广东省纵千文化2026届高三8月摸底考-数学试题+答案

注意事项:2.答题前,考生务必将自已的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题卷上无效。4.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。5.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={xlog3x≤1},B={x3x>1},则AUB=2.已知复数z满足z(1__i)=1+i2,则z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知椭圆Cy2=1的右顶点与抛物线y2=16x的焦点重合,则C的焦距为4.已知圆锥的高为12,它的侧面展开图的圆心角为3,则此圆锥的侧面积为4.已知圆锥的高为12,它的侧面展开图的圆心角为3,则此圆锥的侧面积为5.设函数f(x)=sin(⑴x+φ)(⑴>0,0<φ<π).已知f且当f(x1)f(x2)=1(x1≠x2)时,x1__x26.已知点M(a,0),N(3,4)到同一直线的距离分别为2,3,若这样的直线恰有2条,则a的取值范围为【高三8月摸底检测数学卷第1页(共4页)】6008C7.若sinsin且α,β都为锐角,则sin(α+β)=8.已知函数f(x)的定义域为R,函数y=f(x+1)是偶函数,函数y=的图象关于直线x对称,若当x∈[__2,1]时,f(x)=x,则A.__1012B.__1011C.__1010D.__1009二丶选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知向量a=(__1,3),b=(2,__1),则A.向量a,b的夹角为B.若(λa__3b)丄b,则λ=__3C.若(2a__b)聂(a+kb),则k=2D.向量a在向量b上的投影向量为(__2,1)10.在光纤通信中,信息通过由0和1组成的有序数组(称为字)表示,字长(字的位数)为".定义d(X,Y)为两个字长相同的字X和Y在相同位置上不同字符的个数.例如,X=00110,Y=00011时,d(X,Y)=2.则下列选项正确的有A.若字长"=3,则存在两个字X和Y使得d(X,Y)=3 B.若字长"=5,则对于任意字X,满足d(X,Y)=2的字 C.若X=000000则满足d(XY)=3的字Y中D.若wu=a1a2a3…ai…a",Ψ=b1b2b3…bi…b",其中ai,bi∈{0,1},i=1,2,…,",则d(u,Ψ)≥d(u,w)+d(Ψ,w)11.已知曲线C:xy__y2+y__x+1=0.下列结论正确的是A.曲线C关于点(1,1)对称B.曲线C与直线y=x__1有两个交点C.曲线C恰好经过两个整点(即横丶纵坐标均为整数的点)D.曲线C上任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),当y1<1<y2时,AB≥212.(x__2)(x__1)5的展开怯中x的系数为.13.已知函数f(x)=ex__k(x2+2)有两个极值点a,b,若a=2b,则f(0)=.14.在△ABC中,角A丶B丶C所对的边分别为a丶b丶C,若a=3,A=2C,b=2C,O为△ABC的内心,则△AOB的面积为.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写15.(本小题满分13分)已知函数f(x)=xlnx+ax+2b,a,b∈R.(1)若a=b=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若f(x)>0恒成立,证明:b 广州国际龙舟邀请赛是一项具有岭南区域特色的文化体育活动,为广州建设“全国一流、国际瞩目的体育强市”发挥着越来越大的积极推进作用,其秉承“以水为桥、以舟会友”的宗旨内涵和外延的意义将更加深远.每年五月,龙舟风弥漫珠江,吹遍广州各个角落.组织龙州市民是否龙舟比赛情况,随机抽取男女市民共200名进行调查,得到如下统H结果:不合H男女合H(1)完成2X2列联表,并根据小概率值α=0.005的独立性检验,判断广州市民是否龙舟比赛与性别有无关联;(2)将样本中龙舟比赛的市民的频率作为广州市民比赛的概率,从广州市民中随机抽取3人,记X为这3人中龙舟比赛的人数,求X的分布列和数学期望.附:x其中"=a+b+c+d.αxα如图,在三棱锥P__ABC中,D是BC的中点,AB=AC,BC=4,PC丄底面ABC.(1)证明:AD丄平面PBC;(2)若点E为△PCB内(包含边界)___点,且AE丄CE,求点E的轨迹的长度;(3)若AB丄AC,二面角C_AP__D的大小为60o,求AC与平面ADP所成角的正弦值.18.(本小题满分17分)已知双曲线Ca>0,b>0)的离心率为2,点(__12,__13)在C上.(1)求C的渐近线方程;(2)若直线l:y=kx+m交双曲线C的右支于M,N两点,线段MN的垂直平分线过点K(0,4).(i)求k与m之间的数量关系怯;(ii)求LMKN的取值范围.19.(本小题满分17分)已知数列{an}是公比大于1的等比数列,a2a3a4=512,且2a3,a4,16成等差数列.(1)求数列{an}的通项公怯;(2)对于数列{bn},规定{△bn}为数列{bn}的1阶差分数列,其中△bn=bn+1__bn(n∈N关),__般地,规定{△kbn}为数列{bn}的k阶差分数列,其中△kbn=△k__1bn+1__△k__1bn(k≥2,k∈N关,n.若bn不等怯2(△2bn)2__△2bn__3△3bn<(4__λ)(n+1)an对Yn∈N关恒成立,求整数λ的最大值;(3)令cn,其中<t<2,n∈N关.