专项02 三角形综合能力提升训练（解析版）

专项02三角形综合能力提升训练

一.选择题（共17小题）

1.某零件的形状如图所示，按照要求N8=20°,ZBCD=110°,ZD=30,那么NA

【答案】B

【解答】解：延长。C交A8于E,

•:NBCD=NB+/CER,ZBCD=\\0°,ZB=20°,

AZCEB=110°-20°=90°,

•・・NCE8=NA+N。，ZD=30°,

AZA=90°-30°=60°,

故选：B,

2.如图，在△A8C中，NAC/3=8（）°,点。在A8上，将△ABC沿CO折叠,点B落在边

AC的点E处.若NAOE=24°,则NA的度数为（）

C.38°D.48°

【答案】C

【解答】解：•••N4OE=24°,

AZBDE=1800-ZADE=\56°,

•・•将△A8C沿C。折叠，点8落在边AC的点E处，

：,ZBCD=ZACD,ZBDC=ZEDC=1ZBDE=^X156°=78°，

VZACB=80°,

・・・NACO=N8CO=/NACB=4(T,

AZA=180°-ZACD-AADE-ZCDE=180°-40°-78°-24°=38°,

故选：C.

3.如图，BP平分/ABC交C£＞于点尸，OP平分/AQC交人8于点E,若NA=45°,ZP

C.40°D.45°

【答案】B

【解答】解：VZA+ZADG+ZAGD=\S00,ZABC+ZC+ZBGC=180°,

：.ZA+ZADG+ZAGD=ZABC+ZC+ZBGC.

又：NAGD=NBGC,

，ZA+^ADG=NC+/GBC.

，NA-ZC=/GBC-NADG.

同理可得，ZA+ZADE=ZP+ZPBE.

NA・NP=ZPBE-ZADE.

YBP平分NASC交CD丁点F,DP平分ZAOC交AB丁点E,

:.NGBC=2NPBE,ZADG=2ZADE.

：.ZA-ZC=2(NA-ZP).

/.4+NC=2NP.

又・.・乙4=45°,/尸=40°,

AZC=35°.

故选：B.

4.如图，已知A8〃OC,RtZ\FEG直角顶点在C。上，已知N尸EC=35°,则NG”8=()

【答案】C

【解答】解：•・•/户EG=90°,

：,ZGED+ZCEF=W,

VZCEF=35°,

•••NGED=55°,

*：AB//CD,

：,ZGHB=ZGED=55C,.

故选：C.

5.如图，△ABC中，C。平分NACB,点M在线段CO上，且MALLC。交R4的延长线于

点N.若/8=30°,NCAN=96：则/N的度数为()

A.22°B.27°C.30°D,37°

【答案】B

【解答】解：如图所示，NNAC是三角形A3C的一个外角，

：,ZNAC=ZB+ZACB,即NAC3=NM4C-Na

丁。平分NAC8,

ZACD=ZDCI3=-ZACB,

2

VZB=30°,NCAN=96°,

.\Z/\CD=AZ/4CB=A(96°-30°)=33°,

22

AZ(72=Z4-Z2

=21°+2■/人AC-工/ABC

22」

=21°

.*.ZOi+ZO2=lll°+21°=132°.

故选：Q.

7.如图，ZAOB=60a，点A/、N分别在OA、OS上运动（不与点O重合），ME平分/

AMN,ME的反向延长线与NMN。的平分线交于点尸，在M、N的运动过程中，/r的

度数（）

B.变小C.等于45°D.等于30°

【答案】D

【解答】解：:NAMN是△OMN的外角,

/./AMN=NO+NONM,

•:/EMN是△FMN的外角,

:./EMN=/F+/FNM,

'：ME平分/AMN,F/V平分NMNO,

:./AMN=2/EMN,/ONM=2/FNM,

AZO=2ZF,

AZF=30o.

故选：。.

8.如图，BE、C/都是△ABC的角平分线，且N8OC=115°,则NA=（）

A.50°B.45°C.65°D,70°

【答案】A

【解答】解：•：BE、C尸都是△4BC的角平分线,

/.Z£/?C=-izA/^C,N8CF=2/ACB.

22

VZEBC+ZFCB+ZBDC=180°,ZBDC=\\5°,

；・NEBC+NFCB=65°.

/.ZABC+ZACB=130°.

•・・NA8C+NAC8+NA=180°,

ZA=5（）C.

