常微分方程 课件全套 齐龙兴 第1-6章 微分方程模型及其基本概念-线性微分方程组

第一章微分方程模型及其基本概念本章内容/MainContents/

第1节常微分方程模型第2节常微分方程的基本概念本节要求/Requirements/

了解常微分方程的基本形式；

通过具体实例了解建立常微分方程模型的基本方法。1、

代数方程(组)

一元n次代数方程：无理方程：方程组：三角方程：其特点：方程的解为实数（有限个或者无限个）方程/Equation/：一、什么是常微分方程？

含有未知量(数)的等式(或关系式)。2、函数方程（或泛函方程）其特点：方程的解为有限个或无穷多个函数。第1节常微分方程模型定义1：含有自变量，未知函数以及未知函数的导数（或微分）的关系式，称之

为微分方程。常微分方程与偏微分方程/ODEandPDE/

常微分方程/ODE/

在微分方程中，自变量的个数只有一个的微分方程称为常微分方程。偏微分方程/PDE/

自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。微分方程的阶/Order/：

在一个微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数n称为该方程的阶。

当n=1时，称为一阶微分方程；当n>1时，称为高阶微分方程。n阶隐式微分方程的一般形式可表示为：n阶显式微分方程的一般形式为：其中F

及f

分别是它所依赖的变元的已知函数。

二、什么是常微分方程模型？反映客观世界中量与量之间的变化关系，往往与时间有关，是一个动态系统。三、模型的建立过程参数的确定模型的建立模型的讨论及推广模型的求解实际问题微分方程数学建模第1节常微分方程模型(一)根据物理、力学已确定的自然规律包含电阻R、电感L、电容C及电源的电路称为RLC电路，它是电子电路的基础。其中电源电压e(t)是时间t的已知函数.根据Kirchhoff第二定律，存在关系式1、RLC电路（线性微分模型）Kirchhoff第二定律：在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零。四、建立常微分方程模型的几种方法电流I为未知函数由于根据Kirchhoff第二定律建立微分模型！故对上式两边微分，得到以时间t为自变量、若电源电压e(t)=E时，上述微分方程变为如还有R=0时，则微分方程又变为的微分模型2、数学摆：

系于一根长度为

的线上而质量为的质点在重力的作用下在垂直于地面的平面上沿圆周运动，下面确定摆的运动方程.

（非线性微分模型）根据Newton第二定律，可以得到而代入上式得摆的运动方程为

如果只研究摆的微小振动，即当比较小时，又得到微小振动时摆的运动方程（无阻尼的情形）假设摆是在一个粘性的介质中摆动，则沿着摆运动方向就存在一个与速度v成比例的阻力.若阻力系数是，则摆的运动方程变为如果沿着摆的运动方向恒有一个外力F(t)的作用，这是摆的运动称为强迫微小振动，其方程为（有阻尼的情形）(1)Malthus人口模型：3、人口模型根据已发现的数据，通过分析数据的相互关系加上合理的逻辑推理，寻找相关规律建立模型。(二)通过寻找规律建立相应的模型其中N(t)是t时刻的人口数量，r为生命系数.（线性微分模型）英国人口统计学家Malthus通过查看当地教堂100多年来的人口出生统计资料，发现规律：在人口自然增长的过程中，人口的增长速度与人口总数成正比！数据驱动Malthus人口模型的解为给定初值条件：，则Malthus人口模型满足上述初值条件的解为结果分析:当生命系数r>0时，人口总数N(t)将按指数规律无增长。若初始人口总数不大，生存空间、资源等极其充裕，人口总数指数增长是可能的。但当人口总数非常大时，指数增长的线性模型则不能反映事实：

环境所提供的条件只能供养一定数量的人口生活，所以马尔萨斯模型在N(t)很大时是不合理的。(2)logistic人口模型：荷兰数学家威尔霍斯特(Verhulst)引入常数(称为环境最大容纳量),表示自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数，易见（非线性微分模型）并假设净相对增长率为，即净相对增长率随N(t)的增加而减少，且按此假定，人口增长的方程就改为：（logistic模型）其中N(t)是t时刻的人口数量，r为生命系数.表示环境最大容纳量（该地区自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量。Logistic人口模型（非线性微分模型）：

Logistic模型是关于人口或种群增长的模型。它发现：

人口/种群增长会因为受到资源限制而达到某个极限。捕食鱼的自然增长率同其本身的数量及被捕食鱼数量成正比4、两生物种群竞争模型（非线性微分组）意大利生物学家棣安考纳(D’Ancona)发现某海港在第一次世界大战期间捕鱼量减少而捕获得的捕食鱼(食肉鱼)所占的百分比却急剧增加。为了解释这一现象，意大利数学家沃特拉(Volterra)建立了一个关于捕食鱼与被捕食鱼生长情形的数学模型。

表示t

时刻捕食鱼的总数量。

(1)Volterra（沃特拉）捕食-被捕食模型：

其中

表示t

时刻被捕食鱼的总数量；

单位时间内两种鱼相遇的次数(2)两种群共生模型（互相促进、互为依赖）其中

表示t时刻两种群的数量。

(3)两种群竞争模型（两种群竞争同一资源）

其中

表示t时刻两种群的数量。

(4)Volterra（沃特拉）模型的一般形式：

其中

表示两种群的数量。

(5)两种群竞争模型的一般形式:

其中

表示两种群相对于的增长率。

5、传染病模型：（非线性微分模型）(1)SI模型：(易感染者Susceptible-已感染者Infective)

