北师大版数学八年级下册 第4章 因式分解（单元测试·基础卷） 同步练习 含答案

第4章因式分解（单元测试·基础卷）【要点回顾】【知识点1】因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。【知识点2】提公因式法：如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．【知识点3】公式法：运用公式法，即用：【知识点4】分组分解法：（一）分组后能直接提公因式分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。（二）分组后能直接运用公式分组后，每组内至少一组能用完全平方公式，组与组之间又有公因式或公式法进行因式分解。【知识点5】十字相乘法：（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——进行分解。（二）二次项系数不为1的二次三项式——条件：（1）（2）（3）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．2．若，则常数p的值是（

）A．2 B． C．4 D．3．下列各组多项式中，没有公因式的是（）A．和 B．和C．和 D．和4．下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（

）A． B．C． D．5．下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（

）A． B． C． D．6．因式分解“”得，则“”是（

）A． B． C． D．7．运用公式直接对整式进行因式分解，公式中的a可以是（

）A． B． C． D．8．把多项式因式分解的最后结果是（）A． B．C． D．9．对于：①；②；③；④．其中因式分解正确的是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④10．将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：．将图2所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（

）

A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．多项式的公因式是．12．若关于的多项式因式分解为，则的值为．13．整式分解因式的结果是．14．如果，，那么代数式的值是．15．因式分解：．16．计算：．17．因式分解的结果是．18．因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式进行因式分解得到，若取，则2→2，x→12，y→7，→14，可得密码为，对于代数式，若取，可能得到的密码是．（写出满足条件的一个答案即可）三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）因式分解：(1)；(2)．20．（8分）因式分解(1)(2)21．（1）利用分解因式计算：；（2）已知，求的值．22．（10分）已知：整式，整式．(1)若是完全平方式，求a的值；(2)若可以分解为，求．23．（10分）观察下列算式…(1)可以得到：(

)+(

)；(2)可以发现：(

)+(

)；(3)请你证明你的发现．24．（12分）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．例如：分解因式：解：原式再如：求代数式的最小值．解：原式又是一个非负数，．．可知当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料，用配方法解决下列问题：(1)分解因式：______；（直接写出结果）当______时，多项式有最小值，这个最小值是______；(2)利用配方法，已知，，为的三条边，，求的周长．参考答案：1．A【分析】根据分解因式的定义，依次判断，即可求解，本题考查了因式分解的定义，解题的关键是：熟练掌握因式分解的定义．【详解】解：、是因式分解，符合题意，、，不符合题意，、，等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意，、，是整式的乘法，不符合题意，故选：．2．A【分析】将等式右边利用多项式乘多项式运算法则展开，再使等式左右两边x的一次项系数相等即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查已知因式分解结果求参数、多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则并正确求解是解答的关键．3．D【分析】本题主要考查公因式，熟练掌握公因式的定义是解题的关键．逐一分析找出公因式即可得到答案．【详解】解：A、，故两多项式的公因式为：，故此选项不合题意；B、和，故两多项式的公因式为：，故此选项不合题意；C、和，故两多项式的公因式为：，故此选项不合题意；D、和，故两多项式没有公因式，故此选项符合题意；故选：D．4．C【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟背完全平方公式是解决本题的关键．根据题意对各个选项逐个分析即可选出本题答案．【详解】解：∵，∴A选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；∵，∴B选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；∵，即不符合完全平方公式，∴C选项不能用完全平方公式分解因式，符合题意；∵，∴D选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；故选：C．5．B【分析】根据平方差公式因式分解逐项验证即可得到答案．【详解】解：A、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意；B、，不能用平方差公式进行因式分解，该选项符合题意；C、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意；D、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键．6．B【分析】本题考查因式分解的意义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．据因式分解的意义即可求得答案．【详解】解：，则“？”是，故选：B．7．A【分析】直接利用完全平方公式得出答案．【详解】解：，∴对上式进行因式分解，公式中的a可以是：．故选：A．【点睛】本题考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式是解答本题的关键．8．D【分析】本题考查提取公因式法以及公式法分解因式，首先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案即可．正确运用公式法分解因式是解题关键．【详解】解：．故选：D．9．D【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】解：①，此项错误；②，此项正确；③，此项错误；④，此项正确．故选D．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．10．D【分析】本题考查因式分解的应用，能够根据所给的单项式画出几何图形，利用等积法进行因式分解是解题的关键．【详解】解：，

故选：D．11．【分析】此题考查了提公因式因式分解法的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．运用提公因式因式分解法进行求解．【详解】解：，多项式的公因式是，故答案为：．12．【分析】根据完全平方公式将展开即可求出，的值，由此即可求解．【详解】解：多项式因式分解为，∴，∴，，∴．【点睛】本题主要考查多项式的因式分解，掌握多项式乘法可以检验多项式因式分解是解题的关键．13．【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．利用提取公因式法即可解决问题．【详解】解：原式，故答案为：．14．【分析】此题考查了提公因式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．15．【分析】本题考查了因式分解，解题关键是掌握提取公因式法和公式法进行因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：，故答案为：．16．4【分析】根据完全平方公式进行计算即可求解．【详解】解：，故答案为：4．【点睛】本题主要考查完全平方公式，解决本题的关键是要熟练掌握完全平方公式．17．【分析】通过多项式分组后，提取公因式便可解得．【详解】故答案为．【点睛】本题考查多项式的因式分解中分组分解法，掌握因式分解的主要方法是解题关键．18．（答案不唯一）【分析】对多项式进行因式分解，然后分别求出每个式子的值，然后组成密码即可．【详解】解：当时，即3→3，a→15，→3，→11，可得密码为：．故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题考查了因式分解的应用，通过因式分解，得到对应的结果是解题的关键．19．(1)(2)【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．（1）利用平方差公式因式分解即可；（2）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．【详解】（1）；（2）．20．(1)(2)【分析】本题考查因式分解，掌握提公因式法与公式法分解因式是解题关键，但要注意先提公因式再利用公式．（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式整理为，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．21．（1）（2）【分析】本题考查了利用因式分解进行简便运算，求整式的值；（1）将算式化为，用平方差公式进行因式分解，即可求解；（2）可得，将整式化为，整体代入计算，即可求解；掌握因式分解，整体代换法是解题的关键．【详解】（1）解：原式；（2）解：，，．22．(1)或者(2)【分析】本题考查整式的混合运算，因式分解、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键．（1）先化简，再根据完全平方公式以及对应系数相等求得值即可；（2）先化简，再利用多项式乘以多项式展开使得对应系数相等求出值即可解答．【详解】（1）解：，为完全平方式，或；（2）解：，，．23．(1)15，14(2)，n(3)证明见解析【分析】本题考查公式法进行因式分解．（1）根据题中的规律即可解答；（2）观察题中的规律即可解答；（3）利用平方差公式因式分解即可证明．【详解】（1）解