证明:ici<an一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案DABDCCDABCD二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。题号9答案ABDACAC1.D由已知A={xlog3x≤1}={xl0<x≤3},B={x3x>1}={xlx>},所以AUB={xlx>0}.2.Az2=2,zz对应的点为(1,1),位于第一象限.3.B由题意得y2=16x的焦点为(4,0),则a=4,而b=1,得半焦距C=115,焦距为2115,故选B.4.D设圆锥的底面半径为r,母线长为l,因为侧面展开图的圆心角为,所以r,得l=3r,所以圆锥的r=12.所以r则s侧=πrl5.C因为f(x)的值域为[__1,1],f(x1)f(x2)=1(x1≠x2),所以当函数值同时取最大值或最小值时,满足f(x1)f(x2)=1(x1≠x2).因为x1__x2的最小值为3,所以函数的最小正周期T所以因为f,所以f=sin又0<φ<π,所以所以故选C.6.C以M(a,0)为圆心,2为半径的圆为(x__a)2+y2=4,以N(3,4)为圆心,3为半径的圆为(x__3)2+(y__4)2=9.若符合题设的直线恰有2条,则上述两圆相交.又lMNl=1(a__3)2+16,所以1<lMNl<5→1<1(a__3)2+16<5,可得1<(a__3)2+16<25,所以__3<a__3<3→0<a<6.故选C.7.D由题意可知由sin可知α>β,所以0<α__β<,从而cos若0<2α<,则从而sin2(α__β)<sin2α,又sin2(α__β)=2sincossin矛盾,故<2α<π,由sin2α=得cos8.B因为f(x+1)为偶函数,所以f(__x+1)=f(x+1),即f(__x)=f(x+2),故f(x)的图象关于直线x=1对称.由y=的图象关于直线x对称得即对任意x恒成立,则f(x)=__f(__x__1),又f(__x)=f(x+2),所以f(x+2)=__f(x__1),即f(x+3)=__f(x),所以f(x+6)=__f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数.又当x∈[__2,1]时,f(x)=x,f(x)的图象关于直线x=1对称,所以当x∈(1,4]时,f(x)=__x+2,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1+0+(__1)+(__2)+(__1)+0=__3,5f(i)=[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]X337+f(2023)+f(2024)+f(2025)=(__3)X337+f(1)+f(2)+f(3)=__1011+1+0+(__1)=__1011.【高三8月摸底检测●数学卷参考答案第1页(共5页)】6008C9.ABD对于A,向量a,b的夹角的余弦值为即向量a,b的夹角为,故A正确;对于B,(λa__3b)丄b⇋λa●b__3b2=0⇋__5λ__15=0⇋λ=__3,故B正确;对于C,2a__b=(__4,7),a+kb=(__1+2k,3__k),则__4(3__k)=7(__1+2k),解得k故C错误;对于D,向量a在向量b上的投影向量为b=__b=(__2,1),故D正确.故选ABD.10.AC对于A,当"=3时,例如X=000,Y=111时,d(X,Y)=3,故A正确;对于B,"=5时,满足d(X,Y)=2的Y的个数为CEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up3(2),5)=10,故B错误;对于C,X=000000,3个连续的1的位置有4种(1__3,2__4,3__5,4__6),总共有CEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up3(3),6)=20种可能,概率为故C正确;对于D,可举反例,不妨令"=6,则w=111111,设u=001111,Ψ=010100,于是d(u,w)=2,d(Ψ,w)=4,d(u,Ψ)=4,此时d(u,Ψ)<d(u,w)+d(Ψ,w),故D错误.故选AC.11.AC对于A,设点P(x,y)在曲线C上,下面验证点P关于(1,1)的对称点(2__x,2__y)是否在曲线C上.将(2__x,2__y)代入曲线C的方程,得(2__x)(2__y)__(2__y)2+2__y__(2__x)+1=4__2x__2y+xy__y2+4y__4+2__y__2+x+1=xy__y2+y__x+1=0,则(2__x,2__y)也在曲线C上,故曲线C关于点(1,1)对称,故A正确;对于B,联立y__x+1=0,消去y并整理可得x=1,此时y=0,故曲线C与直线y=x__1只有一个交点(1,0),故B错误;对于C,当y=1时,原方程不成立,故曲线C可变形为x若横、纵坐标均为整数,则y,_必须为整数,故y=0或y=2.当y=0时,x=1,当y=2时,x=1,故曲线C恰好经过两个整点(1,0)和(1,2),故C正确;对于D,由C可知C:x设M(1,1),令t=y2__1,则y2=t+1,:y2>1,：t>0,EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up4(2),2)由A知曲线C关于点M(1,1)成中心对称,所以当lBMl2和lAMl2都最小时,A,B,M三点共线,此时AB最小,所以lABl2min=4lBM2=812__8<4,故D错误.故选AC.12.