北师大版（2024）八年级数学上册第一章《勾股定理》1.3勾股定理的运用教学设计

北师大版（2024）第一章《勾股定理》1.3勾股定理的运用教学设计学科数学年级八课型新授课单元一课题勾股定理运用课时1课标要求课程标准要求学生不仅要掌握勾股定理本身及其逆定理的内容，更要经历定理的发现、证明和应用过程，在这个过程中发展数学思维能力，学会运用数学知识解决实际问题，并体会数学的文化价值和应用价值。教材分析本节是义务教育课程标准北师大版教科书八年级（上）第一章《勾股定理》第三节．具体内容：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题；能在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法和代数计算法和理解；在解决实际问题的过程中，进一步培养从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养学生的转化、推理能力。学情分析学生已有知识基础（优势与起点）：图形认知基础；面积计算经验；代数初步知识；初步的逻辑思维能力。

可能存在的困难与挑战（学习难点）：定理适用条件的把握；定理的证明理解；计算能力的差异；实际应用与建模。核心素养目标准确运用勾股定理及逆定理。经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思想来解决。培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用教学重点掌握勾股定理及其逆定理，应用“数形结合”的思想来解决教学难点正确运用勾股定理及其逆定理。教学准备课件及预习单教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图一、温故课前检测：1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（D）A．25B．14C．7D．7或252．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（A）A．1.5，2，3B．7，24，25C．6，8，10D．9，12，153.∆ABC的三边长为AB＝26，AC＝10，BC＝24，则∆ABC的面积为1204．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（A）A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90°B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形完成检测题通过检测题帮助学生复习勾股定理及勾股定理的逆定理，激发学生学习兴趣；二、引新问题导入装修师傅离叔叔要检测装饰板AD和CB是否分别垂直AB(1)如果只带了一把圈尺，能替他完成任务吗？（2）现测得AB长40cm,AD长30cm,B、D之间的距离50cm,AD垂直AB吗？

（3）如果离叔叔只带了一把20cm的刻度尺，那么他能检测出AD和AB是否垂直？解：（1）可以完成。具体方法是分别测量AD、AB及BD的长度，若满足AD²+AB²=BD²，则AD垂直于AB；同理测量BC、AB及AC的长度，判断是否满足勾股定理。（2）能。计算得：30²+40²=900+1600=2500，而50²=2500，满足勾股定理，因此△ABD是直角三角形，A=90°，故AD垂直于AB。（3）能。虽然刻度尺仅20cm。例如：AB上取一点E,使AE=12cm,在AD上取一点F,使AF=16cm，在量出EF之间的距离，如果EF=20cm,则AD垂直于AB,因为12²+16²=20²，故AD垂直于AB同理检测BC和AB是否垂直。小组讨论如何帮助装修师傅解决问题。提出方案。实施方案。通过小组讨论，明晰勾股定理逆定理的运用，体现数形结合思想。三、探究1尝试与思考如图1--17，正方形ABCD的边长是8厘米，E是AD边上的中点，将这张纸翻折使点C刚好落在E点，折痕交AB于G,交CD于F,能否求出DF的长？解：E是AD的中点，DE=4cm.设DF=xcm，则CF=(8-x)cm根据翻折的性质EF=CF=8-x根据勾股定理即求得x=3所以DE=3cm典例精析题目大意：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？【解析】设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺由勾股定理得，24=2x，x＝12.答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺.1、完成尝试与思考，小组讨论解决问题用到的知识点和解决问题用到的数学思想。2、完成例题的学习，提出质疑。通过尝试与思考、例题的学生，体会翻折的性质和用勾股定理、方程解决问题思想。培养学生分析问题解决问题的能力。四、尝试基础达标：1．一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题．其中的丈、尺是长度单位，一丈＝10尺）设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（

A

）A．x＋6＝（10﹣x）B．x﹣6＝（10﹣x）C．x＋6＝（10﹣x）D．x﹣6＝（10﹣x）2．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（A）A．5m B．6m C．3m D．7m第2题第3题3．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B，C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200米处，则船B与船C之间的距离为（A

）A．1500mB．1200mC．1000mD．800m4．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（C）A．2.5mB．3mC．3.5mD．4m能力提升：5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E是边AB上的点，连接CD、CE，先将边AC沿CD折叠，使点A的对称点A′落在边AB上；再将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B′落在CA′的延长线上，若AC＝15，BC＝20，则线段B′E的长为4解答提示:根据翻折性质AC=CA′,BC=CB′,AD=DA′,B′E=BE，∠ADC=90°，∠DCE=45°△CD是等腰直角三角形，CD=DE,在△ABC中用勾股定理求出AB=25,根据一面积两算法求出CD=15×20÷25=12，在△CDA中用勾股定理求出DA=9,,BE=AB-AD-DE=4,故B′E=4拓展迁移：6．如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：（1）E站应建在距A站多少千米处？（2）DE和EC垂直吗？说明理由．解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE=CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，∴AE+AD=DE，BE+BC=EC，∴AE+AD=BE+BC，设AE=x，则BE=AB-AE=（14-x），∵DA=8km，CB=6km，∴x+8=（14-x）+6，解得：x=6，∴AE=6km．答：E站应建在距A站6千米处；（2）DE和EC垂直，理由如下：过D点作CE∥AB，交AD于E，连接DC在△EDC中，∠CED=90°即DE⊥EC．【证明DE⊥EC，也可用三角形全等来证明，∠AED+∠BEC=90°因而DE、EC互相垂直】学生完成课堂练习。引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。六、提升适时小结，兴趣延伸回顾这节课你学到了什么？1、数学思想：建模思想、方程思想2、注意：运用勾股定理解决实际问题时，①、没有图的要按题意画好图并标上字母；②、有时必须设好未知数，并根据勾股定理列出相应的方程式才能做出答案。学生畅所欲言本节课运用到的知识和解决问题用到的数学方法。引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。板书设计勾股定理的运用找到（或判断）直角三角形分清直角边和斜边建立方程求出未知数利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。作业设计（课外练习）基础达标：一座桥长12m,一艘小船自桥北岸出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南岸9m,则小船实际行驶了

15

m.2.如图,在一次冰雪灾害中,一棵树在离地面3m处被折断,树的顶端落在离树干底部4m处,那么这棵树折断之前的高度是

8

m.3.一根长18cm的牙刷置于底面半径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h，则h的值不可能是(D)A.3cm B.πcm C.6cm D.8cm4如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为（C）A、11cmB、12cmC、13cmD、14cm​5.如图所示，在长方形ABCD中，AD=6,AB=10，，若将长方形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边上的点F处，则线段CE的长为(C)A.13 B.1730 C.103能力提升：如图,某工厂大门的上面是半圆,下面是长方形.一辆装满货物的卡车,高2.5m,宽1.6m.这辆卡车能否通过厂门?请说明理由.解:这辆卡车能通过厂门.理由如下:如图,M,N为卡车的宽度,过点M,N作AB的垂线交半圆于点C,D,过点O作OE⊥CD,垂足为E,连接OC,则CD=MN=1.6m,AB=2m,所以CE=DE=0.8m,OC=OA=12AB=1m.在Rt△OCE中,OE2=OC2-CE2=12-0.8所以CM=2.3+0.6=2.9m>2.5m.​所以这辆卡车能通过厂门.拓展迁移：7.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，在A处有一所中学，AP=120米米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．(1)学校是否会受到影响？请说明理由．(2)如果受到影响，则影响时间是多长？解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：作A