其中

表示传染病传播期间某地区的人口总数，表示传染系数，

表示t

时刻的染病人数。

(2)SIS模型：其中

表示单位时间治愈率，表示平均传染期，

表示t

时刻的接触人数。

(3)SIR模型：对有接触强免疫性的传染病如天花、流感等，病人治愈后不会再被感染，称为被移除者(Removed)。其中

表示传染病传播期间某地区的人口总数，表示传染系数，

表示t

时刻的染病人数，表示健康人数。

1、Lorenz（洛伦兹）方程

根据一定的目的，通过反复的试验，建立适合要求的模型。(三)通过反复试验建立模型

气象学家洛伦茨(Lorenz)在美国天气预报中心工作，进行数值天气预报.他在20世纪60年代初开始用数字计算机，曾简化气象方程组，将大气对流现象化为14个变量，最后减为12个变量。然后用数字计算机进行数值模拟，能计算出两个月的天气变化。

一次偶然离开，回来发现计算结果突然变化，重新输入计算，结果又不同。反复检查原因，原来是重新输入数据的小数位尾数误差所致，从而发现方程组的解对初值敏感的现象。含有3个变量的常微分方程组

后来，他访问另一天气中心时，了解到另有人得到了7个变量的类似的方程组。经过重新处理，他将其中4个变化不大的变量删去，得到了仅含有三个变量的非常简单的微分系统，但其解对初值却异常敏感，他将数值计算结果发表在美国气象学报上，这个方程组就是后来被称为混沌(chaos)现象第一例的著名的Lorenz方程：从这些实例可以看出：微分方程模型的特点是反映客观现实世界中量与量的变化关系，往往与时间有关，是一个动态系统。这里我们只是结合后续学习的需要介绍几个有代表性的常微分方程模型，实际上数学模型中有各种各样的数学模型，例如糖尿病检测模型、作战模型、交通模型、经济模型、判别艺术伪造品模型、化学动力学模型等等。通过学习微分模型，我们大致了解了建立数学模型的一般方法，同时，也体会到了微分方程来源于客观世界，并最终用之解决实际问题。自主学习：1、网上搜索经典的微分方程模型2、预习第二节3、习题1.28(2)(4)(6)课后作业：第一章微分方程模型及其基本概念

第1节常微分方程模型

第2节常微分方程的基本概念第一章微分方程模型及其基本概念本节要求/Requirements/

能快速判断微分方程的类型；

掌握高阶微分方程及其初值问题的一般形式；

理解微分方程解的意义。例：

定义1：含有自变量，未知函数以及未知函数的导数（或微分）的关系式，称之

为微分方程。一、常微分方程与偏微分方程/ODEandPDE/

1、RLC电路模型：2、数学摆模型：(有阻尼的)3、logistic人口模型：常微分方程/ODE/

在微分方程中，自变量的个数只有一个的微分方程称为常微分方程。偏微分方程/PDE/

自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。二、一阶与高阶微分方程/FirstandHigherODE/微分方程的阶/Order/：

在一个微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数n称为该方程的阶。

当n=1时，称为一阶微分方程；当n>1时，称为高阶微分方程。例如：n阶隐式微分方程的一般形式可表示为：n阶显式微分方程的一般形式为：其中F

及f

分别是它所依赖的变元的已知函数。n阶微分方程的一般形式：特别地，一阶常微分方程的一般隐式形式可表示为：一阶常微分方程的一般显式形式可表示为：三、线性和非线性微分方程/LinearandNonlinearODE/如果n阶微分方程的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则称它为线性微分方程，否则，称它为非线性微分方程。二阶线性微分方程一阶非线性微分方程例如：n阶线性微分方程的一般形式为：如：2阶线性方程的一般形式：其中均为的已知函数。RLC电路模型：数学摆模型：logistic人口模型：1、解和隐式解/Solution/对于n阶微分方程若将函数代入方程后使其有意义且两端成立，即则称函数为该方程的一个(显式)解.或如：一阶微分方程有解，即关系式

若方程的解是某关系式的隐函数，称这个关系式为该方程的隐式解。把方程解和隐式解统称为方程的解。包含了方程的解。四、微分方程的解/SolutionsofODE/2、通解和特解/GeneralSolutionandSpecialSolution/称含有n个相互独立的任意常数的解为该微分方程的通解。而常微分方程满足某个初始条件的解称为微分方程的特解。如：1、二阶微分方程的通解为.而是方程满足初始条件的解。对于n阶微分方程2、一阶方程的通解为.

说明：①微分方程的通解中所含独立常数的个数与方程的阶数相同；②通解中个任意常数相互独立

⇔存在点的某一领域，使得解的Jacobii行列式如：1、二阶微分方程的通解为.③一般的，通解不是方程的所有解，但线性微分方程的通解是方程的所有解。如：方程

有通解，但它还有特解，它不包含在通解中.④并非任一微分方程都有通解，如：

只有解，它没有通解。⑤常见的定解条件：初始条件和边界条件。五、初值条件/InitialValueConditions/对于n阶方程，其初值条件可表示为n阶方程初值问题（CauchyProblem）的表示说明：一阶和二阶方程初值问题（CauchyProblem）的表示：例1

质量为m的物体在重力的作用下，沿铅直线下落，物体下落距离S(向下为正）随

时间t而改变。在不考虑空气阻力的情况下，试求出距离S应满足的微分方程。

微分方程模型举例/ModelingofODE/解：设在时刻t物体下落的距离为，根据牛顿第二定律，有化简得，解之得，又因，故例2

放射性元素镭因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象成为衰变，实验知镭的衰变率与其当时的质量成比例。试求镭衰变的规律。