__11(__2)CEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up3(4),5)(__1)4+(__1)5=__11.13.1__依题意,f,(x)=ex__2kx,则因为a=2b,所以显然a,b≠0,两怯相除得eb=2,则b=ln2,代入eb=2kb中,解得k则f因为A=2C,所以sinB=sin(A+C)=sin3C,由正弦定理且b=2C,得即sin3C=2sinC,所以sin2CcOsC+cOs2CsinC=2sinC,即2sinCcOs2C+2cOs2CsinC_sinC=2sinC, 所以2cOs2C+2cOs2 又因为A=2C,所以C∈(0,,故C=30o,A=60o,B=90o.因为△ABC是直角三角形,所以内切圆的半径为r所以△AOB的面积为S=cr=X13X313=3134__3.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。15.(1)解:因为a=b=1,所以f(x)=xlnx+x+2,…………1分则f’(x)=2+lnx,f’(1)=2.……………3分又f(1)=3,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y__3=2(x__1),即y=2x+1.…5分(2)证明:f(x)的定义域为(0,+∞),令f’(x)=lnx+a+1=0,得x……………………7分令f’(x)<0,得0<x<,则f(x)在上单调递减;令f’(x)>0,得x>,则f上单调递增.…………9分fmin=flnb=2b…………………11分因为f(x)>0恒成立,所以2b__>0,即bea+1>.………………13分16.解:(1)2X2列联表补充如下:不合计男女合计…………………2分零假设H0:广州市民是否龙舟比赛与性别无关.x……………5分根据小概率值α=0.005的独立性检验,可认为零假设H0不成立.故认为广州市民是否龙舟比赛与性别有关.…………6分(2)样本中广州市民龙舟比赛的频率为,由题意可知X~B,……8分…………………9分P(X=2)=CEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up3(2),3)X2X(1__=……13分所以X的分布列为X0123P 14分……………14分E(X)=0X+1X+2X+3X=或E…………………15分17.(1)证明:在三棱锥P__ABC中,PC丄底面ABC.因为ADC平面ABC,所以PC丄AD.………………………1分又因为点D是BC的中点,AB=AC,所以AD丄BC,………2分又PC∩BC=C,PC,BCC平面PBC,所以AD丄平面PBC.………………………3分(2)解:如图所示,连接DE,由(1)知AD丄平面PBC,又CEC平面PBC,所以AD丄CE.……………4分又AE丄CE,且AE∩AD=A,AE,ADC平面ADE,所以CE丄平面ADE.……………5分又因为DEC平面ADE,所以CE丄DE.……………………6分【高三8月摸底检测●数学卷参考答案第3页(共5页)】6008C即在△PCB内,若AE丄CE,则CE丄DE,即点E落在以CD为直径的半圆上,因为CDBC=2,所以点E的“迹长度为πX=π.………7分(3)解:以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,过A作≈轴垂直于平面ABC,建立如图所示的空间直角坐标系,因为点D是BC的中点,则D(12,12,0).设PC=a,因为PC丄底面ABC,则P(0,212,a),EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up4(_→),AD)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up4(_→),AP)设PC=a,因为PC丄底面ABC,则P(0,212,a),设平面ADP的法向量"1=(x,y,≈),由取x=1,得y所以平面ADP的一个法向量"………………11分又平面CAP的法向量"2=(1,0,0),二面角C_AP__D的大小为60o,所以cOS60o解得a=2(舍负).→2).……………………13分→设AC与平面ADP所成角为θ,AC=(0,212,0),………………15分18.解:(1)因为点(__12,__13)在双曲线C上,所以……………1分又离心率为2,则………………2分联立,解得a=1,b=13.……………………3分故双曲线方程为x渐近线方程为y=±13x.……………………4分(2)(i)设M(x1,y1),N(x2,y2),联立,则(3__k2)x2__2kmx__m2__3=0,……………………5分所以Δ=4k2m2+4(3__k2)(m2+3)>0,即m2+3>k2,…………………6分且x1+xx1x………………………7分则y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m=_,………………8分则MN的中点为D,,即D……………9分因为线段MN的垂直平分线过点K(0,4),则k=__1,整理得k2+m=3.……………10分(ii)由(i)知m=3__k2,则x1+x2=2k,x1xD(k,3),…………………11分则k>0,m<0,则m2+3>k2=3__m,解得m<__1.………………………12分又MN=1k2+1.1(x1+x2)2__4x1x2=+1.…………14分则MDMN……………15分又KD=1k2+1,则tanLMKD即LMKD∈(0,60。),…………………16分又LMKN=2LMKD,则LMKN的取值范围为(0,120。).……………17分19.(1)