常微分方程 课件恰当微分方程与积分因子

IntegratedMethodofFirstOrderODE第二章一阶微分方程的初等积分法第二章一阶微分方程的初等积分法第1节变量分离方程与变量变换第2节线性微分方程与常数变易法

第3节恰当微分方程与积分因子

第4节一阶隐式微分方程与隐式表示/ExactODEandIntegratingFactor/3内容提要/ContentsAbstract/积分因子本节要求/Requirements/

熟练掌握恰当方程的求解方法

会用积分因子方法求解非恰当方程一、恰当方程/ExactODE/特点：x，y处于同等的地位，若视x为自变量，则y就是x的函数；

若视y为自变量，则x就是y的函数。方程(1)称为对称形式的方程。对称形式的方程:一阶显式微分方程：

如果存在某一二元函数使得则称方程称u(x,y)为的一个原函数。

§2.3ExactODEandIntegratingFactor1、恰当方程/全微分方程的定义定义为恰当方程(或全微分方程).

如果方程（1）为恰当方程，即则方程(1)可写成为，从而方程的通解为：其中C是任意常数。方程的通解为

例如：又如：方程各项经过重新组合后，可以看出它是恰当方程，

解：通解为例1求解

求解恰当方程的关键就是求原函数的问题。

问题：如何判断方程（1）是否为恰当方程？如果方程（1）是恰当方程，如何求满足条件（2）的函数u(x,y)，

即方程（1）左端微分式的原函数？9假设函数在某区域内连续可微，则方程（1）是恰当方程定理1的充分必要条件是:此时，方程（1）的通解为:（3）或(4)其中C是任意常数。2、恰当方程的判别及求解（1）证明必要条件：即证（1）为恰当方程时，成立：若(1)是恰当方程，则存在某一二元函数

u(x,y)，使由条件知，故有.而充分性：

即证若时，(1)是恰当方程，即要找一个二元函数u(x,y)，使得，也即u(x,y）满足以下方程组以下推证满足上方程组的u(x,y）一定存在。从到x

对方程组的第一式进行积分，得其中为未知的一元函数.故对上式两边关于y求偏导，得从而有这就是所求方程（1）左端微分式的一个原函数。

故（1）的通解为:如从方程组的第二式出发，推证，还可得:

证毕注意：求解时，的选择要尽可能简单，且使M,N有意义。解：，故从而此方程为恰当方程。即例1求解由（3）式，得出通解为S1判别是否为恰当微分方程.由于S2求解方程.方法1:公式法（3）原方程可改写为:

故通解为：方法2:分项组合凑微分法16解：因为

，故为恰当（全微分）方程。根据（4）式，（选取例2求解方程

从而所求通解为(4)二、积分因子/IntegratingFactor/问题：如何将非恰当方程化为恰当方程？非恰当微分方程恰当微分方程积分因子求解非恰当方程的关键是求积分因子！对称形式的方程非恰当微分方程恰当微分方程?思路：例如：（i）变量分离方程：但是方程两端乘以得到恰当方程：所以，是变量分离方程的积分因子。不一定是恰当方程，这是因为：结论：一个非恰当方程的积分因子有无穷多个！问题：这些积分因子有何关系?P.41,9（ii）方程有如下积分因子：等等。一、积分因子的定义定义：对于对称形式的微分方程若存在一个连续可微的函数使得方程是恰当微分方程，则称为方程（1）的积分因子。例4二、

积分因子的确定1.观察法：例1：

解方程解利用已知的或熟悉的微分式的原函数求积分因子。22解：将方程改写为由此看出是积分因子，于是方程化为：故方程的通解为.

例2

解方程232.公式法:寻求某些特殊的积分因子是方程的积分因子

即（5）利用积分因子满足的微分方程来求积分因子。是恰当方程反过来，满足(5)的函数一定是方程的积分因子。结论：是方程的积分因子的充要条件是满足PDE（5）分析：方程有只与x

有关的积分因子的充要条件是此时，积分因子为这是因为:反过来，可证满足(5)，即有只与x

有关积分因子。（5）退而求其次！结论1Case1：只与x有关的积分因子Case2：只与y

有关的积分因子方程有只与y

有关的积分因子的充要条件是此时，积分因子为思考：类似推证方程有只与有关的积分因子的充要条件。这是因为：（2）结论2例3试用积分因子法求解线性方程解：，故一阶线性微分方程是非恰当方程。将方程改写成对称形式：由于由于故方程有积分因子：将之乘以方程的两边得如下恰当微分方程：故一阶线性微分方程的通解为：即例5

求方程的通解.解:由于故它不是恰当方程,又由于分项组合凑微分，得故所求通解为（3）分组组合配平法寻找适当的和使得则