几何元素的投影课件

1第三章几何元素的投影21投影法投影中心投影面投影线空间点投影SBAba投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法——投影法。31.2.1中心投影法abcdABCDS特点：投影光线交于一点。4

投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差。投影特性物体位置改变，投影大小也改变。投射线物体投影面投影投射中心51.2.2平行投影法斜投影法ABCDcabd特点：投影光线相互平行。61.2.2平行投影法正投影法ABCDabcd特点：投影光线相互平行且垂直投影面。7投影特性投影：大小与物体和投影面之间的距离无关度量性较好。工程图样多数采用正投影法绘制。斜投影法正投影法8投影法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图9从属性ⅠⅡ1.2.3投影规律10平行性积聚性11真实性类似性121.2.4常用的工程图1.多面正投影图

典型的多面视图的示例--三视图。真实地表达了零件的内外部结构和形状，配以尺寸标注和其它技术要求后，完全满足了机械加工的要求。2.轴测图

它的优点是直观性较好，但度量性差，作图较繁。因此，在工程上常用作插图，以弥补多面正投影图直观性差的缺点。132点的投影2.1点在一个投影面上的投影2.2点在两投影面体系中的投影2.3点在三投影面体系中的投影2.4点的三面投影与直角坐标的关系2.5特殊位置的点2.6两点的相对位置及重影点14Pb

●●AP

过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。B3●B2●B1●

点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。2.1点在一个投影面上的投影a

●15物体的单面视图影投方向结论：利用单面视图无法确定物体的空间形状162.2点在两投影面体系中的投影

投影面正立投影面（简称正面或V面）水平投影面（简称水平面或H面）投影轴

ox轴（简称x轴）V面与H面的交线HVOX两个投影面互相垂直1.两投影面体系的建立172.空间点A在两个投影面上的投影a点A的水平投影a

点A的正面投影●●●XOVHAaa

xa注意：

空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。18VH●●●XOVHAaa

4.点的投影规律:（1）a

a⊥OX轴（2）aax

a

axxa=Aa

（A到V面的距离）=Aa（A到H面的距离）a

a●●aX3.投影面展开省略不画绕X轴向下旋转90º不动19HWV2.3点在三投影面体系中的投影1.三面投影体系的建立正立投影面--V面水平投影面--H面侧立投影面--W面2.投影轴OXZOX轴

V面与H面的交线OZ轴

V面与W面的交线OY轴

H面与W面的交线三个投影面互相垂直Y三面投影体系将空间分为八个分角。203.空间点A在三面投影体系中的投影a点A的水平投影a'点A的正面投影a

点A的侧面投影●●●●XZOVHWAaa

a

xaazayY如：空间点A21HWV●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay绕Z轴向右旋转90º绕X轴向下旋转90º不动4.投影面展开aa●x●●azZaa

yhaywaXYH

YWO

省略不画22●●●●XYZOVHWAaa

a

5.点的投影规律:（1）a

a⊥OX轴（2）aax=

a

ax=xaazay●●YWZaza

XYHayWOaaxayHa

●

a

a

⊥OZ轴=y=Aa

（A到V面的距离）a

az=x=Aa

（A到W面的距离）a

ay=z=Aa

（A到H面的距离）a

aza

ay=23●●a

aax例：已知点A的两个投影a,a

,求第三●a

●●a

aaxazaz解法一:通过作45°线使a

az=aax解法二:用圆规直接量取a

az=aaxa

●ZOXYWYHZOXYHYW投影a"。242.4点的三面投影与直角坐标的关系Aa′a″aaxayazVHWOXYZXa′a″aOaxayazZayYHYWHWxyz(a)(b)xyzy25空间点的重建法(a)坐标法(b)逆投影线法已知点A的坐标或投影，在大脑中进行……262.5特殊位置的点OXb

bc

cC=c

ca

ba

aXOVHA=aB=b

27282.6两点的相对位置及重影点

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：x坐标大的在左

y坐标大的在前z坐标大的在上A点在B点之前、之右、之上。b

aa

a

b

b●●●●●●XYHYWZo1.两点的相对位置29O比较A、B两点的相对坐标△x△xz△z△y△△yA点在B点之右A点在B点之后A点在B点之上30()a

cc

2.重影点

空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。●●●●●a

a

c

被挡住的投影加()A、C为哪个投影面的重影点呢？A、C为H面的重影点ZXYWOYH31()a

bA、B为水平投影面的重影点●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay●●●b

Bb

(b)●b

●●●a

a

b

ZXYWOYH●●32d

(c

)cdCDa(b)a

b

ABa

b

a(b)d

(c

)cdA、B为水平投影面的重影点C、D为正面投影面的重影点33[例题1]