微分方程模型：含有自变量，未知函数及未知函数导数（或变化率）的关系式。解：设在任意时刻t镭的质量为M(t),则有1、积分曲线和积分曲线族/IntegralCurve(s)/一阶微分方程而微分方程的通解的解平面的一条曲线，我们称它为微分方程的积分曲线，表示表示平面的一族曲线，称它们为微分方程的积分曲线族。六、一阶ODE在几何上的几个概念2、方向场与等斜线在区域D上任意点处，以函数值为斜率作一方向(直线段)，则称区域D

若一阶微分方程右端的函数在

平面上的某区域D上有定义。连同在D上各点处的方向为微分方程的方向场(向量场)。方向场中方向相同的曲线称为等斜线。（k为参数）一阶常微分方程求解的几何意义是：在方向场中寻求一条曲线，使这条曲线上每一点切线的方向等于方向场中该点的方向。例3画出方程的方向场。解：等倾线方程为xyo七、微分方程组用两个或两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组.(1)一阶微分方程组的一般形式：其向量形式为其中注：方程组有类似前面定义的线性与非线性性、解与隐式解、通解与特解等概念.（2）阶微分方程与一阶微分方程组的转化对于阶微分方程则它可化为一阶微分方程组作变换：（3）驻定与非驻定方程组若方程组的右端不含自变量，则称之为驻定（自治）的方程组，即若右端含有自变量

的微分方程组，则称之为非驻定的（非自治的），即说明：非驻定方程组可以转化为

维空间

的驻定方程，引入新的时间变量

，使得，则非驻定方程组可以转化为如下驻定方程组：（4）动力系统八、相空间与奇点本节作业P13:4,6完成英文教材P5-8，预习第二章第1节练习题1编号微分方程自变量未知函数常或偏阶数是否线性1234§1.3Exercise练习题2求下列曲线族所满足的微分方程练习题3编号函数微分方程初始条件1234§1.3ExerciseIntegratedMethodofFirstOrderODE第二章一阶微分方程的初等积分法第二章一阶微分方程的初等积分法

第1节变量分离方程与变量变换

第2节线性微分方程与常数变易法

第3节恰当微分方程与积分因子

第4节一阶隐式微分方程与隐式表示内容提要与本节要求：

本节要求/Requirements/1、

熟练掌握变量分离方程，齐次方程的求解方法。2、

熟练掌握运用变量变换将方程化为熟知类型求解的思想方法，求更广泛类型方程的解。变量分离方程

与变量变换内容提要/MainContents/实例引入：实例一【自由落体运动】设质量为m的物体在某介质内受重力的作用自由

下坠，其间还受到介质的浮力B和阻力R的作用，设，其中

为常数，试求该落体的速度与位移之间的函数关系。

实例二【探照灯反射镜面的形状】在制造探照灯反射镜面时，总是要求将

点光源射出的光线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的方向

性，试求反射镜面的几何形状。一、变量分离方程/VariablesSeparatedODE/分别是x与y的已知连续函数。的方程称为变量分离方程，其中2、特点：形如1、形式定义：如：；中右端的二元函数一般的一阶微分方程f(x,y)可表示成两个一元函数之积，即解法步骤/SolvingSteps/:(当时),(S1)分离变量得

(S2)两边积分,得………………(2.2)用G(y)，F(x)分别表示的某一个原函数.(S3)写通解：

方程（2.1）的通解为特别地，如果存在，使得直接验证得:为方程(2.1)的常数解。故变量分离方程（2.1）的解为：G(y)=F(x)+CG(y)=F(x)+C及常数解.解：易见S1分离变量，得S2两边积分，得例1

求解方程.

（c为任意正常数）或者S3求通解隐式解显式解解:当时(S1)分离变量因而方程还有解y=0.并求出满足初始条件：当

x=0时y=1的特解。例2求解方程.

（S3）（c为任意常数）为方程的通解。注意

y=0

时，也是方程的解，而其并不包含在通解中，(S2)两边积分所以，原方程的解为.将初始条件y(0)=1代入通解中，得c=-1则满足所给条件的特解为:求特解：（S4）求出满足初始条件：当

x=0时y=1的特解。例2求解logistic人口模型：

解:(S1)分离变量：（S3）写方程的通解及常数解：

(S2)两边积分：当时

实例一【自由落体运动】设质量为m的物体在某介质内受重力的作用自由下坠，其间还受到介质的浮力B和阻力R的作用，设，其中为常数，试求该落体的速度与位移之间的函数关系。

解：设经过时间t,落体的位移为x(t),速度为v(t),因物体是自由落体，故x(0)=0,v(0)=0.由Newton第二定律，建立如下模型：

而

故对上述模型化简，得如下初值问题：

这是一个变量分离方程。其解为：

(1)齐次方程/HomogeneousEquation/

(2)分式线性微分方程/ClassificationsofHomogenous/2、

可化为变量分离方程的类型/ClassificationsofVariableSeparatedEquation/(1)齐次方程/HomogeneousEquation/形式：，其中g(u)为

u

的连续函数

或f(x,y)

可表示成以特点：中右端的二元函数f(x,y)是x,y的零次齐次式，一阶微分方程即齐次方程的解法：(S1)作变量变换

,即y=ux（S2）对两边关于x求导，得（S3）将上式代入原方程，得整理,得……….(2.3)（S4）求解方程(2.3),若其解为:(S5)原方程的通解为:变量分离方程例3

求解方程.解：S1令，则有，从而原方程化为整理,得S2分离变量，得S3两边积分，得S4求通解变量分离方程(为任意常数)

令

得:sinu=cx（c为非零任意数）又当tanu=0

时，u=0,即u=0

也是方程的解.故其通解为sinu=cx（c为任意常数）,代回原来的变量，得原方程的通解为:.(为任意常数)可化为齐次方程的类型/ClassificationsofHomogenous/分式线性微分方程的形式：…………………(2.4)其中均为常数.

