三种方法计算形如函数y=√(ax+b).(cx^2+d)一阶导数过程步骤B7

函数y=√[(23x+7)/(2x2+15)]一阶导数三种求法.主要内容：本文通过幂函数导数法、取对数法和导数定义法，介绍求解函数y=√[(23x+7)/(2x2+15)]的一阶导数的具体步骤。思路一：幂函数导数法∵y=√[(23x+7)/(2x2+15)]=[(23x+7)/(2x2+15)]^(1/2),∴y'=(1/2)*[(23x+7)/(2x2+15)]^(-1/2)*[23(2x2+15)-4x(23x+7)]/(2x2+15)2=(-1/2)*[(46x2+28x-345)/√[(23x+7)(2x2+15)]3。思路二：取对数求导数法∵y=√[(23x+7)/(2x2+15)]，∴lny=(1/2)ln[(23x+7)/ln(2x2+15)],即：2lny=ln(23x+7)-ln(2x2+15),两边同时对x求导得：2y'/y=23/(23x+7)-4x/(2x2+15)。进一步化简有y'=1/2·y·[23(2x2+15)-4x(23x+7)]/[(23x+7)(2x2+15)]=-1/2·y·(46x2+28x-345)/[(23x+7)(2x2+15)],=-1/2·√[(23x+7)/(2x2+15)]·(46x2+28x-345)/[(23x+7)(2x2+15)],=1/2·(46x2+28x-345)/[3√((23x+7)(2x2+15)]3.思路三：定义法求解导数∵f(x)=√[(23x+7)/(2x2+15)],∴y'=lim(t→0)[f(x+t)-f(x)]/t=lim(t→0)[√[(23x+8t+7)/(2x(x+t)2+15)-√[(23x+7)/(2x2+15)]/t=lim(t→0)[t(345-46x2-28x+46xt+14t)]/[2(2x2+15)2√[(23x+7)/(2x2+15)].y'=(345-46x2-28x+0)/{2(2x2+15)2√[(23x+7)/(2x2+15)]}=(-1/2)·(46x2+28x-345)/{√[(23x+7)(2x2+15)]3}。函数y=eq\r(\f(23x+7,2x2+15))一阶导数三种求法思路一：幂函数导数法y'=eq\f(1,2)·eq(\f(2x2+15,23x+7))\s\up12(\f(1,2))·eq\f(23(2x2+15)-4x(23x+7),(2x2+15)2),=eq\f(1,2)·eq(\f(2x2+15,23x+7))\s\up12(\f(1,2))·eq\f(345-46x2-28x,(2x2+15)2)=eq-\f(1,2)·eq\f(46x2+28x-345,\r((23x+7)(2x2+15)3))。思路二：取对数求导数法∵y=eq\r(\f(23x+7,2x2+15))，∴lny=eq\f(1,2)eqln\f(23x+7,2x2+15),即：2lny=ln(23x+7)-ln(2x2+15),两边同时对x求导得：eq\f(2y',y)=eq\f(23,23x+7)-eq\f(4x,2x2+15),则：y'=eq\f(1,2)·y·eq\f(23(2x2+15)-4x(23x+7),(23x+7)(2x2+15)),=-eq\f(1,2)·y·eq\f(46x2+28x-345,(23x+7)(2x2+15)),=-eq\f(1,2)·eq\r(\f(23x+7,2x2+15))·eq\f(46x2+28x-345,(23x+7)(2x2+15)),=-eq\f(1,2)·eq\f(46x2+28x-345,\r((23x+7)(2x2+15)3))。思路三：定义法求解导数y'=eq\a\ac(lim,t→0)eq\f(f(x+t)-f(x),t)=eq\a\ac(lim,t→0)eq\f(eq\r(\f(23(x+t)+7,2(x+t)2+15))-eq\r(\f(23x+7,2x2+15)),t),=eq\a\ac(lim,t→0)eq\f(eq\f(23(x+t)+7,2(x+t)2+15)-eq\f(23x+7,2x2+15),t(eq\r(\f(23(x+t)+7,2(x+t)2+15))+eq\r(\f(23x+7,2x2+15)))),=eq\a\ac(lim,t→0)eq\f(\f([23(x+t)+7](2x2+15)-[2(x+t)2+15](23x+7),[2(x+t)2+15](2x2+15)),t(eq\r(\f(23(x+t)+7,2(x+t)2+15))+eq\r(\f(23x+7,2x2+15)))),=eq\a\ac(lim,t→0)eq\f(\f([23(x+t)+7](2x2+15)-[2(x+t)2+15](23x+7),(2x2+15)2),2teq\r(\f(23x+7,2x2+15))),=eq\a\ac(lim,t→0)eq\f(t(345-46x2-28x+46xt+14t),2(2x2+15)2eq\r(\f(23x+7,2x2+15)))=e