2026-2027学年广东省深圳市实验学校高一上学期摸底考试数学试卷（含答案）

/数学一、选择题：本大题共10个小题；每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.化简的结果是（）A. B. C. D.2.设，则代数式的值为（）A.0 B.1 C. D.23.如果多项式，则的最小值是（）A. B. C. D.4.设，，且，则代数式的值为（）A. B. C. D.5.在菱形中，若，，则菱形的内切圆面积为（）A. B. C. D.6.如图，是以为直径的半圆弧和圆心角为45°的扇形，则图中Ⅰ的面积和Ⅱ的面积的比值是（）A.1.6 B.1.4 C.1.2 D.17.已知一个三角形的三边长都是整数，且周长为8，则它的面积为（）A. B. C. D.8.对于任意实数，，，，定义有序数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，，都有，那么为（）A. B. C. D.9.已知是两个锐角，且满足，则实数t所有可能值的和为（）A. B. C.1 D.10.，则的整数部分等于（）A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题：每小题4分，满分24分．11.已知一组数据24，27，19，13，，12的中位数是21，那么的值等于_______．12.两条直角边长分别是整数，（其中），斜边长是的直角三角形的个数为________．13.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是________．14.如图，双曲线（）与矩形的边、分别交于点、，且．连接，则的面积为________．15.设，那么________．16.中，、分别是、上的点，且，，设与交于点，则________．三、解答题：本大题共5小题，满分46分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.（1）计算；（2）解方程．18.如图，已知直线与双曲线（）的图象交于,两点，且点的横坐标为4．（1）求的值；（2）过原点的另一条直线交双曲线（）于，两点（点在第一象限，且点的横坐标小于4）．若由点，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点的坐标．19.如图，与相外离，的半径为2，的半径为1，，为连接两圆圆心的线段上的一点，切于点，切于点．（1）若，求的长；（2）试问线段上是否存在一点，使，若存在，问这样的点有几个？并求出的值；如果不存在，说明理由；（3）当点在线段上运动到某处使时，．试问除上述情况外，当点在线段上运动到何处（说明的长是多少）时，与仍相似，并判断此时直线与的位置关系，证明你的结论．20.已知在直角中，，，，是边上的中线，直线，是边延长线上一点，交直线于点，将沿翻折得，射线交直线于点．（1）如图，当时，求的值；（2）如图，当点在点的右侧时：①求证：；②设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；（3）在（2）的条件下，如果的面积为，求的长．21.如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标；（2）设直线交轴于点．在线段的垂直平分线上是否存在点，使得点到直线的距离等于点到原点的距离？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点作轴的垂线，交直线于点，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？22.（1）求函数的最小值及对应自变量的取值；（2）求函数的最小值及对应自变量的取值；（3）求函数的最小值及对应自变量的取值；（4）求函数的最小值及对应自变量的取值．

数学一、选择题：本大题共10个小题；每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.化简的结果是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：易知，因为，因此；而，因为，因此，所以原式.2.设，则代数式的值为（）A.0 B.1 C. D.2答案：C解析：思路：先对所求代数式分组变形得到含的结构，再根据的表达式求出的值，代入即可求解.解答过程：由题意得