为了便于理解，定义两条直线：下面根据两直线的位置关系来分情况求解分式线性微分方程。分式线性微分方程的解法：两直线相交，且交点在坐标原点两直线平行，但不重合求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程的解。两直线相交，但交点不在坐标原点类似的方法，可求解更广泛的方程：例4

求解方程.解:

解方程组，得交点坐标x=1,y=2.令,将原方程化为齐次方程：.S1换元化为齐次方程：再令分离变量，得:两边积分，得:化简，得：S2再换元化齐次方程为变量分离方程：将齐次方程化为：.变量分离方程S3求解变量分离方程：，其中.S4依次代回变量得原方程的通解：此外，容易验证:也是解，故变量分离方程的通解为变量分离方程

与变量变换本节小结/Conclusion/通解的形式及其中任意常数的意义。注意/Note/：自主学习：探索实例二的解决方法.课堂练习/Exercise/思考以下方程的求解方法：作业:P.31.第2,3,5,8,11,13,16,18(1),21题。IntegratedMethodofFirstOrderODE第二章一阶微分方程的初等积分法第二章一阶微分方程的初等积分法第1节变量分离方程与变量变换

第2节线性微分方程与常数变易法

第3节恰当微分方程与积分因子

第4节一阶隐式微分方程与隐式表示本节要求/Requirements/

熟练掌握线性方程和伯努利方程的求解方法。

了解黎卡提方程的简单性质及其求解方法。内容提要/ConstantAbstract/一、

一阶线性微分方程的方程称为一阶线性微分方程(即关于是线性的)，其中

为x的已知函数。当时，称方程为一阶齐次线性微分方程;当时，称方程(1)为非齐次线性微分方程。形如………………(1)………………(2)1、形式定义：2、分类：1）齐次线性方程的解：解法:分离变量，得:两边积分，得:………..……(2)，其中.于是，

因为也是(2)的解，所以其通解为:…….…(3)其中c为任意常数。此外，满足初始条件的解是…..(3)’，其中.由公式(3)’得，所求特解:.故由公式(3)得，所求通解为：解：由于，例1的特解。

试求微分方程的通解，并求满足初始条件变量分离法

2）非齐次线性微分方程的解…………(1)注意到方程（2）是（1）的特殊情形，它们既有联系又有区别，因此，我们可以设想，它们的解也应该有一定的联系而又有差别.为此，我们试图利用（2）的通解形式去求（1）的通解.显然，如果始终保持（2）的通解中的C恒为常数，则它比不可能是（1）的解，那么，要使（1）也有形如的解，我们设想：将变易为x的待定函数C(x)，即…………(2)联系/区别形式解猜想：一阶非齐次线性微分方程(1)有形如即….(4)代入(4)得非齐次线性微分方程(2.2.1)的通解：常数变易法：…………(1)的解，但其中C(x)为

x的待定函数。将之代入（1）得不定积分…………….…..(5)其本质是变量替换法！几点说明：常数变易法：将常数变易成待定函数的方法。常数变易通解结构：非齐次线性微分方程的通解等于其对应齐次方程的通解与自身的一个

特解之和。齐次非齐次齐次方程的通解非齐次方程的特解变量分离法常数变易法初值问题的解：非齐次线性微分方程满足初始条件的解（特解）为…………(1)自主作业1：利用常数变易法证明该结论.思考：常数变易法是否可推广到高阶线性微分方程的求解中？线性微分方程的方法：S1求对应的齐次线性微分方程的通解：分离变量法S2常数变易(或变量替换)，求非齐次线性微分方程的通解方法一:常数变易法方法二:公式法例2

求解：

.

解：变形为S1)先求对应的齐次方程的通解S2)用常数变易法求原方程的通解设是方程的解，代入原方程，得从而，原方程的通解为:例3求解:

解1)转换变量位置2)用公式求方程通解故所求通解为

.

注意:

有时方程关于不是线性的，但如果视x

为y的函数，于是仍可以根据上面的方法求解。方程关于是线性的，二、可化为线性方程的方程1伯努利方程/BernoulliODE/2*黎卡提方程/RiccatiODE/1、伯努利方程/BernoulliODE/形如的方程称为伯努利方程，其中,它通过变量代换可解法：将方程(2.2.6)的各项同乘以得:令，化为线性方程。用上式求解后，代入原变量,便得原方程的通解：伯努利方程线性微分方程换元常数变易法通解伯努利方程的求解步骤：注：当时，也是Bernoulli方程的解。

例4解方程.将方程改写为:解：故原方程的解为令，解之得则原方程化为

2、黎卡提方程

/RiccatiODE/形如的方程称为黎卡提方程。特点:在一般情况下，此类方程的解不能用初等函数及其积分形式表示.但是，如果先由观察法或其他方法知道它的一个特解时，才可以通过初等积分法，求出它的通解。黎卡蒂方程的解法：若方程有一特解为，则设，从而于是即将黎卡蒂方程化为伯努利方程。从而，有

