2026-2027学年湖北省襄阳市第四中学高三上学期8月质量检测数学试卷（含答案）

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据7，8，14，16，20的平均数为（）A.8 B.9 C.12 D.132.已知的展开式的各项系数之和为，则（）A. B. C. D.3.函数在处的切线方程为（）A. B.C.. D..4.某次抽奖活动中，参与者每次抽中奖的概率均为，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为（）A. B. C. D.5.若函数为其定义域上的增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6.为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局将安排包括甲､乙在内的4名城区教师前往三所乡镇学校支教.若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则甲､乙不安排在同一个学校的概率为（）A. B. C. D.7.从，，，，，，这个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为（）A.个 B.个 C.个 D.个8.设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（）A.①正确，②错误 B.①错误，②正确C.①②都正确 D.①②都错误二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.为正整数且B.满足方程的值可能为或C.甲、乙、丙等人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有种排法D.把个相同的小球分到个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有种10.下列说法正确的有（）A.若线性回归方程为，则样本数据的残差为B.已知随机变量、满足，若，，则，C.已知随机事件、，且，，若，则事件，相互独立D.已知随机变量，且函数为偶函数，则11.已知函数，则（）A.若存在实数，使得，则B.当时，过原点且与曲线相切的直线不存在C.当时，方程有3个不相等的实数根D.当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知变量、的样本数据如下表，若变量的经验回归方程为，则____.13.已知函数在处取得极值0，则________．14.一个不透明的袋中有分别标有数字，，，的相同小球．规定每人每次从中随机抽取3个，记录好标号后将小球放回袋中．现有两人依次各抽取1次，记为这个小球中至少被取出1次的小球的个数，则的数学期望__________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知在的展开式中，第6项为常数项．（1）求；（2）求含的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．16.在推进文化强国建设与中国式现代化的时代背景下，全民阅读已确立为国家文化战略，纳入法治保障体系，成为提升国民素养、厚植民族精神的基础性、战略性工程.为探究中学生阅读习惯与学业成绩是否存在关联，某校抽取成绩优良、成绩一般的同学各100名进行调查统计.记事件A=“成绩优良”，B=“有固定阅读习惯”，据统计，.（1）补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否推断阅读习惯与学业成绩水平有关？有固定阅读习惯无固定阅读习惯合计成绩优良100成绩一般100合计（2）为宣传全民阅读，从上述“有固定阅读习惯”的同学中以学业成绩水平按比例分层抽样，组建6人宣传小组.每次宣传时，需从宣传小组中选3人进行分享，记参与分享的同学中成绩优良的人数为，求的分布列与期望.参考公式与数据：，其中.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817.已知函数.（1）判断函数的单调性；（2）已知在上的最小值为2，求k的值；（3）若恒成立，求k的取值范围.18.在上海市实验学校举办的体育节乒乓球活动中，甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是（），各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局．（1）时，若两人共进行5局比赛．设两人所赢局数之差的绝对值为，求的概率；（2）时，若两人共进行局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了（）局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出，，，的值（直接写出结果即可）；（3）若两人共进行了（）局比赛，甲获胜的概率记为．当时，试判断与的大小，并说明理由．19.设，若对任意的，且，函数与满足关系，则称函数是函数在区间上的级控制函数．（1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由；（2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的最大值；（3）若函数是函数在区间上的2026级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求两零点之积的取值范围．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本数据7，8，14，16，20的平均数为（）A.8 B.9 C.12 D.13答案：D解析：解答过程：根据平均数定义可知，.2.已知的展开式的各项系数之和为，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：直接通过赋值求二项式展开式的各项系数之和可得.解答过程：在二项式的展开式中，令可得展开式的各项系数之和为，因此有，解得.3.函数在处的切线方程为（）A. B.C.. D..答案：B解析：解答过程：，则，所以函数在处的切线方程为，即.4.某次抽奖活动中，参与者每次抽中奖的概率均为，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：本题根据独立重复试验直接计算概率即可.解答过程：因为参与者每次抽中奖的概率均为，则甲参加3次抽奖，甲恰好有一次中奖的概率为.故选:C.方法提示：本题考查独立重复试验求概率的问题，是基础题.5.若函数为其定义域上的增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：将是增函数转化为恒成立，使用基本不等式求最值.解答过程：的定义域为，，因为函数为其定义域上的增函数，所以，即在上恒成立，因为，，当且仅当时取等号，所以，即.6.为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局将安排包括甲､乙在内的4名城区教师前往三所乡镇学校支教.若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则甲､乙不安排在同一个学校的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据古典概型和对立事件，结合排列数、组合数分析求解.解答过程：根据题意可知：若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则有种不同安排方法，记“甲、乙不安排在同一个学校”为事件A，则为“甲、乙安排在同一个学校”，则有种不同安排方法，所以.故选：B.7.从，，，，，，这个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为（）A.个 B.个 C.个 D.个答案：A解析：思路：利用分步乘法计数原理可得.解答过程：第一步，从，，，，，，这个数中任选个共有种方法，第二步，选出的个数中，最小的为，从剩下的4个数中选出个分给，由题意可知，选出后就确定了，共有种方法，故满足条件的“五位凹数”个，故选：A8.设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（）A.①正确，②错误 B.①错误，②正确C.①②都正确 D.①②都错误答案：C解析：思路：对于①，列举验证，对于②，列举验证.解答过程：当时，，此时，，此时，，此时，故存在，使为常数列；①正确；设，则有个零点，则在的每个区间内各至少一个零点，故至少有个零点，因为是一个次函数，故最多有个零点，因此有且仅有个零点，同理，有且仅有个零点，，有且仅有个零点，故，所以是公差为的等差数列，故②正确.故选：C.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.为正整数且B.满足方程的值可能为或C.甲、乙、丙等人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有种排法D.把个相同的小球分到个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有种答案：ABD解析：思路：利用排列组合数公式及性质计算判断AB；利用插空法求得排列数判断C；利用隔板法求得总的方法数判断D.解答过程：对于A，，A正确；对于B，由，得或，解得或，B正确；对于C，将除甲和丙以外的3人全排列，再将甲与丙插入3人所形成的4个空中的2个空，共有排法，C错误；对于D，由隔板法得共有种不同的分法，D正确.故选：ABD10.下列说法正确的有（）A.若线性回归方程为，则样本数据的残差为B.已知随机变量、满足，若，，则，C.已知随机事件、，且，，若，则事件，相互独立D.已知随机变量，且函数为偶函数，则答案：ACD解析：思路：对A直接根据残差的定义计算可得；对B根据期望和方差的性质计算可得；对C根据条件概率公式、及相互独立事件的定义判断可得；对D根据偶函数的性质可得，再根据正态分布的对称性得，从而判断区间与区间完全重合，从而可得所求的值.解答过程：选项A：因为残差的定义是实际观测值减去回归预测值，将代入回归方程得预测值，实际观测值为，因此残差为，故A正确；选项B