，

令，则原式可化为，由，变形得，两边平方得

(2x+3)整理得，两边同除以4得，即，将代入得

.3.如果多项式，则的最小值是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用配方法将多项式转化为非负完全平方式与常数之和的形式，再根据完全平方式的非负性即可求出的最小值．解答过程：由又，，则，所以的最小值是．4.设，，且，则代数式的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意得，是一元二次方程的两根，从而根据韦达定理得到与的值，进而将所求代数式变形后整体代入计算即可．解答过程：由，，且，则，，且，所以，是一元二次方程的两根，所以，，所以．5.在菱形中，若，，则菱形的内切圆面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由题设结合等面积法可得内切圆半径，据此可得答案.解答过程：设菱形内切圆圆心为，内切圆半径为，菱形面积为，则，由题设可得该菱形为两全等正三角形构成，则，，从而，则内切圆面积为.6.如图，是以为直径的半圆弧和圆心角为45°的扇形，则图中Ⅰ的面积和Ⅱ的面积的比值是（）A.1.6 B.1.4 C.1.2 D.1答案：D解析：解答过程：设直径的长度为，半圆的面积为，扇形的面积为，则，，则.设题图中空白部分的面积为，则,,则，故.7.已知一个三角形的三边长都是整数，且周长为8，则它的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先利用三角形三边关系结合周长条件确定三边长，再通过等腰三角形高的计算求出面积.解答过程：设三角形三边长为、、，且满足，且、、均为正整数，由题意得.根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，因此，代入周长公式得，解得.又因为是最大边，故，结合为整数，可得，此时.结合，可得，，即三角形三边长为2、3、3，为等腰三角形.取长度为2的边为底边，底边上的高，因此三角形面积.8.对于任意实数，，，，定义有序数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，，都有，那么为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：根据运算“”的定义可得，由题设可得到方程组，整理为，因为上述等式对任意实数均成立，所以各项系数均为0，即，解得，即.9.已知是两个锐角，且满足，则实数t所有可能值的和为（）A. B. C.1 D.答案：C解析：思路：根据题设，将两式相加可得，进而解方程即可求解.解答过程：由，，则，则，解得（舍去）或，所以实数t所有可能值的和为1.故选：C.10.，则的整数部分等于（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：A解析：思路：利用放缩法进行求解.解答过程：当时，，所以所以，当时，，所以则，所以，则的整数部分等于3.方法提示：易错点：放缩的时候注意需要切合题意，注意计算的时候不要出错.二、填空题：每小题4分，满分24分．11.已知一组数据24，27，19，13，，12的中位数是21，那么的值等于_______．答案：解析：思路：讨论的大小，结合中位数定义可得答案.解答过程：由中位数定义，数据从小到大排序第三个，第四个数据平均数为.若，则第三个数据为，第四个数据为，这与题设不符；若，则第三个数据为，第四个数据为，则，这与不符；若，则第三个数据为，第四个数据为，则；若，则第三个数据为，第四个数据为，则，这与题设不符.综上可得.12.两条直角边长分别是整数，（其中），斜边长是的直角三角形的个数为________．答案：31解析：思路：据勾股定理建立与的等量关系，结合的取值范围确定的取值特征及范围，统计符合条件的的个数即可.解答过程：由勾股定理可得：，展开并整理得：，即，因为是正整数，且，则，且，解得，且；又因为是正整数，且为奇数，故为正奇数，因为，，所以符合条件的为，故满足条件的直角三角形的个数为.13.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是________．答案：解析：解答过程：同时掷这两枚骰子的试验有个基本事件，它们等可能，其中朝上的面两数字之和为5的事件包含的基本事件有，共4个，所以朝上的面两数字之和为5的概率.14.如图，双曲线（）与矩形的边、分别交于点、，且．连接，则的面积为________．答案：解析：思路：设点坐标为，利用点为中点及在双曲线上求出的值，进而表示出点坐标，利用割补法求三角形面积.解答过程：设点的坐标为，其中．

