第5课时　与角度有关的几何问题

第5课时与角度有关的几何问题1.（2025∙渝北区）在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM=BM，点D是线段AM上一动点.（1）如图1，点C是BM延长线上一点，且MD=MC，连接AC，若BD=17，求AC的长；

（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，且EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF.

2.在△ABC中，∠B=∠C=α（0＜α＜45°），AM⊥BC于点M，D是线段BC上的动点（不与点B，C，M重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE.（1）如图1，若点E在线段AC上，且AM=3，DM=2，求ME的长；（1）解：∵线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE，∴DM=DE，∠MDE=2α，∴∠DEM=∠DME.∵∠MDE=∠C＋∠DEC=2α，∠C=α，∴∠DEC=α，∴∠DEC=∠C，∴DE=DC=DM=2，∴CM=DM＋DC=4.

（2）如图2，若点D在线段BM上，在射线MB上存在点F满足DF=DC，连接AE，AF，EF，求证：AE⊥FE.

3.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.（1）如图1，在AB边上找一点E，连接CE，使得∠ACE=30°，过点B作CE的垂线交CE的延长线于点G，延长BG，CA交于点D.若AD=3，求CE的长；

（2）如图2，在△ABC内部找一点E，连接BE，将BE绕点E顺时针旋转至FE，FE交AC于点O，使得∠ABE＋∠AOE=180°，连接CF，取CF的中点D，连接AD，DE，AE.求证：△ADE是等腰直角三角形.

∴△ABE≌△GFE（SAS），∴AE=EG，∠AEB=∠FEG，∴∠AEG=∠AEF＋∠FEG=∠AEF＋∠AEB=∠BEF=90°.又∵AD=DG，AE=EG，∴AD=DG=DE，DE⊥AG，即AD=DE，AD⊥DE，∴△ADE是等腰直角三角形.4.如图，在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE.（1）如图1，若∠BAC=90°，当C，D，E三点共线时，AD的延长线AF⊥BC交BC于点F，则∠ACE=

；22.5°（2）如图2，连接CD，BE，延长ED交BC于点F，若点F是BC的中点，∠BAC=∠DAE，求证：AD⊥CD；（2）证明：如图2，延长DF至点Q，使FQ=DF，连接BQ.∵∠BAC=∠EAD，∴∠EAB=∠DAC.又∵AC=AB，AD=AE，∴△DAC≌△EAB（SAS），∴DC=BE，∠ADC=∠AEB.∵点F为BC的中点，∴BF=CF.又∵DF=QF，∠CFD=∠BFQ，∴△DFC≌△QFB（SAS），∴DC=QB，∠CDF=∠Q，∴QB=BE，∴∠Q=∠BEQ.∵AE=AD，∴∠AED=∠ADE，∴∠AEB=∠AED＋∠BEQ=∠ADE＋∠Q=∠ADE＋∠CDF=∠ADC.∵∠ADE＋∠CDF＋∠ADC=180°，∴∠ADC=90°，∴AD⊥CD.（3）如图3，延长DC到点M，连接BM，使得∠ABM＋∠ACM=180°，延长ED，BM交于点N，连接AN，若∠BAC=2∠NAD，请写出∠ADM与∠DAE之间的数量关系，并写出证明过程.（3）解：∠DAE＋2∠ADM=180°.证明如下：如图3，在BN上截取BH=CD，连接AH.∵∠ABM＋∠ACM=180°，∠ACM＋∠ACD=180°，∴∠ABM=∠ACD.又∵AB=AC，∴△ABH≌△ACD（SAS），∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，∠AHB=∠ADC，∴∠BAC=∠BAH＋∠HAC=∠CAD＋∠HAC=∠HAD.∵∠BAC=2∠NAD，∴∠HAN=∠DAN.又∵AN=AN，∴△AHN≌△ADN（SAS），∴∠AHN=∠ADN.∵∠AHN＋∠AHB=180°，