福建名校联盟2026届高三8月联合开学摸底考-数学试题+答案

保密★启用前(在此卷上答题无效)全国名校联盟2026届高三联合开学摸底考试数学试题2025本试卷共4页,满分150分,考试用时120分钟。注意事项1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上和本试卷上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效3.考试结束后,将答题卡交回。—、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设集合A=ixlx24x<0},B={yy=vx-1},则AnB=A.(0,4)B.(0,1]C.[1,4)D.(4,+O0)2.己知(1+i)Z=3+i,则z3.椭圆x2+2y2=1的焦距为A.-B.0C.lD.35.若实数a,b满足a+2b=2,则2a+4b的最小值是A.2+V2B.2V2C.4D.66.若函数f(x)=asinx-2x为减函数,则a的取值范围为A.[-1,1]B.[-2,2]C.[0,1]D.[0,2]7.记锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知sinB=sinA(sinc+Cosc),且a=\/6,C=3,则C=8.设抛物线C:x2=8Y的焦点为F,A(4,5),点B在C上,则FAB的周长的最小值为A.8B.10C.12D.16二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.己知a,B为两个不同的平面,m,"为两条不同的直线,则L,则alfB.若mCa,m/n,则"llaC.若"lla,nβ,则UD.若mla,MLB,则al/β1o.,所得图象关于y轴对称,则11.已知信道内传输0,1数字信号需经历多个节点,且每个节点的信号传输相互独立·当第i(iEN)号节点发送0时,第i+1号节点收到1的概率为a(0<a<1),收到0的概率为1-a;从第i号节点发送1时,第i+1号节点收到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1-B.设当基站(记为0号节点)依次发送信号1,0时,第"号节点依次接收到的信号仍是1,0的概率为P,,则三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。12.曲线y=elel过坐标原点的两条切线的方程分别为,· 14.英国数学家约翰·康威发现了有趣的uC康威圆定理",如图,设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,依次延长线段CA,BA,ABCBBC,AC至A1,A2,B1,B2,C,C2,使得AA,=AA2BB,=BB2=b,CC=CC2=C,则Ai,A2,B,B2CC2六点共圆,并称此圆为ABC的"康威圆".已知某三角形的面积为v3,其一条边长为2,点p在该三角形的康威圆"上运动,若MN是该三角形内切圆的直径,则PMPN的最小值为·四、解答题:本大题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(13分)某地同城闪送为了提高服务质量,进行了服务改进,并对服务进行评分·已知服务改进前某天共有1000个订单,其好评率为85%;服务改进后某天共有1500个订单,其中好评订单为1350个.(1)已知某100个好评订单评分的极差为2,数据如下表所示(其中x<10,"是正整数)服务评分订单数量32求这100个好评订单的第40百分位数;(2)根据服务改进前后的这两天的订单数据完成下列2x2列联表,并依据小概率值a=0.001的独立性检验,判断订单获得好评与服务改进是否有关·好评订单非好评订单服务改进前服务改进后合计2.7063.8416.63516.(15分)已知等差数列fa.}的前n项和为s,且s54s2a2n2an·(1)求a.}的通项公式;(2)设bn()"an数列(b的前n项和为T若ITM509求M的值·17.(15分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=V2,2AE=EB,将ADE沿DE翻折得到四棱锥A'-BCDE,且二面角C-AE-D为直角·(1)证明:ECL平面A'DE;(2)求平面A'DB与平面A'DE夹角的正弦值·18.(17分)恰有两个交点·(1)求C的方程;(2)设A为C的左顶点,过F且斜率存在的直线交C的右支于M,N两点,直线AM,AN分别交圆0的另一点于P,Q.(i)证明:P,0,Q三点共线;(ii)设直线MN与直线PQ交于D,证明:点D在定直线上·19.(17分)(1)求g(x)的单调区间与最小值;(2)若a>0,讨论函数h(x)=f(x)-ax的极值点个数;(3)证明:当x>0时,f(xr+ln2)-f(x)>eln2.一、单项选择题：题号12345678答案ADBCCBDC8．设抛物线C:x2=8y的焦点为F，A(4,5)，点B在C上，则△FAB的周长的最小值为解析：过B作C准线的垂线，设垂足为D，由抛物线的定义可知，|BF|=|BD|，∴△FAB的周长的最小值为12.故选C.二、多项选择题：题号9答案ADBCACD11．已知信道内传输0，1数字信号需经历多个节点，且每个节点的信号传输相互独立．