已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。a34[例题2]

已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点A的投影。a

a

a985353直线的投影3.1直线的投影3.2直线对投影面的相对位置3.3一般位置直线的实长及倾角3.4属于直线的点3.5两直线的相对位置3.6直角投影定理363.1直线的投影OO

两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同名投影。37⒈

直线对一个投影面的投影特性3.2直线对投影面的相对位置

BA●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点

积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB

直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影不反映线段实长

ab=AB*cos

AMB●a（m）（b）●●●●●AB●●ab

38⒉直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线

平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面)正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面

其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。39⑴投影面平行线VWHYXZ侧平线水平线正平线40γβXZ″baaabbOYHYW′′″——水平线实长①

在其平行的那个投影面上的投影反映实长,并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。②

另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。投影特性：VHabAaaγβBbbWβγ′′″″ZXYoAB∥Hab=ABa

b

∥OXa

b

∥OYW41——正平线①

在其平行的那个投影面上的投影反映实长,并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。②

另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。投影特性：AB∥Va

b

=ABab∥OXa

b

∥OZZVHabAaaγ

BbbW

γ′′″″oXYγ

XZ″baaabbOYHYW′′″实长42——侧平线VHAaβBbW

aba

bβ′′″″ZoXY①

在其平行的那个投影面上的投影反映实长,并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。②

另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。投影特性：AB∥Wa

b

=ABa

b

∥OZab∥OYH

″bYW″实长YHβXZbaaabO′′43⑵投影面垂直线VWHYXZ铅垂线AB⊥H正垂线AD⊥V侧垂线AC⊥WCDBA44——铅垂线AB⊥

H●a

b

a(b)a

b

ZXYHYW2.另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。1.在其垂直的H投影面上，投影有积聚性。投影特性:45——正垂线AB⊥V2.另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。1.在其垂直的V投影面上，投影有积聚性。投影特性:●a

(c

)acc

a

ZOXYHYW46——侧垂线AB⊥

W2.另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。1.在其垂直的W投影面上，投影有积聚性。投影特性:●a

d

ada

(d

)ZXYHYW47VWHYXZBA⑶一般位置直线48⑶一般位置直线Z

YHaOXabbaYWb

三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。投影特性:

aβγaAb

VBbWa

b

ZXOYH49ZXa

b

aOYHYWa

bb

Bbb

a

b

aAa

(4)从属于某一投影面的直线从属于V面的直线HWV50从属于V投影面的铅垂线ZYWb

Xa

b

a(b)OYHa

HW51从属于OX轴的直线ZXa

b

aOYHYWa

b

bHWV52四、作图1．求直线的实长及对水平投影面的夹角

角2．求直线的实长及对正面投影面的夹角

角3．求直线的实长及对侧面投影面的夹角

角例题13.3一般位置直线的实长及倾角53

|zA-zB

|AB1．求直线的实长及对水平投影面的夹角

角

|zA-zB|

ABab|zA-zB|

AB|zA-zB|abO542．求直线的实长及对正面投影面的夹角

角|yA-yB|a

Xab

ObAB

a

b

|yA-yB|

a

b

AB|yA-yB|AB

|yA-yB|

553．求直线的实长及对侧面投影面的夹角

角ABbb

a

b

aa

|xA-xB||xA-xB|

|xA-xB|56[例题]

已知线段的实长AB，求它的水平投影。a|zA-zB|

abABab|zA-zB|57cAHacaVbBabcCbW′′′″″″XYOZcacXabcYWYHbOaZb′″′′″″若点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上。定比定理从属性定比性3.4属于直线的点点的投影将线段的同面投影分割成与空间线段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=a

c

:c

b

=a

c

:c

b

58cc

[例题1]