故选：A.

9.如图，在△人BC中，/V）是BC边上的高，AEf8尸分别是NB4C,NABC的平分线.Z

BAC=50°,N4BC=60°.则NOAE+NACD等于（）

【答案】A

【解答】解：:A。是3c边上的高，NA8C=60°,

AZBAD=30°,

・.・/BAC=50°,AE立分/BAC,

••・NB4E=25°,

：.ZDAE=30°-25°=5°,

•••△ABC中,NC=1800-ZABC-ZBAC=10a,

：,ZEAD+ZACD=5a+70°=75°.

故选：A.

10.如图，在△ABC中，设/A=x°,NABC与/ACD的平分线交于点4,得N4；ZAiBC

与NAiCO的平分线相交于点A2,得NA2：…：NA20218C与NA2021c。的平分线相交于

点A2O22,得NA2022,则NA2022是()度.

BCD

【答案】C

【解答】解：•••NACO是△人8C三角形的外角，N4CO是△A/C的外角，

AZA=ZACD~/ABC,N4=NAC。-ZA\BC,

,：BM和C41分别是NA/?C和/AC。的角平分线，

/.ZA\BC=^ZABC,NAiCO=2NAC£),

22

ZAi=AZACD-1Z/ABC=AZA=AV0,

2222

同理可得，ZA2="z?ii=-i-xA,v3,ZA3=AZA2=AXAxA.vc,•••,

2222222

:.ZA2022=X0,

故选：c.

11.如图，在△ABC中，ZC=90u,ZB=70u，点D、E分别在AS、AC上，将AAOE

沿。E折叠，使点A落在点尸处.则N8O“-NCEF=()

【答案】C

【解答】解：VZA+ZB+ZC=180°,ZC=90°,Z5=70°,

/.ZA=20°.

•••△OE/是由△OEA折叠成的，

AZ1=Z2,/3=/DEF.

VZBDF+Z1+Z2=18O°,

.*.ZfiDF=l80°-2/1.

•：NCEF+NCED=NDEF=N3,NC石。=/l+NA,N3+N1+N4=180°,

；・N3=180°-N1-/A.

・・・NCEf=N3-ZCE£>.

=180°-Z1-ZA-Z1-ZA

=180°-2N1-2NA

=140°-2ZI.

AZBDF-ZC£F=180°-2Z1-(1400-2Z1)

=180°-2Z1-1400+2Z1

=40。.

,NB=70：C。是N4CB的平分线，于点从

则NOC”的度数是（）

B.10°C.15°D.20°

【答案】A

【解答】解：在△ABC中,

VZA=60°,ZB=70°,

AZACB=1800-ZA-ZB=5()°.

•••CO是NAC3的平分线,

AZACD=-^ZACB=25°.

2

•.•C”_LA4于点H,

••・NC〃8=90°.

：.ZACH=ZCHB-ZA=30°.

；・/DCH=ZACH-ZACD

=30。-25°

=5

故选：A.

13.如图，在RtZ\48C中，ZACB=90°,ZA=30°，点。是AC上一点，将△A3。沿线

段3。翻折，使得点A落在W处，若NH8C=3(T,则NC8O=()

C.15°D.20°

【答案】C

【解答】解：•••/AC6=9(T,ZA=30°

AZABC=1800-ZACB-ZA=60°,

由折者性质得：NABD=NA，BD.

：.ZABC-NCBD=NA'BC+NCBD,

.*.600-ZCBD=30°+NCBD,

解得：ZCBD=\5°.

故选：C.

14.如图，图①是四边形纸条A8CO,其中A8〃CD,E,尸分别为48、CO上的两个点,

将纸条ABCD沿EF折叠得到图②,再将图②沿£＞尸折叠得到图③，若在图③中，NFEM

【答案】C

【解答】解：如图②，由折叠得：/B'EF=NFEM=24°,

ABr

D

\C

图②

B

'：AE//DF,

/.ZEFM=24°,NBMF=NDME=48°,

*：BM〃CF,

：.ZCFM+ZBMF=\^)Q,

AZCFM=180°-48°=132°,

由折叠得：如图③，NM/C=I32°,

国③

：・NEFC=NMFC-4EFM=132°-24°=108°,

故选：C.

