第二章 直线和圆的方程 与直线有关的最值问题（题型专练）（原卷版）高二数学人教A版选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程与直线有关的最值问题（7种题型专练）题型01两点间的距离最值1.核心逻辑

几何意义：动点到定点的距离；

两类题型：①参数表示动点，距离平方化为二次函数求最值；②根式代数式，转化为平面上两点距离，数形结合求解。

>技巧：带根号，优先计算距离的平方，求出最值后再开根号。2.解题步骤

①识别式子几何含义，把代数式翻译成“动点到定点距离”；

②若动点受直线约束，则问题转化：定点到直线上动点距离，垂线段最短；

③代数方法：写出距离平方表达式，二次函数，结合参数范围求最值；

④若是两个距离相加，可配合对称点，两点之间线段最短求最小值。3.易错提醒

直接对根号函数求最值，运算复杂；忘记开根号，把距离平方当做距离；分不清动点是自由动点还是在定直线上。【例3】（2026高三·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式1-1】（2026高二·贵州贵阳·竞赛）函数的最大值是__________.【变式1-2】（2026高一·广东江门·竞赛）对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________．【变式1-3】（2026高二·四川自贡·期末）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（

）A．的最小值为6 B．的最小值为C．方程6有两解 D．方程7无解▌题型02含参双动直线的最值范围1.核心逻辑

两条带参数的动直线，各自过固定定点；经常满足两直线恒垂直，交点轨迹是圆（以两定点连线为直径），再用圆上点的几何性质、勾股定理、基本不等式求线段长、面积最值。2.解题步骤

①分别求出两条动直线恒过的定点；

②验证两条动直线是否恒垂直（斜率乘积，或者一条斜率为0一条不存在）；

③若垂直，则交点的轨迹是以为直径的圆（去掉）；

④结合圆的几何性质，或者勾股定理；

⑤使用基本不等式求线段、三角形面积的最值。3.易错提醒

忘记剔除轨迹上两点；基本不等式忽略等号成立条件；不会求动直线的定点。【例2】（2026高二·广东深圳·期中）过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M，则的最大值是（

）A． B．3 C． D．【变式2-1】（2026高一·江苏盐城·期末）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M（与不重合），则的最大值为（

）A．5 B． C． D．【变式2-2】（2026高二·吉林长春·期中）过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则____________．【变式2-3】（2026高二·广东汕头·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，（点与点，不重合），则的面积最大值是A． B．5 C． D．题型03倾斜角与斜率的最值范围1.核心逻辑

斜率，；正切函数在、分别单调递增，在斜率不存在。常见考法：过定点直线与线段相交求斜率范围；已知斜率求倾斜角范围。2.解题步骤

①找到直线所过定点，计算定点到线段两个端点的斜率；

②画图观察直线旋转变化，分清斜率是连续变化还是被竖直直线隔断；

③已知范围，利用图像反解倾斜角；

④注意：竖直直线，倾斜角，斜率不存在。3.易错提醒

忽略斜率不存在的情况；直接当成正切在整体单调递增，混淆两段单调区间；线段相交，漏掉边界斜率。【例1】（2026高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（）A． B． C．D．或【变式3-1】（2026高二·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3-2】（2026高一·上海·阶段检测）若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________.【变式3-3】（2026高二·河南·阶段检测）已知实数满足，且，则的最小值为__________.▌题型04点到直线的距离最值1.核心逻辑

模型：定点，动直线恒过某一定点；定点到动直线距离：

最小值（动直线经过该定点）；最大值等于定点到动直线定点之间线段长；取最大值条件：两点连线与动直线互相垂直。

另外一类：动点在定直线上，求定点到该动点距离，最小值就是点到直线垂距。2.解题步骤

①若是动直线：整理直线方程，求出动直线恒过的定点；

②定点到动直线最大距离：两点之间距离，条件连线垂直动直线；

③若是定直线：直接用点到直线距离公式得到最小距离；

④联立垂直斜率关系，求解参数，写出对应直线方程。3.易错提醒

搞反最大、最小距离；忘记验证垂直条件；不会求动直线过的定点。【例4】（2026高二·重庆·阶段检测）已知直线．(1)求证：直线过定点；(2)若到直线的距离最大，求的值；(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程．【变式4-1】（2026高二·四川绵阳·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（