已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段，求分点C

的投影c、c

。59[例题2]

已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。cc

cabc60[例题3]

已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影，使BC的实长等于已知长度L。cABzA-zBc

abL61例4：判断点C是否在线段AB上。c

abca

b

●●abca

b

c

●●在不在a

b

●c

●●aa

b

c

bc不在应用定比定理另一判断法?XXZXOYHYW623.5两直线的相对位置

两直线平行

两直线相交空间两直线的相对位置分为：

平行、相交、交叉（异面）

两直线交叉63⒈两直线平行bcdHAd

aCcVaDbB

acdbc

dabOX

OX1．若空间两直线相互平行，则它们的同面投影必然相互平行。反之，如果两直线的各个同面投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。反之亦然。

2．平行两线段之比等于其投影之比。64例：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两组同面投影互相平行，空间两直线就平行。AB与CD平行。AB与CD不平行。

对于特殊位置直线，只有两组同面投影互相平行，空间直线不一定平行。a

b

c

d

b

d

c

a

dZO(1)abcc

a

b

d

XYHYWZcbadd

b

a

c

(2)XOYHYW65⒉两直线相交

若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。反之亦然。a

c

VXb

HDacdkCAk

Kd

bOBcabd

b

a

c

d

kk

X66●cd

k

kd例6：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影a●bb

a

c

X67例7：判断直线AB、CD的相对位置。′c′′a′bdabcd相交吗？不相交！为什么？

交点不符合空间一点的投影特性。判断方法？⒈应用定比原理⒉利用侧面投影X68′c′′a′bdabcdX解法一：（应用定比定理）解法二：（应用侧面投影）′c′′a′bdabcd●●a

b

d

c

69⒊两直线交叉为什么？两直线相交吗？不相交！

交点不符合点的投影规律！cacabddbOX′′′′accAaCVbHddDBb′′′′X凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线70accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′′′1(2)●2●′1●′投影特性：

同面投影可能相交，但“交点”不符合空间一点的投影规律。

“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。211(2)ⅡⅠ′′●●●●●′′Ⅳ43

(4)3Ⅲ●●●●●●3(4)34●●′′71[例题8]

判断两直线的相对位置d

a

c

b

oYWYHz交叉两直线72[例题9]

判断两直线的相对位置1

1

d

c

1

1交叉两直线73[例题10]

判断两直线重影点的可见性3

(4

)341

2

1(2)743.6直角投影定理753.6.1垂直相交的两直线的投影cOXb

a

c

baAB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab

ac76AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab

ac3.6.2交叉垂直的两直线的投影77[例题11]过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V

面。bb

78f[例题12]

过点E作线段AB、CD的公垂线EF。f

e

e79b

[例题13]

作三角形ABC，

ABC为直角，使BC在

MN上，且BC

AB

=2

3。bcABa

b

|yA-yB|b

c

=BCc

a

a804平面的投影4.1平面的表示法4.2平面对投影面的相对位置4.3属于平面上的点和直线814.1平面的表示法不在同一直线上的三个点直线及线外一点abca

b

c

●●●●●●d●d

●两平行直线abca

b

c

●●●●●●两相交直线平面图形c

●●●abca

b

●●●c●●●●●●aba

b

c

b●●●●●●aca

b

c

XXXXX4.1.1平面的几何元素表示法82PPVPHPVPHQVQHQHQVQ4.1.2平面的迹线表示法831.

平面对一个投影面的投影特性84⒉平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜

正垂面

侧垂面

铅垂面

正平面

侧平面

水平面85侧垂面①投影面垂直面VWHYXZ正垂面铅垂面86c

c

铅垂面abca

b

b

a

积聚性铅垂面γβ投影特性：

在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。即：水平投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。Z类似性类似性XOYHYW87

PHPPH铅垂面的迹线表示ABCacba'b'a"b"ba

b"cc"c'

PHa'b'a"b"ba

b"cc"c'88c

c

正垂面abca

b

b

a

积聚性正垂面γ

投影特性：

在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。及：正面投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。Z类似性XOYHYW类似性89QQVαγQV正垂面的迹线表示Ac