15.如图，在△ABC中，E为8c延长线上一点，N48C与NACE的平分线相交于点。，Z

0=15°,则NA的度数为（）

【答案】A

【解答】解：・・・NABC的平分线与4CE的平分线交于点。,

NABD=NCBD,ZACD=/ECD,

•・•ZACE=ZA+ZABC,

即NACD+NEC'D=NA8D+NC8D+NA,

：.2ZECD=2ZCBD+/A,

・・・NA=2(NEC。-NCBD),

•：NECD=NCBD+ND,ZD=15°,

：・ND=NECD-NCBD=15°,

：,ZA=2X15°=30°.

故选：A.

16.如图，点。在△ABC内，且N8OC=120°,Zl+Z2=55°，则NA的度数为（）

A.50°B.60°C.65°D.75°

【答案】C

【解答】解：・・・/。=120°,

：.ZDBC+ZDCB=W,

VZ1+Z2=55°,

・・・NAEC+/AC8=60°+55°=115°,

/.ZA=180°-115°=65°,

故选：C.

17.如图，/AB。，NACO的角平分线交于点P,若NA=50°ZD=10°,则NP的度

数为()

D.30°

【答案】B

【解答】解：延长。C与AB交于点、E.

•・・NACD是△8（?£：的外角，NA=50°,

AZACD=Z/4+ZAEC=50°+ZAEC.

■:NAEC是△BDE的外角，

AZAEC=ZABD+ZD=ZABD+\O°,

AZACD=50°+NA£C=50°+ZABD+\Oa,

整理得NACO-NA8O=60".

设AC与8P相交于O,则ZAOB=NPOC,

：.NP+2/ACO=NA+2NA8。，

22

即/P=50°-A(ZACD-ZABD)=20°.

2

故选：6.

18.如图，将△ABC纸片沿。£折叠，使点A落在点H处，且A8平分NA8C,AC平分/

ACB,若NZMC=120°,则N1+/2的度数为.

【答案］120。

【解答】解：如图，连接AW,

••・A为平分NA8C,A'C平分NACB,

22

NBAS120°，

・・・NA8C+NAC8=18。。-120°=60°,

••・NA8C+NACB=I2O°，

AZBAC=180°-120°=60°,

•・•沿折置，

：,ZDAA'=ZDA'A,ZEAA'=ZEA'A,

VZ1=ZDAA'+ZDA'A=2ZDAA',Z2=ZEAA'+ZEA'A=2ZEAA',

，N1+N2=2NO"+2NE4A=2NR4c=2X60°=120°,

故答案为：120°.

19.如图，BP是△ABC中NA8C的平分线，CP是NAC8的外角的平分线，如果/48尸=

20",ZACP=50u,则NP=u.

【答案】30

【解答】解：是△ABC中/ABC的平分线，C尸是N4CB的外角的平分线，

••・NA8P=NC8P=2（r,ZACP=ZMCP=50°,

•••/PCM是△8CP的外角，

：.ZP=ZPCM-ZCBP=50°-20°=30°,

故答案为：30°.

20.在△A8C中，ZA13C,NAC4的平分线交于点O,N4C4的外角平分线所在直线与N

A8C的平分线相交于点。，与NA8C的外角平分线相交于点£则下列结论一定正确的

是.（填写所有正确结论的序号）

①NBOC=90。口NA；②ND=^NA；③/E=NA；®ZE+ZDCF=90°+NABO.

22

A

，D

E

【答案】①②④

【解答】解：・・・NABC,NAC8的平分线交于点0,

ZAI3D=Z0BC=^ZABC,ZOCB=ZACO=^^ACB,

22

/.Z0BC+Z0CB=l(ZABC+ZACB)，

2

VZA+ZABC+ZACB=\SOU,

AZABC+ZACB=\^a-NA,

•.•NBOC+NO8C+NOC8=l80°,

AZB0C=1800-QOBC+/OCB)=180"-Ax(1800-NA)=90°+2NA,故

22

①正确，

,・S平分NACK

，NDCF=LNACF,

2

VZACF=ZABC+ZA,NDCF=NOBC+ND,

AZD=-ZA,故②正确；

2

•••/MBC=N4+NACB,NBCN=NA+NABC,/4CB+NA+/ABC=180°,

；・NMBC+NBCN=NA+NACB+NA+NA8C=180°+NA,

〈BE平分/MBC,CE平分乙BCN,

：,ZMBC=2ZEBC,NBCN=2NBCE,

AZEBC+ZBC£=90°+2/A,

2

VZE+ZEBC++BCE=\SOa,

••・/E=180°-（.ZEBC++BCE）=180°-（90°+1ZA）=90°-2/4,故③错误；

22

•：/DCF=NDBC+/D,

••・/E+NOb=90°-AZA+ZDBC+AZA=90°+/DBC,

22

•・•NABD=NDBC,

・・・NE+NOb=90°+ZABD.故④正确，

综上正确的有：①②④.