由观察看出是方程的一个特解，于是令，则得

解

故原方程的通解为例5例6

试求形如的特解,解此微分方程。解

代入方程得:所以,

故是方程的一个特解。令,则有于是方程化为伯努利方程设故原方程的通解为IntegratedMethodofFirstOrderODE第二章一阶微分方程的初等积分法第二章一阶微分方程的初等积分法第1节变量分离方程与变量变换第2节线性微分方程与常数变易法

第3节恰当微分方程与积分因子

第4节一阶隐式微分方程与隐式表示/ExactODEandIntegratingFactor/99内容提要/ContentsAbstract/积分因子本节要求/Requirements/

熟练掌握恰当方程的求解方法

会用积分因子方法求解非恰当方程一、恰当方程/ExactODE/特点：x，y处于同等的地位，若视x为自变量，则y就是x的函数；

若视y为自变量，则x就是y的函数。方程(1)称为对称形式的方程。对称形式的方程:一阶显式微分方程：

如果存在某一二元函数使得则称方程称u(x,y)为的一个原函数。

§2.3ExactODEandIntegratingFactor1、恰当方程/全微分方程的定义定义为恰当方程(或全微分方程).

如果方程（1）为恰当方程，即则方程(1)可写成为，从而方程的通解为：其中C是任意常数。方程的通解为

例如：又如：方程各项经过重新组合后，可以看出它是恰当方程，

解：通解为例1求解

求解恰当方程的关键就是求原函数的问题。

问题：如何判断方程（1）是否为恰当方程？如果方程（1）是恰当方程，如何求满足条件（2）的函数u(x,y)，

即方程（1）左端微分式的原函数？105假设函数在某区域内连续可微，则方程（1）是恰当方程定理1的充分必要条件是:此时，方程（1）的通解为:（3）或(4)其中C是任意常数。2、恰当方程的判别及求解（1）证明必要条件：即证（1）为恰当方程时，成立：若(1)是恰当方程，则存在某一二元函数

u(x,y)，使由条件知，故有.而充分性：

即证若时，(1)是恰当方程，即要找一个二元函数u(x,y)，使得，也即u(x,y）满足以下方程组以下推证满足上方程组的u(x,y）一定存在。从到x

对方程组的第一式进行积分，得其中为未知的一元函数.故对上式两边关于y求偏导，得从而有这就是所求方程（1）左端微分式的一个原函数。

故（1）的通解为:如从方程组的第二式出发，推证，还可得:

证毕注意：求解时，的选择要尽可能简单，且使M,N有意义。解：，故从而此方程为恰当方程。即例1求解由（3）式，得出通解为S1判别是否为恰当微分方程.由于S2求解方程.方法1:公式法（3）原方程可改写为:

故通解为：方法2:分项组合凑微分法112解：因为

，故为恰当（全微分）方程。根据（4）式，（选取例2求解方程

从而所求通解为(4)二、积分因子/IntegratingFactor/问题：如何将非恰当方程化为恰当方程？非恰当微分方程恰当微分方程积分因子求解非恰当方程的关键是求积分因子！对称形式的方程非恰当微分方程恰当微分方程?思路：例如：（i）变量分离方程：但是方程两端乘以得到恰当方程：所以，是变量分离方程的积分因子。不一定是恰当方程，这是因为：结论：一个非恰当方程的积分因子有无穷多个！问题：这些积分因子有何关系?P.41,9（ii）方程有如下积分因子：等等。一、积分因子的定义定义：对于对称形式的微分方程若存在一个连续可微的函数使得方程是恰当微分方程，则称为方程（1）的积分因子。例4二、

积分因子的确定1.观察法：例1：

解方程解利用已知的或熟悉的微分式的原函数求积分因子。118解：将方程改写为由此看出是积分因子，于是方程化为：故方程的通解为.

例2

解方程1192.公式法:寻求某些特殊的积分因子是方程的积分因子

即（5）利用积分因子满足的微分方程来求积分因子。是恰当方程反过来，满足(5)的函数一定是方程的积分因子。结论：是方程的积分因子的充要条件是满足PDE（5）分析：方程有只与x

有关的积分因子的充要条件是此时，积分因子为这是因为:反过来，可证满足(5)，即有只与x

有关积分因子。（5）退而求其次！结论1Case1：只与x有关的积分因子Case2：只与y

有关的积分因子方程有只与y

有关的积分因子的充要条件是此时，积分因子为思考：类似推证方程有只与有关的积分因子的充要条件。这是因为：（2）结论2例3试用积分因子法求解线性方程解：，故一阶线性微分方程是非恰当方程。将方程改写成对称形式：由于由于故方程有积分因子：将之乘以方程的两边得如下恰当微分方程：故一阶线性微分方程的通解为：即例5

求方程的通解.解:由于故它不是恰当方程,又由于分项组合凑微分，得故所求通解为（3）分组组合配平法寻找适当的和使得则原方程的积分因子P41习题9

例4、解方程解：不是恰当方程取，，则原方程的积分因子为：原方程通解：小结/Conclusion/作业：P.41:1(1)(2)(4)(5);2(2)(4)(6);3IntegratedMethodofFirstOrderODE第二章一阶微分方程的初等积分法第二章一阶微分方程的初等积分法第1节变量分离方程与变量变换第2节线性微分方程与常数变易法

