初中九年级数学二次函数的概念暑假自学提升教学设计

初中九年级数学二次函数的概念暑假自学提升教学设计一、教学设计理念与学情分析本课是人教版九年级数学上册第二十六章"二次函数"的起始课，安排在学生完成八年级全部内容之后的暑假自学阶段。暑假自学与课堂教学有本质区别：没有教师面对面讲解，学生完全依靠学案引导完成知识建构。因此本学案的设计遵循"可自学、可检验、可反思"的原则，把教师课堂上的口头讲解转化为学案中精心铺设的问题链，把课堂互动转化为学案中的留白、提示与自我检测。从学情看，学生已经系统学习了一次函数与正比例函数，掌握了函数的概念、表示方法（解析式、列表、图象），也学习了一元二次方程、整式乘法中的完全平方公式，这些都是理解二次函数概念的必要基础。暑假阶段学生常见的困难有四点：一是对函数概念中"两个变量、唯一对应"的本质认识不深，容易把"含平方的式子"直接等同于二次函数；二是识别二次函数时忽略"二次项系数不为零"这一关键条件；三是把ax²＋bx＋c中a、b、c的取值范围混淆，误认为b、c也不能为零；四是由实际问题列二次函数解析式时缺乏建模经验，找不准自变量与因变量。基于以上分析，本学案以"从现实情境中抽象出二次函数模型"为主线，以一次函数为认知起点，通过对比、归纳、辨析实现概念的精准建构，配合分层练习与自我检测，让学生在无人指导的情况下也能高质量完成概念学习。二、学习目标1.经历从实际问题中抽象出二次函数解析式的过程，理解二次函数的概念，知道形如

y＝ax²＋bx＋c（其中a、b、c是常数，并且a≠0）

的函数叫做二次函数。2.能准确判断一个函数是否为二次函数，能指出二次函数解析式中二次项系数、一次项系数与常数项，理解a≠0而b、c可以为零的道理。3.能根据简单的实际问题列出二次函数解析式，并能结合实际意义确定自变量的取值范围，初步体会二次函数是刻画现实世界变量关系的重要模型。4.在与一次函数的对比中体会"类比学习"的方法，在辨析纠错中养成严谨的数学思维习惯。三、学习重点与难点学习重点：二次函数概念的形成与辨析，二次函数一般式中各项系数的识别。学习难点：理解a≠0这一条件的必要性，以及从实际问题中抽象出二次函数解析式。四、学前准备请同学们在开始学习本学案之前，先自行完成以下三项准备：一是回顾一次函数的定义，写出一次函数的一般形式y＝kx＋b并说明其中k、b应满足的条件；二是复习整式乘法，能熟练完成形如（x＋3）（x＋5）与（60－2x）（40－2x）的展开运算；三是准备方格纸、铅笔和计算器，学案中部分环节需要计算与简单画图。五、教学过程（一）情境引入：从三张图画说起请同学们观察并思考下面三个情境。情境一：篮球运动员投篮，篮球出手后在空中划出一条优美的曲线。这条曲线不是直线，它先上升后下降，数学上把它叫作抛物线。情境二：某小区门前喷水池的水流，从喷头射出后落回水面，水流形成一道对称的弧形。把喷头看作原点建立平面直角坐标系，水流的边缘同样是一条对称的曲线。情境三：一座抛物线形拱桥横跨河面，桥拱在水平方向左右对称，中间最高，两端最低。这三幅画面有一个共同点：曲线光滑、对称、只有一个最高点或最低点。要研究这类曲线的性质，先要研究刻画它们的函数——这就是本章要学习的二次函数。请同学们在学案的横线上写下你对这三条曲线共同特征的描述，完成本章学习的第一次自主表达。（二）温故知新：函数概念再认识函数的定义告诉我们：在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。请大家判断下面几个关系中，y是不是x的函数，并说明理由：（1）正方形的周长C随边长x的变化关系C＝4x；（2）圆的面积S随半径r的变化关系S＝πr²；（3）某城市某天的气温T随时刻t的变化（同一时刻只有一个气温值）。判断的要领只有一条：给定一个自变量的值，因变量的值是否唯一确定。（1）（2）（3）都满足，所以都是函数。但请注意：（1）中C与x是一次关系，（2）中S与r的自变量r以平方的形式出现，这正是新旧知识的分水岭。