21.用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以

得到如图2所示的正五边形/WCO£图中，Z/MC=度.

【答案】36

【解答】解：♦NA6C=..（5-2）X180二=］（）8。,是等腰三角形，

5

・・・NB4C=NBCA=36度.

22.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则

第〃个图形需要黑色棋子的个数是_______.

第1个圆形第2个图形

［答案］层+2〃

【解答】解：第一个是1X3,

第二个是2X4,

第三个是3X5,

第〃个是〃•（n+2）=n2+2n

故答案为:M+2〃.

三.解答题（共8小题）

23.如图所示，。是△ABC边8C的中点，E是AD上一点，满足AE=8D=QC,FA=FE.求

NADC的度数.

A

B

【解答】解：延长AQ至G,使AD=OG,连接4G,在QG上截取。〃=OC,

在△AOC和△GOB中，，

•••△AOCdGOB(SAS),

：.AC=BG,/G=/CAD,

,:FA=FE、

：,ZCAD=ZAEF,

・•・ZG=ZCAD=ZAEF=/BED,

:.BG=BE=AC,

•:AE=DC=BD,

：.AE+ED=DH+ED,

：.AD=EH,

在△D4C和中，

9

:.丛DAC@4HEB(SAS),

；・CD=BH,

:・BD=BH=DH,

・•・△BQ”为等边三角形，

AZC=ZBDH=60o=AADC.

故答案为：60°.

24.在△ABC中，AE平分N8AC,ZOZB.

AA

图1图2

(1)课本原题再现：如图1,若ADLBC于点D,ZABC=4(Y,ZACB=6(Y,求/

E人。的度数.(写出解答过程)

(2)如图I,根据(1)的解答过程，猜想并写出/B、NC、/£4。之间的数量关系.

(3)小明继续探究，如图2在线段4E上任取一点P,过点P作P£>_L8C于点。，请尝

试写出N8、NC、NEPO之间的数量关系，并说明理由.

【解答】(1)先求出/B4C,根据角平分线定义求出NCAE,根据三角形内角和定理求

出NC4。，代入ND4E=NCAE-NC4。求出即可；

(2)先利用三角形的内角和及角平分线的定义求得NC4£=90°-1(ZABC+ZACB),

2

再根据直角三角形的性质可得NC4O=90°-ZACB,然后由NEAO=NC4E-NC4O

代入计算可求解；

(3)过A作AG_L8C于G,由三角形的内角和定理及角平分线的定义可求得/EAC=2

2

90°・2ZA6C・2ZAC6,再根据直角三角形的性质可得ZGAC=90°・NAC6,进而

22

可求解.

25.如图，在△A8C中，点D是8c边上的一点，N8=50°,ZBAD=3()°,将沿

AD折叠得到△/1£/),AE与BC交于点F.

(1)求乙4尸。的度数：

(2)求NE。尸的度数.

【解答】解：（1）••.△AB。沿4D折叠得到△AEQ,

/.ZBAD=/DAF,

VZB=50°，NBAD=30°,

AZAFC=ZB+ZBAD+ZDAF=110°；

(2)•・・N8=50°,ZBAD=30°,

・・・NAO8=180°-50°-30°=100°,

ZADC=50°+30°=80°,

△A3。沿AD折叠得到△4EO,

AZADE=ZAD«=100°,

・•・/EDF=NADE-ZADC

=100°-80°=20°.

26.如图，将长方形纸片ABC。（四个内角均为直角，两组对边分别平行）沿EF折叠后,

点C、。分别落在点M、N的位置，£N的延长线交BC于点G.