第3节恰当微分方程与积分因子第4节一阶隐式微分方程与隐式表示/ImplicitFirst-OrderODEandParameterrepresentation/变量分离、线性、恰当方程等能解出特殊化不能解出或解出形式复杂特殊化引进参数变量变换退而求其次一、能解出

y(或x)的方程这里假设函数有连续的偏导数.解法：引进参数，则(1)变为两边关于

x

求导，并把代入，得化简得到如下关于x

和p的显式方程:1、能解出y的方程:

若得出(3)的通解形式为,代入(2)得，这就是(1)的通解。(ii)若得出(3)通解形式为，则原方程(1)有参数形式的通解其中p

是参数，c为任意常数。(iii)若求得(3)通解形式，则原方程(1)其中p是参数,c为任意常数。有参数形式的通解解法：引入参数

，则有两边对y求导，得(ii)若求得为，则(4)的通解为(i)若求得为，则(4)的通解为其中p是参数,c为任意常数。2、能解出x的方程:

(6)解法1：

可解出y：

令，得两边对x求导例1求解方程当时，上式乘以p，得积分，得解出x，得将它代入,得因此，方程参数形式通解当p=0

时,由可知，y=0也是方程的解。解法2：可解出x：两边对y求导，得所以，方程的通解为:此外，还有解y=0

令，得化简，得解上方程，得解出y，得从而，解：令得，两边对x

求导，得例2求解方程将它代入得方程的通解：i)若，则ii)若由则将它代入又得方程的一个解我们称之为奇解,下一章将给出奇解的确切含义。注意:方程的解为：及解与通解中的每一条积分曲线均相切(如图)，这样的解xyo二、不显含y(或x)的方程解法：引入变换：则从(7)得到从而，方程(7)的参数形式通解为关键(or引入变换)(or

)3、不显含y的方程:

解法：引入变换则从(8)得到从而，方程(8)的参数形式通解为(or引入变换)(or得到)此外，若有实根，则也是方程的解。关键4、不显含x

的方程:

解：令则由方程，得从而于是求解方程例4从而，所求通解为例5求解方程解:把代入原微分方程，得令由此得且从而，方程的参数形式的通解为此外,也是方程的解。注意观察方程的解的特点！解：通解奇解克莱洛方程ClairantEquation例6求解方程其中由于故有若则若则故克莱罗方程的参数解为第三章一阶微分方程的解的存在定理ExistenceTheoremofSolutionsforFirstOrderODEs

3-1解的存在唯一性定理与逐步逼近法

/Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod/

3-2-1解的延拓

3-2-2解对初值的连续性和可微性定理

3-3奇解第三章一阶微分方程的解的存在定理

微分方程来源于生产实践，研究微分方程的目的就在于掌握它反映的客观规律，能动地解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。

对于反映某一运动规律的微分方程，由于我们的方法限制或技巧不同等原因，无法求出解的精确表达式；或者我们无需求其精确解。那么，常微分方程的研究就从“求通解”转向“求定解”的时代。

此外，由于能求得精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法（包括数值解法）具有十分重要的实际意义，而解的存在性和唯一性又是进行近似计算的前提。

另一方面，由于种种条件的限制，实际测出的初始数据往往是不精确的，它只能近似地反映初始状态，因此我们以它作为初值条件是法能作为真正的解呢？学习本章的意义：本章主要研究如下几个方面：一、一阶初值问题的解的存在性引例1.考虑初值问题是一个解；或更一般地，初值问题还有解也是一个解；（解存在而不唯一）解存在问题本身有意义；解存在而不唯一注：问题不明确二、解对初值的连续依赖性引例2.考虑初值问题有解：而初值问题有解：说明：方程相同，初值不同，从而解的存在区间不同。故初值问题

的解与初值有关。本节要求/Requirements/

深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论；

掌握逐步逼近法的基本思想。一、解的存在唯一性定理定理1（Peano定理）若函数在闭矩形区域D：上连续，则方程在区间上至少存在一个满足的解。初始条件1、Peano定理说明：在

上连续解的存在性！问题：增加什么条件，保证初值问题解唯一呢？考虑一阶初值问题：2、Picard解的存在唯一性定理定理2若函数在闭形区域D：

上满足：在区间上存在唯一的解，它连续且满足初值条的解，其中h=，而。件(1)在D

上连续；(2)在D

上关于y满足Lipschitz条件，即存在常数L(称为Lipschitz常数)，使得对，有则方程解的存在唯一性定理的证明方法：

命题1求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程

命题2构造一个连续的逐步逼近序列

命题3证明此逐步逼近序列一致收敛

命题4证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解

命题5证明唯一性盲人爬山皮卡逐步逼近法！H1)f(x,y)在D上连续H2)f(x,y)在D上关于y满

足Lipschitz条件Peano定理初值问题初值问题的解存在初值问题的解唯一Picard定理Picard解的存在唯一性定理的解读：证明:先证微分方程的初值问题的解满足积分方程（3）.因为是方程(1)的解，故有:把初始条件代入上式,即有:因此,是积分方程在上的连续解.命题1

设是初值问题(1)的解的充要条件是是积分方程……(3)的定义于上的连续解.S1写出初值问题等价的积分方程：

两边从到积分得到:再证积分方程（3）的连续解是微分方程的初值问题的解.假设是积分方程(3)的连续解，则有：………(4)微分之，得到:又把

代入(4)，得到:，因此，是方程(1)定义于上，且满足初始条件命题1证毕.同理，可证结论在区间上也成立。(2)的解。初值问题积分方程等价于首先取，则xyox0x0+ax0-ay0y0-by0+bx0-hx0+h于是，我们得到如下皮卡逐步逼近函数序列:S2构造皮卡逐步逼近序列：