Ca

b

B90c

c

侧垂面abca

b

b

a

积聚性侧垂面

β投影特性：

在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。及：侧面投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。Z类似性类似性XOYHYW91侧垂面的迹线表示VWSwSZXOYSwYαβCa"b"ABc"92XYZHVW侧平面正平面水平面②投影面平行面93积聚性积聚性实形性水平面投影特性：它在水平投影面上的投影反映实形。

另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。a

b

c

a

b

c

abcZXOYHYW94积聚性积聚性实形性正平面投影特性：它在正面投影面上的投影反映实形。

另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。a

b

c

a

b

c

abcZXOYHYW95积聚性积聚性侧平面投影特性：它在侧面投影面上的投影反映实形。

另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。a

b

c

a

b

c

abcZXOYHYW实形性96XYZHVW

一般位置平面三个投影都为类似形。投影特性：a

b

c

a

c

b

abcZXOYHYW平面与三个投影面都倾斜。97a

c

b

c

a

●abcb

例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面投影。思考：此题有几个解？45°ZXOYHYW984.3属于平面的点和直线4.3.1

属于一般位置平面的点和直线4.3.2

属于特殊位置平面的点和直线4.3.3

属于平面的投影面平行线4.3.4

属于平面的最大斜度线*994.3.1属于一般位置平面的点和直线1．平面上的直线直线在平面上的几何条件是：①通过平面上的两点；②通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。2．平面上的点点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。

例题1例题2例题31001．取属于平面的直线

取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。EDFd'de'eff'101位于平面上的直线应满足的条件：平面上取任意直线●●MNAB●M若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。PQ102abcb

c

a

d

d例：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一：解法二：有多少解？有无数解！n

●m

●n●m●abcb

c

a

XX1032．取属于平面的点

取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线EDd'de'e104平面上取点

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。baca

k

b

●c

面上取点的方法：d

d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解首先面上取线k●●abca

b

k

c

k●XX105[例题1]

已知

ABC给定一平面，试判断点D是

否属于该平面。d'dee'106[例题2]

已知点D在

ABC上,试求点D的水平投影。dd'107[例题3]已知点E在

ABC上,试求点E的正面投影。ee'1084.3.2属于特殊位置平面的点和直线1．取属于投影面垂直面的点和直线

2．过一般位置直线总可作投影面的垂直面

(1)几何元素表示法

(2)迹线表示法

3．过特殊位置直线作平面

(1)过正垂线作平面

(2)过正平线作平面109bb

1．取属于投影面垂直面的点和直线aa

eff

e

110abb

a

Sb

a

abAB2．过一般位置直线总可作投影面的垂直面过一般位置直线AB作铅垂面PH过一般位置直线AB作正垂面SVPPHSVAB111m'n(n')(m)(1)过一般位置直线作投影面的垂直面

(几何元素表示法)112(2)过一般位置直线作投影面的垂直面

(迹线表示法)b"a"SVQWPH113①过正垂线作平面(迹线表示法)PVSVQVRV（a）给题（c）作侧垂面（b）作水平面（d）作正垂面（有无穷多个）114②过正平线作平面PHSHg

g（a）给题（c）作正垂面（b）作正平面（d）作一般位置平面（有无穷多个）1154.3.3属于平面的投影面平行线

属于平面的水平线和正平线

例题4例题5例题6例题7116P属于平面的水平线和正平线PVPH117例：在平面ABC内作一条水平线，使其到

H面的距离为10mm。n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！有多少解？118[例题4]

已知

ABC给定一平面，试过点C作属于该平

面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。m

n'nm119[例题5]

已知点E

在

ABC平面上，且点E距离H面15，

距离V面10，试求点E的投影。mnm'n'rsr's'1015e'e120ded

e

1010m

●m●[例题6]在△ABC内取一点M，并使其到H面V面的距离均为10mm。bcXb

c

aa

O121bckada

d

b

c

k

b[例题7]已知AC为正平线，补全平行四边形

ABCD的水平投影。解法一：解法二：cada

d

b

c

XX1224.3.4属于平面的最大斜度线*1．平面上的投影面最大斜度线—平面上对某个投影面倾角最大的直线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。2．平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面的平行线相互垂直。3．平面上的投影面最大斜度线有三组，即分别对正面投影面、水平投影面及侧面投影面三组最大斜度线。（1）平面上对水平投影面的最大斜度线（2）平面上对正面投影面的最大斜度线（3）平面上对侧面投影面的最大斜度线