一次函数刻画的是"均匀变化"的关系，而生活中大量的变化并不均匀，正方形边长增加1倍，面积扩大为原来的4倍；物体自由下落的时间增加1倍，下落距离约扩大为原来的4倍。这种"不均匀"的变化，需要新的函数模型来描述。（三）问题探究：从实际问题中抽象解析式问题一：某校准备在教学楼前建一个矩形花坛，花坛的周长为40米。设矩形的一边长为x米，写出花坛面积S（平方米）与x之间的函数解析式。分析：周长为40米，则相邻两边之和为20米，一边是x米，另一边就是（20－x）米，所以S＝x（20－x）＝－x²＋20x。由于边长必须为正数，自变量x的取值范围是0＜x＜20。问题二：某工厂一种产品的年产量是20万件，计划今后两年每年比上一年增长的百分率相同，设这个增长率为x，两年后的产量y（万件）与x之间的函数关系是什么？分析：一年后的产量为20（1＋x）万件，两年后在此基础上再增长相同的百分率，所以y＝20（1＋x）²＝20x²＋40x＋20。其中x＞0。问题三：将一条长为60厘米的铁丝折成一个矩形，设矩形一边长为x厘米，求矩形面积y（平方厘米）与x的函数解析式。分析：另一边为（30－x）厘米，所以y＝x（30－x）＝－x²＋30x，其中0＜x＜30。请同学们把三个情境中得到的解析式与圆的面积公式S＝πr²放在一起观察：S＝πr²S＝－x²＋20xy＝20x²＋40x＋20y＝－x²＋30x它们与一次函数y＝kx＋b有什么相同点与不同点？请你在学案上先自主归纳，再与下面的表述对照：相同点是等号右边都是关于自变量的整式，都表示两个变量之间唯一确定的对应关系；不同点是自变量的最高次数不是1，而是2，等号右边出现了自变量的二次项。具备这一特征的函数，就是我们今天的主角。（四）概念生成：二次函数的定义一般地，形如y＝ax²＋bx＋c（其中a、b、c是常数，并且a≠0）的函数，叫做二次函数。其中x是自变量，ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。理解这个概念，要把握三个要点。第一，解析式中自变量x的最高次数必须是2。这是"二次"二字的直接来源。第二，为什么规定a≠0？请同学们做一个思想实验：如果a＝0，那么y＝ax²＋bx＋c就退化为y＝bx＋c，它是一次函数（当b≠0时）或常数函数（当b＝0时），二次项消失了，"二次"便名不副实。所以a≠0是二次函数成立的底线，是判断时的第一审查项。第三，b和c可以为零吗？完全可以。当b＝0、c＝0时得到y＝ax²；当只有c＝0时得到y＝ax²＋bx；当只有b＝0时得到y＝ax²＋c。这些都是二次函数的特殊形式，它们仍然含有二次项，自变量最高次数仍是2。请同学们记住一句话：判断二次函数，只看二次项系数a，不看b和c。（五）例题示范：概念的精准运用例1下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？请说明理由。（1）y＝3x²－5x＋1（2）y＝x（x－1）＋x（3）y＝5x²（4）y＝1/x²（5）y＝（x＋2）²－x²（6）y＝（m²＋1）x²－2x分析：判断的程序是先化简整理为一般形式，再看三个要素——右边是否为整式、x的最高次数是否为2、二次项系数是否不为零。（1）已是标准形式，a＝3≠0，是二次函数。（2）化简得y＝x²－x＋x＝x²，a＝1≠0，是二次函数。（3）a＝5≠0，b＝c＝0，是二次函数。（4）右边x出现在分母中，不是整式，不是二次函数。（5）展开得y＝x²＋4x＋4－x²＝4x＋4，化简后是一次函数，不是二次函数。这道题提醒我们：未经化简就下结论是粗心的，含x²的表面形式并不可靠。（6）因为m²≥0，所以m²＋1≥1＞0，即无论m取何值，二次项系数都不为零，是二次函数。例2已知函数y＝（m－2）x^{m²－2}＋3x－5是关于x的二次函数，求m的值。分析：要使其为二次函数，x的最高次数必须为2且二次项系数不为零，即m²－2＝2，且m－2≠0。由m²－2＝2得m²＝4，m＝±2；由m－2≠0得m≠2。