）A． B．C． D．【变式4-2】（2026高一·上海黄浦·期末）已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________．【变式4-3】（2026高二·广东江门·阶段检测）已知实数x，y满足，则的最小值为（

）A．8 B． C．5 D．▌题型05平行线间的距离最值1.核心逻辑

两平行直线上任意两点距离的最小值，就是平行线之间的距离；若一组平行线，其中一条绕定点转动，则两平行线距离最大值等于两个定点之间距离。

平行线距离公式：两条直线，，系数必须完全相同。2.解题步骤

①先判断两直线平行，保证系数一致，整理成相同；

②直接套公式，求两平行线固定距离；

③动平行线模型：找出两条直线各自的定点，最大距离为两点连线长度；

④注意检验两直线不能重合。3.易错提醒

直接代入距离公式，没有统一系数；把重合直线当成平行直线；混淆两点距离和平行线距离。【例5】（2026高二·广东潮州·期末）若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______．【变式5-1】（2026高二·上海奉贤·期末）若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则________.【变式5-2】（2026高二·云南临沧·阶段检测）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是__________.【变式5-3】【多选】（2026高二·福建厦门·阶段检测）已知直线：，：，则（

）A．恒过定点B．若，则C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则D．若，则与间的距离的最大值为▌题型06线段和与差的最值1.核心逻辑

动点在定直线上，为定点，利用对称变换+三角形三边关系。

1）距离之和最小：两点在直线同侧，作其中一点对称点，对称点与另一点连线和直线交点为取最值点，；两点异侧直接连线。

2）距离之差绝对值最大：两点在直线同侧，直接连线与直线相交；两点异侧，先做对称再连线。

本质：三点共线的时候取到最值。2.解题步骤

①判断两个定点在定直线的同侧还是异侧；

②求定点关于直线的对称点；

③连接对称点与另外一个定点，和定直线得到交点；

④利用两点距离公式算出最值；

⑤写出取到最值时动点坐标。3.易错提醒

搞反和最小、差最大对应的同侧异侧；对称点计算出错；不验证交点是否在题目给定直线上。【例6】（2026高二·湖南·阶段检测）已知点是直线上一点，则的最小值为__________．【变式6-1】（2026高二·江苏泰州·期中）点在直线上运动，，，则的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式6-2】（2026高二·重庆九龙坡·阶段检测）直线分别交轴和于点，，为直线上一点，则的最大值是__________．【变式6-3】（2026高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）已知点在直线上，则的最小值为__________▌题型07线段积的最值1.核心逻辑

求两条线段长度乘积的最值；常用工具：勾股定理结合基本不等式、直线截距设参+基本不等式；垂直条件下。常见模型：直线过定点，与坐标轴相交，求坐标轴截线段乘积最值；两条垂直动直线交点模型。

>基本不等式口诀：一正、二定、三相等。2.解题步骤

①根据条件，写出两条线段的表达式；

②若存在垂直关系，利用勾股得到平方和为定值，用基本不等式；

③直线截距题型：设截距或者设斜率，写出线段表达式；

④利用基本不等式求乘积最值，检验等号条件是否满足；

⑤求出取等号时参数，回代写出直线方程。3.易错提醒

忽略“一正二定三相等”，直接套用基本不等式；等号成立条件不在取值范围内；坐标轴截距符号正负搞错。【例7】（2026高一·河北石家庄·期末）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（

）A．5 B．10 C． D．【变式7-1】（2026高二·安徽淮南·阶段检测）已知直线过定点，且交轴正半轴于点､交轴正半轴于点.点为坐标原点.(1)若的面积为，求直线的方程；(2)求的最小值，并求此时直线的方程；(3)求的最小值，并求此时直线的方程