例题8例题9例题10例题11123PCD

aE1

S

AE1241.平面上对水平投影面H的最大斜度线

EF

AB平行于

H，

EF垂直于

ABPEFBA1252.平面上对正面投影面V的最大斜度线

CD

AB平行于V，CD垂直于

ABPBACD1263.平面上对侧面投影面W的最大斜度线

MN

AB

平行于W，MN垂直于ABPBAMN127[例题8]

求作

ABC平面上对水平面的最大斜度线BE

。bd'de'e128[例题9]求

ABC平面与水平投影面的夹角

。be

BE129ab[例题10]

过正平线作平面与水平投影面成60°。60°bbb'a'aabAB130[例题11]

已知直线EF为平面对H面的最大斜度线，试作出该平面。aa

给题5直线与平面及两平面的相对位置5.1平行问题

5.2相交问题5.3垂直问题5.4综合问题分析及解法基本要求（一）平行问题

1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；

2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。（二）相交问题

1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。

2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。

3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。（三）垂直问题

掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。（四）点、线、面综合题

1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法；

2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。

直线与平面平行

两平面平行5.1平行问题⒈

直线与平面平行bBaAP若：AB∥ab则：AB∥P

若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。几何条件：

有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。fg

f

g结论：直线AB不平行于定平面[例1]

试判断直线AB是否平行于定平面n

●●a

c

b

m

abcmn[例2]过M点作直线MN平行于平面ABC。有无数解d

dX正平线[例3]过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。唯一解c

●●b

a

m

abcmnn

d

dXb

a

af

fb[例4]

试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面直线与特殊位置平面平行

当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面必定平行。⒉

两平面平行

若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。

判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。几何条件：

两平面平行的作图问题有：两平面平行①若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。ⅠⅡⅢAB∥ⅠⅡ；AC∥ⅠⅢ；

则：P∥Q②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。两特殊位置平面平行c

f

b

d

e

a

abcdefXf

g

abcdefga

b

c

d

e

X两特殊位置平面平行两一般位置平面平行acebb

a

d

dfc

f

e

khk

h

OXm

m由于ek不平行于ac,故两平面不平行。[例1]

判断平面ABDC与平面EFHM是否平行，

已知AB∥CD∥EF∥MH[例2]

试判断两平面是否平行m

n

mnr

rss

结论：两平面平行em

n

mnf

e

fsr

s

rk

k[例3]

已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。[例4]

试判断两平面是否平行。结论：因为PH平行SH，所以两平面平行

直线与平面相交

两平面相交5.2相交问题

直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。1.

直线与平面相交要讨论的问题：(1)求直线与平面的交点。

(2)判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

我们将分别讨论直线与平面至少有一个处于特殊位置的情况和一般情况。●●2.

两平面相交

两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：①

求两平面的交线方法：⑴确定两平面的两个共有点。⑵确定一个共有点及交线的方向。

②

判别两平面之间的相互遮挡关系，即：

判别可见性。5.2.1特殊位置线面相交直线与特殊位置平面相交判断直线的可见性特殊位置直线与一般位置平面相交1.直线与特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。b

ba

acc

m

mnn

k

k2.判断直线的可见性特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。kb

ba

acc

m

mn

nk

例1求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析:

平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①

求交点②

判别可见性

由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

为可见。

还可通过重影点判别可见性。⑴

平面为特殊位置abcmnc

n

b

a

m

k

●k●1

(2

)2●1●●Xkm(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵

直线为特殊位置空间及投影分析:

直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①

求交点②

判别可见性

点Ⅰ位于平面上，在前，点Ⅱ位于MN上，在后，故k

1

为不可见。k

●2●1●●1

(2

)X()k21k'2'1'例2求铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点并判别

其可见性。5.2.2一般位置平面与特殊位置

平面相交

求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题，由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。

