上海复兴中学2026-2027学年高三上学期数学10月月考试卷(含答案)

复兴中学2026-2027学年第一学期高三年级数学月考2026.10一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1－6题每题4分，第7—12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果．1.若集合，，则______．2.设，不等式的解集为______．3.设，其中为虚数单位，则的虚部为______．4.在的二项展开式中，项的系数为______（结果用数值表示）．5.已知，则的最小值为______．6.已知为等差数列的前项和，若，若，则______．7.已知，则______．8.在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则______．9.若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则的取值范围是______．10.设正方体的棱长为2，为正方体表面上一点，且点到直线的距离与它到平面的距离相等，记动点的轨迹为曲线，则曲线的周长是______．11.定义域为集合上的函数满足：①；②；③、、成等比数列；这样的不同函数的个数为______．12.在平面中，非零向量满足，，则的最大值为______．二、选择题（本大题共有4题，满分18分）本大题共有4题，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑．13.若、、为实数，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则14.已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则15.已知奇函数的定义域为，若，则可以是（）A.4 B.2 C.1 D.16.设为非空集合，函数的定义域为，若存在使得对任意的均有，则称函数具有性质．给出以下两个命题，则下列选项中正确的是（）①若且恒成立，则函数具有性质；②若且，则“”是“函数具有性质”的必要非充分条件．A.①②都正确 B.①正确②错误 C.①错误②正确 D.①②都错误三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的大小．18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知平面向量，其中．（1）当时，求的值；（2）设，求函数的值域．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数．（1）若存在极小值，且极小值为0，求实数的值；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知抛物线，焦点为．（1）若抛物线上一点到轴的距离是其到焦点距离的一半，求的长度；（2）已知、为上两点，且．求面积的最小值；（3）抛物线的准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于、两点（点在点、之间），点满足．记、的面积分别为、，求的最小值．21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数的定义域为，对于任意给定的正实数，分别记和为在区间上的最大值和最小值．（1）设，求和；（2）设，若在区间上恰好存在2026个不同的实数、、…、，使得，求实数的取值范围；（3）设，求证：“函数是上的严格增函数”的充要条件是“函数是上的严格增函数”．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11.定义域为集合上的函数满足：①；②；③、、成等比数列；这样的不同函数的个数为______．【答案】【解析】经分析，的取值的最大值为，最小值为，并且成以2为公差的等差数列，故的取值为.的取值为，所以能使中的成等比数列时，的取值只有两种情况：，即得到后项时，把前项加1或者把前项减1．

（1）当时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从变化到，第二步：从变化的．

从变化到时有5次变化，函数值从1变化到2，故应从5次中选择3步加1，剩余的两次减1．对应的方法数为种.

从变化到时有6次变化，函数值从2变化到4，故应从6次变化中选择4次增加1，剩余两次减少1，对应的方法数为种.

根据分步乘法原理，共有种方法.

（2）当时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从变化到，第二步：从变化的

从变化到时有5次变化，函数值从1变化到-2，故应从5次中选择1步加1，剩余的4次减1．对应的方法数为种.

从变化到时有6次变化，函数值从-2变化到4，故应从6次变化中选择6次增加1，对应的方法数为种.

根据分步乘法原理，共有种方法.综上，满足条件的共有：种.故答案为155．二、选择题13.B14.B15.C16.C15.已知奇函数的定义域为，若，则可以是（）A.4 B.2 C.1 D.【答案】C【解析】已知是定义在上的奇函数，所以，且，将代入①中，得，因为，所以，即，将代入①中，得，由于是奇函数，因此，这与上面得出的相符，将代入①中，设，则，所以，将代入①中，，所以，把代入上式，得到，所以，若，由②得，与矛盾，排除；若，由②得，与矛盾，排除；若，由②得，与没有冲突，且满足奇函数性质，

若，由②得，与②矛盾，排除.

综上可知，的值只能是1.故选：三、解答题17.（1）证明略（2）18.（1）（2）19.（1）（2）20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知抛物线，焦点为．（1）若抛物线上一点到轴的距离是其到焦点距离的一半，求的长度；（2）已知、为上两点，且．求面积的最小值；（3）抛物线的准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于、两点（点在点、之间），点满足．记、的面积分别为、，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）抛物线的焦点为.设点.点到轴的距离为，由题意得，解得.所以（2）设.直线要考虑斜率存在和不存在这两种情况

当直线或斜率不存在时，不妨设的方程为，得因为，则所在的方程为，得.面积.当直线的斜率均存在且不为0时，

求得

由得，展开整理得面积，代入化简得.令，由，解得得

令面积函数，在上单调递增，最小值为.在上最小值大于

比较可得，面积的最小值为

（3）准线方程为，故.若直线斜率不存在方程为，无交点.设直线的方程为.联立方程得得.设，则.不妨设由点在点之间得，故因为长为2且在轴上，得由知三点共线，点到直线的距离为点到直线距离的3倍，所以，

令函数，求导得

令得.时，单调递减；时，单调递增.

所以当时，取得最小值故的最小值为21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数的定义域为，对于任意给定的正实数，分别记和为在区间上的最大值和最小值．（1）设，求和；（2）设，若在区间上恰好存在2026个不同的实数、、…、，使得，求实数的取值范围；（3）设，求证：“函数是上的严格增函数”的充要条件是“函数是上的严格增函数”．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】（1），令，解得舍去）.，故.

（2）当时，