三种方法计算形如函数y=√(ax+b).(cx^2+d)一阶导数过程步骤B20

函数y=√[(2x+7)/(4x2+22)]一阶导数三种求法.主要内容：本文通过幂函数导数法、取对数法和导数定义法，介绍求解函数y=√[(2x+7)/(4x2+22)]的一阶导数的具体步骤。思路一：幂函数导数法∵y=√[(2x+7)/(4x2+22)]=[(2x+7)/(4x2+22)]^(1/2),∴y'=(1/2)*[(2x+7)/(4x2+22)]^(-1/2)*[2(4x2+22)-8x(2x+7)]/(4x2+22)2=(-1/2)*[(8x2+56x-44)/√[(2x+7)(4x2+22)]3。思路二：取对数求导数法∵y=√[(2x+7)/(4x2+22)]，∴lny=(1/2)ln[(2x+7)/ln(4x2+22)],即：2lny=ln(2x+7)-ln(4x2+22),两边同时对x求导得：2y'/y=2/(2x+7)-8x/(4x2+22)。进一步化简有y'=1/2·y·[2(4x2+22)-8x(2x+7)]/[(2x+7)(4x2+22)]=-1/2·y·(8x2+56x-44)/[(2x+7)(4x2+22)],=-1/2·√[(2x+7)/(4x2+22)]·(8x2+56x-44)/[(2x+7)(4x2+22)],=1/2·(8x2+56x-44)/[3√((2x+7)(4x2+22)]3.思路三：定义法求解导数∵f(x)=√[(2x+7)/(4x2+22)],∴y'=lim(t→0)[f(x+t)-f(x)]/t=lim(t→0)[√[(2x+8t+7)/(4x(x+t)2+22)-√[(2x+7)/(4x2+22)]/t=lim(t→0)[t(44-8x2-56x+8xt+28t)]/[2(4x2+22)2√[(2x+7)/(4x2+22)].y'=(44-8x2-56x+0)/{2(4x2+22)2√[(2x+7)/(4x2+22)]}=(-1/2)·(8x2+56x-44)/{√[(2x+7)(4x2+22)]3}。函数y=eq\r(\f(2x+7,4x2+22))一阶导数三种求法思路一：幂函数导数法y'=eq\f(1,2)·eq(\f(4x2+22,2x+7))\s\up12(\f(1,2))·eq\f(2(4x2+22)-8x(2x+7),(4x2+22)2),=eq\f(1,2)·eq(\f(4x2+22,2x+7))\s\up12(\f(1,2))·eq\f(44-8x2-56x,(4x2+22)2)=eq-\f(1,2)·eq\f(8x2+56x-44,\r((2x+7)(4x2+22)3))。思路二：取对数求导数法∵y=eq\r(\f(2x+7,4x2+22))，∴lny=eq\f(1,2)eqln\f(2x+7,4x2+22),即：2lny=ln(2x+7)-ln(4x2+22),两边同时对x求导得：eq\f(2y',y)=eq\f(2,2x+7)-eq\f(8x,4x2+22),则：y'=eq\f(1,2)·y·eq\f(2(4x2+22)-8x(2x+7),(2x+7)(4x2+22)),=-eq\f(1,2)·y·eq\f(8x2+56x-44,(2x+7)(4x2+22)),=-eq\f(1,2)·eq\r(\f(2x+7,4x2+22))·eq\f(8x2+56x-44,(2x+7)(4x2+22)),=-eq\f(1,2)·eq\f(8x2+56x-44,\r((2x+7)(4x2+22)3))。思路三：定义法求解导数y'=eq\a\ac(lim,t→0)eq\f(f(x+t)-f(x),t)=eq\a\ac(lim,t→0)eq\f(eq\r(\f(2(x+t)+7,4(x+t)2+22))-eq\r(\f(2x+7,4x2+22)),t),=eq\a\ac(lim,t→0)eq\f(eq\f(2(x+t)+7,4(x+t)2+22)-eq\f(2x+7,4x2+22),t(eq\r(\f(2(x+t)+7,4(x+t)2+22))+eq\r(\f(2x+7,4x2+22)))),=eq\a\ac(lim,t→0)eq\f(\f([2(x+t)+7](4x2+22)-[4(x+t)2+22](2x+7),[4(x+t)2+22](4x2+22)),t(eq\r(\f(2(x+t)+7,4(x+t)2+22))+eq\r(\f(2x+7,4x2+22)))),=eq\a\ac(lim,t→0)eq\f(\f([2(x+t)+7](4x2+22)-[4(x+t)2+22](2x+7),(4x2+22)2),2teq\r(\f(2x+7,4x2+22))),=eq\a\ac(lim,t→0)eq\f(t(44-8x2-56x+8xt+28t),2(4x2+22)2eq\r(\f(2x+7,4x2+22)))