命题2

对于所有的(5)中函数在上有定义、连续，证明:

（只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）当n=1

时,由于且满足不等式:，故从而结论当n=1时成立。现在用数学归纳法证明对于任何正整数n

，结论都成立：即当n=k

时，且满足不等式.且在上有定义、连续，在上有定义、连续，而当n=k+1时，由于上有定义，连续，即结论对n=k+1也成立.且在由数学归纳法得知命题２对于所有n

均成立。，故命题２证毕命题３在上是一致收敛的。函数序列证明：考虑级数:它的部分和为：下证级数(7)收敛，考虑魏尔斯特拉斯判别法.为此，对进行如下的估计。S3证明Picard逐步逼近序列一致收敛：

由于故设对于任意的正整数n,成立不等式.下面考虑n+1的情形.由于

于是，由数学归纳法得到：对于所有的正整数k，有如下的估计:由此可知，当时，有故由维尔斯特拉级数(7)在上一致收敛,因而皮卡迭代序列也在上一致收敛。命题3证毕而(9)的右端是正项收敛级数的一般项，斯(Weierstrass)判别法(简称维氏判别法),且由(6)又可知现设，则极限函数也在上连续，命题4

证明:由利普希兹条件，知因为皮卡迭代序列在上一致收敛于，极限函数是积分方程(6)的定义于上的连续解.即知函数序列在区间上一致收敛.因而，对(5)两边取极限,得到:即，故是积分方程(3)定义于上的连续解。命题4证毕S4证明收敛的极限函数为所求初值问题的解。命题5证明：首先证明也是序列的一致收敛极限函数。为此，有如下式子进行如下的估计：也是积分方程(3)的定义于

上的一个连续解,若则S5

证明解的唯一性。现设，则有故由数学归纳法知对于所有的正整数n，有估计式因此，在上有:由于是收敛级数的公项,故当时，因而在上一致收敛于.

根据极限的唯一性，即得:命题5证毕综合命题1-5，即得到存在唯一性定理的证明。初值问题等价于积分方程：S1S2构造逐步逼近序列：S3证明逐步逼近序列一致收敛：S4证明逐步逼近序列的极限函数是初值问题的解.S5证明解的唯一性.盲人爬山初值问题(1)的第n次近似解附注/Remark/：证：1）如果在闭矩形区域D上对有连续的偏导数，

则在D上关于满足Lipschitz条件，且L可取为在D上的界。但反之不成立。

由Lagrange中值定理，有

2）存在唯一性定理中的两个条件是保证初值问题的解存在且唯一的充分条件，而非必要条件。即●当连续条件不满足时，解也可能存在唯一。如：f(x,y)在以原点为中心的矩形域中不连续，但解存在唯一.H1)f(x,y)在D上连续H2)f(x,y)在D上关于y

满足Lipschitz条件初值问题的解存在且唯一●当Lipscitz条件不满足时，解也可能存在唯一。如：f(x,y)在(x,0)的任何邻域内不满足Lipschitz条件，但解存在唯一。不可能有界,故不满足L-条件。xy①②3）存在唯一定理中数h的几何意义h=设方程(1)为一阶线性微分方程若P(x),Q(x)

在区间连续，则由任一初值所确定的解在整个区间上都存在且唯一。4）一阶线性微分方程解的存在唯一性5)一阶隐式方程的解的存在唯一性定理3如果在点的某一邻域中，

则上述初值问题的解在的某一邻域存在。证明的工具：隐函数存在定理。对所有的变元连续，且存在连续的偏导数；事实上，由条件知所确定的隐函数在邻域内存在且连续，且由解的存在唯一性定理，初值问题的解y(x)

存在唯一，且存在区间中的

h

可足够小。同时，有在邻域内连续，在区域D中有界，所以

f(x,y)

在D中关于以为中心的某一闭矩形y满足Lipschitz条件。

三、近似计算和误差估计

定义1：称函数

而称表达式

例5方程定义在矩形域解：易见该初值问题满足解的存在唯一性定理的条件.且故可取Lipschitz常数取为

L=2.

试确定经过点(0,0)的解的存在区间，并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解的表达式。从而，又因为，由近似计算公式知，最后求近似解的表达式.取，则四、本节作业

线下作业：习题3.1的第1,3,4题；

线上作业：e会学中的视频课和ppt课件的学习。第三章一阶微分方程的解的存在定理ExistenceTheoremofSolutionsforFirstOrderODEs

3-1解的存在唯一性定理与逐步逼近法

3-2解的延拓和解对初值的连续性和可微性/ExtensionoftheSolutions&ContinuityandDifferentiabilityoftheSolutionstoInitialValues/

3-3奇解第三章一阶微分方程的解的存在定理

解的延拓的引入

解的延拓定理及其推论内容提要/ConstantAbstract/

解对初值的连续性

解对初值的可微性

理解解的延拓方法.本节要求/Requirements/

会应用解的延拓性定理估计解的存在区间.

了解解对初值及参数的连续依赖性定理.

了解解对初值及参数的可微性定理.问题提出：对于初值问题

一、解的延拓的相关概念例如：初值问题.

