＝∠

APN

，能判定△

APM

≌△

APN

(ASA)，∴

AM

＝

AN

，故选项B不符合题意；C.

∵

MN

⊥

AP

，∴∠

APM

＝∠

APN

＝90°.第11题图1234567891011121314151617181920又∵∠

BAP

＝∠

CAP

，

AP

＝

AP

，∴△

APM

≌△

APN

(ASA)，∴

AM

＝

AN

，故选项C不符合题意；D.

由∠

AMP

＝∠

ANP

，∠

BAP

＝∠

CAP

，

AP

＝

AP

，能判定△

APM

≌△

APN

(AAS)，∴

AM

＝

AN

，故选项D不符合题意.第11题图123456789101112131415161718192012.

如图，在四边形

ABCD

中，

AD

∥

BC

，若∠

DAB

的平分线

AE

交

CD

于点

E

，连接

BE

，且

BE

平分∠

ABC

，则以下结论中不正确的有

(

A

)第12题图A

A.

0个B.

1个C.

2个D.

3个1234567891011121314151617181920

∴∠

AEB

＝180°－(∠

BAE

＋∠

ABE

)＝180°－90°＝90°，故

③正确；第12题图1234567891011121314151617181920∵∠

AEB

＝90°，∴

BE

⊥

AF

.

∵

BE

平分∠

ABC

，∴∠

ABE

＝∠

FBE

.

如图，延长

AE

交

BC

的延长线于点

F

.

第12题图∴△

ABE

≌△

FBE

(ASA).∴

AB

＝

BF

，

AE

＝

FE

.

∵

AD

∥

BC

，∴∠

EAD

＝∠

F

.

1234567891011121314151617181920

∴△

ADE

≌△

FCE

(ASA).∴

AD

＝

CF

.

∴

AB

＝

BF

＝

BC

＋

CF

＝

BC

＋

AD

，故①正确；∵△

ADE

≌△

FCE

，第12题图∴

CE

＝

DE

，即

E

为

CD

的中点，故②正确；∵△

ADE

≌△

FCE

，∴

S△

ADE

＝

S△

FCE

.

∴

S四边形

ABCD

＝

S△

ABF

.

1234567891011121314151617181920二、填空题

(共4题，每题3分，共12分)

13.

如图，点

B

，

E

，

C

，

F

在同一条直线上，若∠

B

＝∠

DEF

，

AB

＝

DE

，要用SAS证明△

ABC

≌

DEF

，则可以添加的条件是

⁠

⁠.BC

＝

EF

(或

BE

＝

CF

)

123456789101112131415161718192014.

如图，在△

ABC

中，∠

A

＝60°，将△

ABC

沿

DE

翻折后，点

A

落

在

BC

边上的点A'处，如果∠A'EC＝70°

，那么∠A'DE＝

⁠.65°

123456789101112131415161718192015.

如图，淇淇用10块高度都是2

cm的相同长方体小木块垒了两堵与地

面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺(

AC

＝

BC

，∠

ACB

＝90°)，点

C

在

DE

上，点

A

和点

B

分别与两堵木墙的顶

端重合，则两堵木墙之间的距离

DE

是

⁠.20

cm

123456789101112131415161718192016.

如图，在△

AOB

和△

COD

中，

OA

＝

OB

，

OC

＝

OD

，

OA

＜

OC

，∠

AOB

＝∠

COD

＝36°，连接

AC

，

BD

交于点

M

，连接

OM

，

过点

O

作

OE

⊥

AC

于点

E

，

OF

⊥

BD

于点

F

.

给出以下结论：①∠

AMB

＝36°；②

AC

＝

BD

；③

OE

＝

OF

；④∠

EOF

＝36°.其中正确

的结论有

(填序号).①②③④

1234567891011121314151617181920

1234567891011121314151617181920∴∠

OAC

＝∠

OBD

，

AC

＝

BD

.

故②正确；∵

OE

⊥

AC

，

OF

⊥

BD

，∴∠

OEA

＝∠

OFB

＝90°.又∵

OA

＝

OB

，∠

OAC

＝∠

OBD

，∴△

OAE

≌△

OBF

(AAS).∴

OE

＝

OF

，∠

AOE

＝∠

BOF

.

∴∠

AOE

－∠

BOE

＝∠

BOF

－∠

BOE

，即∠

AOB

＝∠

EOF

＝36°.故③④正确；1234567891011121314151617181920由三角形的外角性质，得∠

AMB

＋∠

OBD

＝∠

AOB

＋∠

OAC

，∴∠

AMB

＝∠

AOB

＝36°.故①正确.∴正确的结论有①②③④.1234567891011121314151617181920三、解答题(共52分)17.

(6分)如图，

AB

＝

AD

，∠

BAC

＝∠

DAC

＝25°，∠

D

＝80°.求

∠

BCA

的度数.

123456789101112131415161718192018.

(7分)如图，已知线段

AB

，

O

为

AB

的中点，点

C

在线段

OB

上(不与

点

O

，

B

重合)，将

OC

绕点

O

逆时针旋转一定角度后得到线段

OQ

，

OP

，且

OQ

⊥

QB

，

OP

⊥

AP

.

求证：

AP

＝

BQ

.

证明：∵

OP

⊥

AP

，

OQ

⊥

QB

，∴∠

P

＝∠

Q

＝90°.由题意知，

OA

＝

OB

，

OP

＝

OQ

＝

OC

，∴Rt△

APO

≌Rt△

BQO

(HL).∴

AP

＝

BQ

.

123456789101112131415161718192019.

(8分)[江苏无锡中考改编]如图，△

ABC

为锐角三角形.(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在

AC

右上方确定点

D

，使∠

DAC

＝∠

ACB

，且

AD

＝

BC

，连接

CD

(不写作法，保留作图痕迹)；解：(1)如图，点

D

即为所求.1234567891011121314151617181920(2)指出图中的平行线段，并说明理由.

123456789101112131415161718192020.

(9分)如图，在四边形

ABCD

中，

AC

平分∠

BAD

，

CE

⊥

AB

于点

E

.

(1)若

CE

＝2，则点

C

到

AD

的距离为

⁠；2

1234567891011121314151617181920

解：猜想：∠1＋∠2＝180°.理由：过点

C

作

CF

⊥

AD

交

AD

的延长线于点

F

，如图.∵

AC

平分∠

BAD

，∴∠3＝∠4.1234567891011121314151617181920∵

CE

⊥

AB

，

CF

⊥

AD

，∴

CF

＝

CE

，∠

CFA

＝∠

CEA

＝∠

CEB

＝90°.又∵

AC

＝

AC

，∴Rt△

ACF

≌Rt△

ACE

(HL).∴

AF

＝

AE

.

∴

EB

＝

DF

.

∴△

DFC

≌△

BEC

(SAS).1234567891011121314151617181920∴∠5＝∠2.∵∠1＋∠5＝180°，∴∠1＋∠2＝180°.123456789101112131415161718192021.

(10分)如图，在△

ABC

中，

AD

，

CE

分别是

BC

，

AB

边上的高，

AD

与

CE