二者取交集，m＝－2。这道题的易错点在于只求出m＝±2便止步，忽视了对系数的检验。请同学们把"指数定次数，系数卡底线"这句话写在易错笔记栏中。（六）实际建模：列二次函数解析式例3某商店经销一种文具，每件进价8元。当售价为每件10元时，每天可售出100件。经调查发现，售价每提高1元，日销售量减少5件。设每件售价提高x元，日销售利润为y元，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围。分析：提高x元后，每件售价为（10＋x）元，每件利润为（10＋x－8）＝（x＋2）元；日销售量为（100－5x）件。利润等于件利润乘销量：y＝（x＋2）（100－5x）＝－5x²＋90x＋200。自变量的范围要同时满足两件实事：销量不能为负，即100－5x≥0，得x≤20；提价数不能为负，即x≥0。所以0≤x≤20。这道例题向同学们示范了建模的三个步骤：设出变量并明确其实际意义，用含自变量的式子表示相关量，根据数量关系列出解析式并整理为标准形式，最后结合实际检验自变量取值范围。范围不是可有可无的附件，它体现了数学模型与现实世界的严密对应。（七）对比归纳：一次函数与二次函数请同学们在学案的表格中完成以下对比，这是概念固化的重要一步。从解析式结构看：一次函数为y＝kx＋b（k≠0），自变量最高次数为1；二次函数为y＝ax²＋bx＋c（a≠0），自变量最高次数为2。从系数的限制看：一次函数要求k≠0，b任意；二次函数要求a≠0，b、c任意。从所刻画的变化看：一次函数刻画均匀变化，自变量每增加相同量，函数值增加相同的量；二次函数刻画非均匀变化，函数值的变化快慢随自变量取值而改变，这正是它能描述抛物线、面积、利润等问题的根本原因。这种对比不是机械罗列，而是建构知识网络：二次函数不是凭空出现的新事物，而是沿着"正比例函数—一次函数—二次函数"这条函数家族脉络自然生长出来的一环。今后学习反比例函数、乃至高中阶段的基本初等函数，都可以沿用"解析式特征—限制条件—实际意义"这一认识框架。（八）分层练习与自我检测基础层（必做）：1.下列各式中，y是x的二次函数的有（填序号）：①y＝2x²；②y＝－x²＋1；③y＝x²＋1/x；④y＝（x－1）²；⑤y＝2x＋3；⑥y＝ax²＋bx＋c。参考答案：①②④。③含分式，⑤最高次数为1，⑥中未注明a≠0故不能确定。2.指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）y＝2x²－3x＋5；（2）y＝（x＋1）（x－3）。参考答案：（1）a＝2，b＝－3，c＝5；（2）先整理为y＝x²－2x－3，故a＝1，b＝－2，c＝－3。提醒：确定系数前必须先化为一般形式，且系数的符号要连同正负号一起读出。提高层（选做）：3.已知y＝（k－1）x^{k²＋k－4}＋kx－3是二次函数，求k的值。参考答案：由k²＋k－4＝2得k²＋k－6＝0，解得k＝2或k＝－3；由k－1≠0得k≠1。两个解均满足条件，所以k＝2或k＝－3。4.用长为20米的篱笆一面靠墙围成一个矩形花园，设垂直于墙的一边长为x米，花园面积为S平方米，求S与x的函数解析式及自变量取值范围。参考答案：平行于墙的一边为（20－2x）米，S＝x（20－2x）＝－2x²＋20x。由20－2x＞0且x＞0，得0＜x＜10。每道题做完后，请同学们在对错栏中打钩或打叉，并在错题旁边用一句话写明错误原因。这个习惯坚持一个暑假，其价值远超多做二十道题。（九）课堂小结：自主梳理请同学们不看前面的内容，用自己的话回答三个问题：什么是二次函数？判断一个函数是不是二次函数要检查哪几点？从实际问题中列二次函数解析式分哪几步？参照要点：二次函数是形如y＝ax²＋bx＋c（a、b、c为常数，a≠0）的函数；判断时先化简，再看右边是否为整式、自变量最高次数是否为2、二次项系数是否为零；建模时按"设变量—表相关量—列式整理—确定范围"四步进行。（十）课后作业与预