1、解的延拓的相关概念1)局部利普希兹条件

定义1

设初值问题

2)解的延拓设是初值问题的解，且当时，解是解在区间上的延拓。，则称定义2也是初值问题(1)的解，其中,若3)饱和解

不能再向右、向左延拓，则称为(1)的一个饱和解，饱和解的定义区间称为初值问题(1)的(最大)存在区间。4)延拓方法向右延拓2、解的延拓定理及其推论如果方程(1)右端的函数在有界区域G中连续，且在G内关于y

满足局部利普希兹条件，

延拓，直到点任意接近区域G的边界。以向x

增大的一方的延拓来说，如果只能延拓的区间上，则当时，

趋近于区域G

的边界。Case1有界区域的情形定理1通过G内任何一点的解那么方程(1)可以以向x增大的一方的延拓来说，有下面的两种情况:如果G

是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下,方程(1)的通过点的解可以延拓，(1)解可以延拓到区间(2)解只可以延拓到有限区间，其中m为有限数，则当时，或者无界，或者趋于区域G

的边界。推论1Case2无界区域的情形

例1、讨论方程以及通过点(ln2,-3)的解的存在区间。解：的通过点(0,0)的解方程右端函数在整个xOy平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件。且方程的通解为.(1)通过点(0,0)的解为,其存在区间为.(2)通过点(ln2,-3)的解为，其存在区间为.3、例题-1

1

-3(ln2,-3)

ln2但向左方只能延拓到0,过点(ln2,-3)的解向右可以延拓到.因为当时,.这相当于解的延拓定理推论中(2)的第一种情况。注意：(无界)x

y

o

例2、讨论方程的解的存在区间。满足条件方程右端函数右半平面x>0

上定义且满足解的存在唯一性定理及解的延拓延拓定理的条件。解：通过点(1,0)的解为，其存在区间为。，但向左方只能延拓到0,所以向右可以延拓到因为当时,这相当于解的延拓定理推论中(2)的第二种情况。(趋于G的边界y=0).二、解对初值的连续性和可微性为了研究初值问题的解对初值的连续性和可微性，本节将上述初值问题的解视为自变量及初始时刻、初值的三元函数。1、解对初值的连续依赖性定理的解，它于区间上有定义，那么，对任意定的，必存在正数，使得当是初值问题时，方程满足条件的解在区间也有定义，并且

定理2

解对初值的连续性定理：假设f(x,y)于域G

内连续且关于y满足局部利普希茨条件，则方程的解作为的函数在它的存在范围内是连续的。定理2’(解对初值的连续性定理)2、

解对初值的可微性定理作为的函数在它的存在范围内是连续可微的。定理3证明思路：S1：S2/S3：若函数以及都在区域内连续，则方程的解三、

本节作业

1、线下作业：习题3.2的第2,4题.2、线上作业：e会学学习平台中的视频课、ppt

及讨论等任务.第四章高阶微分方程High-OrderODEs第四章高阶微分方程第1节线性微分方程的一般理论

/GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE/第2节常系数线性微分方程的解法

第3节高阶微分方程的降阶和幂级数解法

理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构

理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构本节要求/Requirements/：2、n阶线性微分方程一般形式：其中是区间上的连续函数。为n阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为n阶非齐次线性微分方程。一、n阶线性微分方程的形式1、n阶微分方程一般形式：当时，称方程二、解的存在唯一性定理定理1则对于任一及任意的方程(4.1)存在唯一上，且满足初始条件：，定义于区间解及都是区间上的连续函数,如果注：解的存在性依赖于连续；而唯一性依赖于初值.三、n阶齐线性方程通解的结构它们的线性组合的解，这里是任意常数。仍是（4.2）定理2

（叠加原理）如果是方程（4.2）的k个解，则1、叠加原理如：方程有解及,易见，和线性组合都是方程的解.208不一定要使为方程（4.2）的通解,还需满足什么条件呢？问题：时，若能否成为方程（4.2）的通解？当是齐线性方程(4.2)的解，则其线性组合不包含解.

如：在上例中及的线性组合相互独立关于的Jacobbi行列式不等于0，即问题的转化：2、Wronskian(朗斯基)行列式定义1：由定义在[a,b]上的k个(k-1)可微的函数所作成的行列式称为函数的Wronskian行列式.问1：若有什么性质？是齐线性方程(4.2)的解，则这n个解作成的W(t)联系：一阶齐次线性微分方程有解问2：上述公式是否可推广到n阶齐次线性微分方程中呢？Liouville（刘维尔）公式：证明：由行列式的求导运算法则，解上述微分方程，得对有注：Louville公式告诉我们，n阶齐次线性微分方程的n个解组成的Wronskian行列式在[a,b]上要么恒为0，要么恒不为0.定理3

设是齐次线性方程(4.2)在上的任意n个解，则对有3、函数组的线性无关和相关定义2在上的函数，如果存在不全为零的常数使得对所有成立恒等式则称该函数组是线性相关的，否则称是线性无关的。如：上线性无关；上线性相关；上线性无关。事实上，要使得则伏朗斯基行列式。则在区间上它们的（4.6）（4.7）证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数使得依次对t微分此恒等式，得到

定理4在区间上线性相关，若函数组的齐次线性代数方程组，这是一个关于它的系数行列式为是系数行列式必须为零，即由高等代数理论知，方程组存在非零解的充要条件证毕4、函数组的线性与其Wronskian行列式之间的关系注：定理4的逆定理不一定是否成立。即例如：函数组在区间上可能线性无关。但该函数组在[a,b]上的伏朗斯基行列式，。函数组故线性无关的。214如果方程(4.2)的解在区间上线性无关，定理5设有某个，使得.考虑关于的齐次线性代数方程组证明(反证法):（4.9）在这个区间的任何点上都不等于零，即则由于其系数行列式，故（4.9）有非零解.

5、方程(4.2)的