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第8课时与最值有关的几何问题（二）1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，点D为线段AB上一动点，连接CD.

2.在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D是边BC上一点，连接AD，∠ABD的平分线交AD于点E.（1）如图1，若∠BAD=30°，CD=2，求DE的长；解：（1）如答案图1，连接CE，

（2）如答案图2，过点B作BV⊥AD于点V，过点A作AW⊥AB，交QP的延长线于点W.∵∠ABC=∠AQP=∠BVE=90°，∴∠BAD＋∠ADB=90°，∠ADB＋∠DBV=90°，∴∠BAD=∠DBV.∵BE平分∠ABC，∠ABC=90°，∴∠EBD=45°，∴∠DBV＋∠EBV=45°.又∵∠BAD＋∠DAC=45°，∴∠DAC=∠EBV.又∵AP=BE，∠AQP=∠BVE=90°，∴△APQ≌△BEV（AAS），∴AQ=BV.∵∠WAQ＋∠BAV=90°，∠BAV＋∠ABV=90°，∴∠WAQ=∠ABV.又∵∠AQW=∠BVA=90°，∴△AQW≌△BVA（ASA），∴AW=AB，∴点Q在以AW为直径的⊙O上运动.

3.（2025∙重庆节选）如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，点D是BC边上一点（不与端点重合），连接AD.将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，BE，CE.点D从点B移动到点C过程中，将BE绕点B逆时针旋转60°得线段BM，连接EM，作MN⊥CA交CA的延长线于点N.当CE取最小值时，在直线AB上取一点P，连接PE，将△APE沿PE所在直线翻折到△ABC所在的平面内，得△QPE，连接BQ，MQ，NQ，当BQ取最大值时，求△MNQ的面积.

∴∠DAU=∠EAV，∴△ADU≌△AEV（SAS），∴∠AVE=∠AUD=90°，由点V为定点，∠AVE=90°，得点E在过点V且垂直于AC的直线上运动，∴当点E和点V重合时，CE最小.∵将△APE沿PE所在直线翻折得△QPE，∴AE=QE，∴点Q的轨迹是以点E为圆心，4为半径的圆.如答案图2，连接BE，并延长交⊙E于点Q，此时BQ取最大值.连接MA，过点B作BS⊥CN于点S，过点Q作QR⊥CN于点R，由旋转的性质，得BM=BE，∠MBE=60°，∴△BEM是等边三角形，∴∠BEM=60°，BE=EM.∵△ADE是等边三角形

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