MM

备用图

（1）若NEFG=68°,求NAEN、N3GN的度数：

（2）若点P是射线以上一点（点P不与点A重合），过点P作PHLEG于H,PQ平

分乙\PH,PQ与七厂有怎样的位置关系？为什么？

【解答】解：（1）由折叠可知NDEF=NGEF,

,JAD//BC,

：,ZEFG=ZDEF=6Sa,

.•・NAEN=180°-ZDEN=44°,

：.ZBGN=ZDEG=136°；

（2）PQLEF或PQ〃EF；

①点P在线段AB上，PQ1EF,

如图，

设尸。交所于点7,

〈PQ平分NAP”,

・•・ZAPQ=/HPQ,

设NAPQ=N〃PQ=a,NDEF=/GEF=0

由题意可知NA=90°

♦：PHLEG,

/.ZPHE=90°,

在四边形APHE中，ZA+ZAPH+ZPHE+ZAEH=3600

AZ/\PH+Z4EG=I8G0,

•・・N4EG=1800-ZGED=I8O°-2p,

/.2a+180°-20=180'，

/.a=P，

'：ZTEA=P，a+NAKP=90°,/AKP=/TKE,

：.ZTKE+ZKET=W,

：.ZKTE=W,

・•・PQA.EF：

②点P在线段84的延长线上，PQ//EF,

设PQ交所于点。

•・・PQ平分乙4P",

・•・ZAPQ=ZHPQ,

设NAPQ=/〃PQ=a,NDEF=NGEF=B，

由题意可知NA3C=9(T,

在四边形中，ZA+ZBPH+ZPA/G+ZBGH=350°,

.••NBGE+N8切=180°,

•••长方形纸片ABC。中，AD//BC,

：.ZBGE=ZGED=2^,

/.2a+2p=180°,

/.a+p=90°,

Va+ZP7'E=9O0,

・・・B=NE7P,

即NGE/n/ETP,

：.PQ//EF,

综上所述：点P在线段AB上，PQ_LEA点P在线段84的延长线上，PQ//EF.

27.（1）阅读并填空：如图①，BD、CO分别是△A8C的内角NA8C、/AC8的平分线.试

说明/。=90°+』乙4的理由.

解：因为平分NABC（已知），

所以Nl=（角平分线定义）.

同理：Z2=.

因为NA+N48C+NACB=180°,Z1+Z2+ZD=180°,（）,

所以NO=（等式性质）.

即：ZD=90°+』乙4.

2

（2）探究，请直接写出结果，并任选一种情况说明理由：

（/）如图②，BD、C。分别是△A4C的两个外角/E8C、N尸C3的平分线.试探究N。

与/A之间的等量关系.

答：/。与NA之间的等量关系是.

（万）如图③，RD、CO分别是△ABC的一个内角/4BC和一个外角/ACE的平分线.试

探究N。与NA之间的等量关系.

答：NO与NA之间的等量关系是.

【解答】解：（1）解：因为4。平分NA8C（已知），

所以N1=2/A8C(角平分线定义).

2

同理：Z2=-lzACB.

2

因为NA+NA8C+N4CB=180°,N1+N2+/。=180°,(三角形的内角和等于

180°),

所以/。=180°-A(ZABC+ZACB)(等式性质).

2

即：ZD=90°+』NA.

2

故答案为：工/"C,工/AC/3,三角形的内角和等于180。，18()。-A(Z/^BC+Z

222

ACB).

(2)解：(i)N。与NA之间的等量关系是：ZZ9=90"-2NA.

2

理由：VBD.CO分别是△ABC的两个外角NEB。、NR7B的平分线，

:・/EBD=/DBC,/BCD=/DCF,

AZDBC+ZDCB+ZD=180°,

・・・NA+N48C+NAC8=180°,

而NA8C=180°-2ZDBC,

ZACB=1800-2ZDCB,

：.Z4+1800-2ZDBC+1800-2/00=180°,

/.ZA-2QDBC+NDCB)=-180°,

：.ZA-2(180°-ND)=-180°,

・・・NA+2NO=180°,

/.ZD=9O°-AZA,

2

故答案为：ZD=90°-

2

(//)NO与NA之间的等量关系是：ZD=AZA.

2

理由：•••8。、C。分别是△/WC的一个内角N43C和一个外角/4CE的平分线，

:・NDCE=NDBC+ND,

•・•^A+2ZDBC=2ZDCE

・•・ZA+2ZDBC=2ZDBC+2ZD

.•・NA=2NO

即：ZD=—ZA.

2

故答案为：ZD=AZA.

2

28.如图①，△48C中，BD平分N48C,且与△4BC的外角NACE的角平分线交于点D.

(1)若/4BC=75°,NACB=45°,求N。的度数；

(2)若把N4截去，得到四边形MNCB,如图②，猜想N。、NM、NN的关