2026-2027学年上海市第四中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年上海市第四中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单项选择题：本大题共4小题，共16分。1.“k＜3”是“向量与向量的夹角为钝角”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件2.设矩形边长分别为a、b（a＞b），分别以a、b两边为轴旋转一周所得旋转体的体积记为Va和Vb，则Va与Vb的大小关系是（）A.Va＞Vb B.Va=Vb

C.Va＜Vb D.Va、Vb的大小不确定3.M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直.以下判断正确的是（）A.①为真命题，②为真命题

B.①为真命题，②为假命题

C.①为假命题，②为真命题

D.①为假命题，②为假命题4.如图，三棱锥P-ABC的高PO=8，AC=BC=3，∠ACB=30°，M、N分别在BC、PO上，且CM=x,PN=2x,0＜x≤3，则三棱锥N-AMC的体积V与x之间的函数关系是（）A.

B.

C.

D.二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。5.复数1+i的虚部为

.6.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边上有一点（3，-4），则sin（π+θ）=

.7.已知△ABC的角A、B、C对应边长分别为a=4，b=5，c=6，则A=

.8.已知向量，，，的夹角为，则=

.9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，AA1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为

．10.已知某圆锥的高为8，体积为96π，则该圆锥的侧面积为

.11.用斜二测画法画出水平放置的平面图形△OAB的直观图如图所示，已知O'D'=D'B'=D'A'=A'B'=2，则△OAB的面积为

.

12.已知二面角α-l-β，若直线a⊥α，直线b⊥β，且直线a,b所成角的大小为60°，则二面角α-l-β的大小为

.13.如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是

.

①直线AF与直线DE相交；

②直线CN与直线DE平行；

③直线BM与直线DE是异面直线；

④直线CN与直线BM成60°角.

14.已知圆锥的底面半径为，母线长为2，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为

.15.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1的中点，过B1、M、C作正方体的截面α，则截面面积为

.

16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为

g.

三、解答题：本题共5小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

如图，在正四棱锥P-ABCD中，.

（1）求侧棱PA与底面ABCD所成角的大小；

（2）求二面角P-AB-C的大小.18.(本小题10分)

平面向量，，函数.

（1）若，求y=f（x）的值域；

（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知f（C）=2，a=2，，求△ABC面积.19.(本小题10分)

如图，四边形ABCD为长方形，PA⊥平面ABCD，AB=AP=2，AD=3.

（1）若E、F分别是PB、CD的中点，求证：EF∥平面PAD；

（2）边BC上是否存在点G，使得直线PG与平面PAD所成的角的大小为30°？若存在，求BG长；若不存在，说明理由.20.(本小题14分)

亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥P-O1与一个圆柱OO1构成的几何体Ω（如图2）.一般地，设圆锥P-O1中母线与底面所成角的大小为α，当20°＜α＜35°时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米.

（1）α=30°，求几何体Ω的体积；

（2）如图2，若圆锥底面半径为2.5米，设E为圆柱底面半圆弧CD上的一点，求圆柱母线EF和圆锥母线PB所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求.21.(本小题14分)

已知四面体ABCD的6条棱中，有n条棱长为a,有6-n条棱长为1.

（1）若n=0，证明：AB⊥CD；

（2）若n=1，AB=a（），求二面角A-CD-B的大小（用含a的式子表示）；

（3）若n=2，求a的取值范围.

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】1

6.【答案】

7.【答案】arccos

8.【答案】

9.【答案】

10.【答案】60π

11.【答案】4

12.【答案】60°或120°

13.【答案】③④

14.【答案】2

15.【答案】

16.【答案】118.8

17.【答案】解：（1）连接AC，BD，相交于点O，连接OP，

由正四棱锥的性质知，OP⊥平面ABCD，PA=PB，

所以∠PAO即为侧棱PA与底面ABCD所成角，

又，

所以△PAB是等边三角形，

设AB=2，则PA=2，OA=，

所以cos∠PAO==，

所以∠PAO=，

故侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为．

（2）取AB的中点Q，连接PQ，OQ，

因为PA=PB，所以PQ⊥AB，

又OP⊥平面ABCD，

所以PQ在底面ABCD上的投影为OQ，

所以OQ⊥AB，

所以∠PQO即为二面角P-AB-C的平面角，

由（1）知，PA=2，△PAB是等边三角形，

所以PQ=，OQ=1，

所以cos∠PQO===，

所以∠PQO=arccos，

故二面角P-AB-C的大小为arccos．

18.【答案】解：（1）根据题意可得

=，

因为，所以，

所以，

所以=，

即所求值域为；

（2）由（1）知，即，

因为C∈（0，π），所以，

所以，所以，

此时，

，

又a=2，，

所以c2=a2+b2-2abcosC，得，

化简得，

解得

（舍去负根），

所以△ABC的面积

=．

19.【答案】证明见解析；

存在，．

20.【答案】解：（1）圆柱的体积，

由于α=30°，则圆锥的底面半径R=，

圆锥的体积为，

∴几何体Ω的体积V=．

（2）连接PO1，BO1，根据题意可得PO1∥FE，

∴为圆柱母线EF和圆锥母线PB所成的角，

∵BO1=2.5，PO1=1.5，PB=，∴=，

∴圆柱母线EF和圆锥母线PB所在异面直线所成角的正切值为，

又，