四边形是矩形，

，，，，，．

，

为线段的中点，即点的坐标为．

点在双曲线上，

，解得．

点在边上，且在双曲线上，

点的纵坐标为，横坐标为，即．

，．

.15.设，那么________．答案：解析：解答过程：在中，取，得，取，得，所以.16.中，、分别是、上的点，且，，设与交于点，则________．答案：解析：思路：作平行辅助线构造相似三角形，再证明出，利用相似可得出角相等，即可求解.解答过程：解：如图，作，，交于点，四边形是平行四边形.，四边形是矩形，，，，又，故为等腰直角三角形，因，故为等腰直角三角形，和是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，因与互为对顶角，因此.三、解答题：本大题共5小题，满分46分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.（1）计算；（2）解方程．答案：（1）2；（2）或.解析：解答过程：（1）原式；（2）方程，令，则即，所以或，当时，即，因为判别式，所以方程无解；当时，即，所以或.综上，原方程解为或.18.如图，已知直线与双曲线（）的图象交于,两点，且点的横坐标为4．（1）求的值；（2）过原点的另一条直线交双曲线（）于，两点（点在第一象限，且点的横坐标小于4）．若由点，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点的坐标．答案：（1）（2）解析：（1）由题意知，则，即.因为点也在双曲线（）上，所以，解得.（2）由题意，得，关于原点对称，即.同理，得，则点，，，组成的四边形为平行四边形，则.设，过点向轴作垂线，垂足为，过点向轴作垂线，垂足为，连接，如图.易得，则.设梯形的面积为，在四边形中，，则，整理，得，解得或（舍去）.故点的坐标为.19.如图，与相外离，的半径为2，的半径为1，，为连接两圆圆心的线段上的一点，切于点，切于点．（1）若，求的长；（2）试问线段上是否存在一点，使，若存在，问这样的点有几个？并求出的值；如果不存在，说明理由；（3）当点在线段上运动到某处使时，．试问除上述情况外，当点在线段上运动到何处（说明的长是多少）时，与仍相似，并判断此时直线与的位置关系，证明你的结论．答案：（1）（2）存在，满足条件的点只有一个，此时（3）当时，有，此时直线与相切.证明：当时，,此时，∴.又，∴，如图，为的延长线上一点，则，∴点在的角平分线上，∴点到的距离相等,又为的切线，∴点到的距离都为1，即直线与相切.解析：思路：（1）根据勾股定理及可列出关于的方程，解方程即可；（2）设，确定的范围，用的代数式表示，代入，可求出；（3）由相似三角形的性质和角平分线的性质可得点到的距离相等，再根据切线的判定方法即可解决问题.（1）∵分别为，的切线，分别为，的半径，∴.由勾股定理可得.又，∴.又，是线段上的一点，∴，∴，解得.（2）存在，假定存在一点，使得，设，则，由可得.即，代入可得，即，解得（舍去），，∴满足条件的点只有一个，此时.（3）略20.已知在直角中，，，，是边上的中线，直线，是边延长线上一点，交直线于点，将沿翻折得，射线交直线于点．（1）如图，当时，求的值；（2）如图，当点在点的右侧时：①求证：；②设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；（3）在（2）的条件下，如果的面积为，求的长．答案：（1）4（2）①证明：由翻折性质得：，，因为是等边三角形，，所以，则，所以，因为，所以，因为，所以，由公共角，所以.②，其中.（3）2解析：思路：（1）利用角的关系得到边的关系即可求解；（2）①利用角的大小关系，得到线的平行关系，进而利用三个角对应相等证明三角形相似；②利用三角形的面积公式即可求解，注意自变量取值范围；（3）代入数值计算即可.（1）因为，是边上的中线，所以，则，因为，所以，所以.（2）①略；②因为，，，，所以，则，由相似得：，，所以，得到：，到直线的距离：，在右侧，，解得.，其中.（3），其中，解得：；所以长为2.方法提示：第二问注意自变量的取值范围.21.如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标；（2）设直线交轴于点．在线段的垂直平分线上是否存在点，使得点到直线的距离等于点到原点的距离？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点作轴的垂线，交直线于点，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？答案：（1）解析式，顶点（2）存在满足条件的点，的坐标为（3）向上最多可平移72个单位长度，向下最多可平移个单位长度解析：思路：（1）由抛物线过三点可求出抛物线表达式；（2）假设存在，设出点，解出直线的解析式，根据点到的距离等于可解出点坐标；（3）应分两种情况：抛物线向上或下平移，设出解析式，代入点求出平移的单位长度.（1）由题意可设抛物线解析式为，将代入，解得，则得抛物线解析式为，顶点.（2）假设满足条件的点存在，则可设.由求得直线的解析式为，它与轴的夹角为.设的中垂线交于，则.，则点到的距离