1.求交线

2.判断平面的可见性1.求交线MmnlacbPPHABCFKNLkfnlmm

l

n

bacc

a

b

fkf

k

2.判断平面的可见性2.判断平面的可见性abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)●例3求两平面的交线

MN并判别可见性。⑴空间及投影分析：①

求交线②

判别可见性

从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。m●n●

平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。

还可通过重影点判别可见性abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′⑵m●n●n′●m′●空间及投影分析：

平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m、n即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。①

求交线②

判别可见性

点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故m

c

可见。作图X211'(2')c

d

e

f

a

b

abcdef⑶投影分析

N点的水平投影n位于Δdef

的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。

所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。m●k●k

●m

●n'n5.2.3直线与一般位置平面相交以正垂面为辅助平面求线面交点示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点示意图判别可见性示意图1

2

QV21kk

步骤：1．过EF作正垂平面Q。2．求Q平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3．求交线ⅠⅡ与EF的交点K。示意图以正垂面为辅助平面求直线EF与ΔABC平面的交点ABCQ过EF作正垂面QEF以正垂面为辅助平面求线面交点示意图ⅠⅡ12PH1

步骤：1．过EF作铅垂平面P。2．求P平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3．求交线ⅠⅡ与EF的交点K。k

k2

示意图以铅垂面为辅助平面求直线EF与ΔABC平面的交点过EF作铅垂面P以铅垂面为辅助平面求线面交点示意图FCABPEFKEⅠⅡf

e

e直线EF与平面

ABC相交，判别可见性。利用重影点判别可见性124

3

（

）kk

34示意图(

)2

1

ⅠⅡⅢ1

(2

)(4)3利用重影点判别可见性Ⅳ直线EF与平面

ABC相交，判别可见性。示意图5.2.4两一般位置平面相交

求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。两一般位置平面相交求交线判别可见性两一般位置平面相交，求交线步骤：1．用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。ll

nmm

n

PVQV1

2

21k

kee2．连接两个共有点，画出交线KE。示意图例4求两平面的交线两一般位置平面相交求交线的方法示意图

利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。MBCAFKNL利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性3

4

()34

21()1

2

5.2.5综合性问题解法试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交。综合性问题解法

综合性问题解法

综合性问题解法

例5

过已知点K作平面P平行于

ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。FPEKH分析m

n

h

hnmPV1

12

21．过点K作平面KMN//

ABC平面。2．求直线EF与平面KMN的交点H。3．连接KH，KH即为所求。作图

直线与平面垂直

两平面互相垂直5.3垂直问题5.3.1直线与平面垂直VHPAKLDCBE几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKLDCBEHa

ad

c

b

dcbe

eknk

n

XO定理2：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线（逆）的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。a

cac

n

nkf

d

b

dbfk

VPAKLDCBEHXOa

cac

nn

mf

d

b

dbfm

例6

平面由

BDF给定，试过定点M作平面的垂线。h

hh

hh

hkk

SVk

kPVk

kQH例7

试过定点K作特殊位置平面的法线。e

f

em

nmn

c

a

ad

b

cdbfXO例8

平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN

是否垂直于定平面。例9

试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60°，与H面的夹角为45°。n

nXO平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为余角。HPAKFDCBEf

分析

直径任取NM|yM-yN||zM-zN|m

h

mnmk|zM-zN||yM-yN|30°45°mnm

n

k

hn

nXO作图过程几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。PAB5.3.2两平面垂直

反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。ABⅠⅡ两平面垂直两平面不垂直ⅡⅠABg

ha

cac

h

kk

f

d

b

dbfgXO例10

平面由

BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面g

h

a

chac

kk

b

bgf

fd

d结论：两平面不垂直XO例11

试判断

ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面

是否垂直。

5.4.1空间几何元素定位问题

5.4.2空间几何元素度量问题5.4综合问题分析及解法

5.4.3综合问题解题举例求解综合问题主要包括：

平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。综合问题解题的一般步骤：

1.分析题意

2.明确所求结果，找出解题方法

3.拟定解题步骤空间几何元素的定位问题（交点、交线）空间几何元素的度量问题（如距离、角度）。5.4.1空间几何元素定位问题