当第i(i∈N)号节点发送0时，第i+1号节点收到为1-α；从第i号节点发送1时，第i+1号节点收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1-β.设当基站（记为0号节点）依次发送信号1，0时，第n号节点依次接收到的信号仍是1，0的概率为Pn，则解析：考查A选项：数字1经过1个信号站后，仍为1的概率为数字0经过1个信号站后，仍为0的概率为∴P1=x=，A选项正确；考查B选项：数字1经过2个信号站后，仍为1的概率为数字0经过2个信号站后，仍为0的概率为B选项错误；考查C选项：设an表示经过n个信号站后，数字0仍为0的概率；bn表示经过n个信号站C选项正确；考查D选项：在中代入D选项正确，故选ACD.三、填空题：414．英国数学家约翰·康威发现了有趣的“康威圆定理”，如图，设△ABC的内角A,B,C，C1，C2六点共圆，并称此圆为△ABC的“康威圆”．已知某三角形的面积为3，其一条边长为2，点P在该三角形的“康威圆”上运动，若MN是该三角形内切圆的直径，则.的最小值为．∴O到△ABC三边的距离相等，即O为△ABC内切圆圆心，设圆O内切圆半径为r，则过B作AC的平行线l，易知两平行线之间的距离为3，∴.的最小值为9，故应填9.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．1513分）某地同城闪送为了提高服务质量，进行了服务改进，并对服务进行评分．已知服务改进前某天共有1000个订单，其好评率为85%；服务改进后某天共有1500个订单，其中好评订单为1350个．（1）已知某100个好评订单评分的极差为2，数据如下表所示（其中x<10，n是正整数）服务评分x8.599.5订单数量n324求这100个好评订单的第40百分位数；附：x（2）根据服务改进前后的这两天的订单数据完成下列2x2列联表，并依据小概率值α=附：x好评订单非好评订单合计服务改进前服务改进后合计α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828解1）∵这100个好评订单评分的极差为2，x<10，n是正整数，∴10_x=2，即x=8，n=100_32_13_11_4=40，…………………2分又∵100x0.4=40，∴这100个好评订单的第40百分位数为.……………5分（2）易知服务改进前的好评订单有1000x0.85=850个，非好评订单有1000_850=150个，服务改进后的非好评订单有1500_1350=150个，……6分故2x2列联表如下表所示：好评订单非好评订单合计服务改进前850服务改进后合计22003002500……8分零假设H0：订单获得好评与服务改进无关，……9分∴根据小概率值“=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即订单获得好评与服务改进有关，且该推断犯错误的概率不超过0.001.……………13分1615分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=4S2，a2n=2an_1．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=(_1)nan，数列{bn}的前n项和为Tn，若|Tm|=50，求m的值．解：(1)设公差为d，a2n=2an_1中，令n=1，得a2=2a1_1，………1分又S5=4S2，则………………3分解得…………………4分(2)由(1)可得，bn=(_1)n(n+1)，……………6分，……………8分当n为偶数时，Tn=…………10分令|Tm得m=100；……………11分当n为奇数时，Tn=Tn+1_bn………………13分令Tm得m=97，……………14分综上所述m=100，或m=97.……………15分如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，…………………2分由相似可知，DE丄EC，…………………5分（2）设EC交BD于F点，连接A’F，……………8分………………9分∴sin…………………14分方法2：以E为坐标原点，EC的方向为x轴正方向建立如图所示空间直角坐标系E_xyz．平面A’DE的一个法向量为EC=(·/6,0,0)，………………11分设二面角B_A’D_E的大小为θ,则cos…14分1817分）C恰有两个交点.（1）求C的方程；（2）设A为C的左顶点，过F且斜率存在的直线交C的右支于M，N两点，直线AM，AN分别交圆O的另一点于P，Q.（i）证明：P，O，Q三点共线；（ii）设直线MN与直线PQ交于D，证明：点D在定直线上.解1）依题意，圆O:x2+y2=1与C两个交点为C的左、右顶点，故a=1，………2分22_a2=3，……………………3分∴C的方程为x.……………………4分（2i）设直线MN:x=my+2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，1)y2+y2)，…………6分………………8分∴P，O，Q三点共线.……………………10分（ii）不妨设直线AM:x=m1y_1，AN:x=m2y_1，其中m由（i）可知，m1m2=_1，由可得y2_2m1y=0，解得P……………12分……15分∴直线OP:x=_my，∴点D在定直线x=1上.