：根据期望和方差的性质：若，则，.代入得：，但，故B错误；选项C

：因为，所以，所以，可得，所以事件、相互独立，故C正确；选项D：

因为随机变量，正态分布关于直线对称.又因为函数为偶函数，即，所以，又因为，所以对任意的恒成立，且两区间长度相等，因此区间与区间完全重合，所以，解得，故D正确.11.已知函数，则（）A.若存在实数，使得，则B.当时，过原点且与曲线相切的直线不存在C.当时，方程有3个不相等的实数根D.当时，答案：ACD解析：思路：对函数求导并研究函数的单调性和最值，A由题设有求参数判断，B由导数的几何应用及切线所过的点，利用斜率相同得判断参数的存在性，C令，利用导数及零点存在性定理、奇函数的对称性判断零点个数即可，D令，利用导数研究其区间单调性即可判断.解答过程：对于，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，因此在处取得最大值，对于A：若存在实数使，只需，则，解得，正确，对于B：当时，，设切点为，切线过原点，则斜率为，由，联立得，因为存在实数，所以过原点的切线存在，错误，对于C：方程等价于，令，由且定义域为，即为奇函数，显然，即是一个根，而，则，因此在右侧附近小于0，在左侧附近大于0，令且，则，故在上单调递增，所以，故在上，而，因为，且时，因此，在上必有一个根，根据奇函数的对称性，在上也必有一个根，综上，共三个不相等的实数根，正确，对于D：令，则，当时，，且，因此，即在上单调递增，因为，所以时，即，正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知变量、的样本数据如下表，若变量的经验回归方程为，则____.答案：##解析：解答过程：由表格中的数据可得，，故样本中心点的坐标为，将该点的坐标代入回归直线方程得，解得.13.已知函数在处取得极值0，则________．答案：512解析：思路：利用极值与导数关系求出的值即可求解.解答过程：在处有极值，且，，即，解得：，或．当时，，函数在R上为增函数，无极值，舍去；当时，，当时，,函数在上单调递减，当时，,函数在上单调递增，故函数在处取得极小值，所以，，．14.一个不透明的袋中有分别标有数字，，，的相同小球．规定每人每次从中随机抽取3个，记录好标号后将小球放回袋中．现有两人依次各抽取1次，记为这个小球中至少被取出1次的小球的个数，则的数学期望__________．答案：解析：解答过程：单次抽3个球时，某特定小球没被抽到的概率为，因此两次都没被抽到的概率为，可得，即.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知在的展开式中，第6项为常数项．（1）求；（2）求含的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．答案：（1）；（2）；（3）有理项为，，．解析：思路：（1）求出二项式的展开式通项，根据常数项赋值即可求解；（2）令，即可求出，从而得到含的项的系数；（3）利用二项式展开式通项中的指数为整数且求出，再根据通项即可求解．（1）的展开式的通项为，因为第项为常数项，所以时，有，解得．（2）令，得，所以含的项的系数为．（3）根据通项公式与题意得，令，则，即，，所以应为偶数，又，所以可取，即可取.所以第项，第项与第项为有理项，它们分别为，，，即，，．16.在推进文化强国建设与中国式现代化的时代背景下，全民阅读已确立为国家文化战略，纳入法治保障体系，成为提升国民素养、厚植民族精神的基础性、战略性工程.为探究中学生阅读习惯与学业成绩是否存在关联，某校抽取成绩优良、成绩一般的同学各100名进行调查统计.记事件A=“成绩优良”，B=“有固定阅读习惯”，据统计，.（1）补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否推断阅读习惯与学业成绩水平有关？有固定阅读习惯无固定阅读习惯合计成绩优良100成绩一般100合计（2）为宣传全民阅读，从上述“有固定阅读习惯”的同学中以学业成绩水平按比例分层抽样，组建6人宣传小组.每次宣传时，需从宣传小组中选3人进行分享，记参与分享的同学中成绩优良的人数为，求的分布列与期望.参考公式与数据：，其中.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）补全列联表如下：有固定阅读习惯无固定阅读习惯合计成绩优良8020100成绩一般4060100合计12080200依据小概率值的独立性检验，可以推断阅读习惯与学业成绩水平有关.（2）的分布列为：123期望.解析：思路：（1）根据条件概率公式，结合已知数据计算可完成列联表，然后计算卡方，对照临界值表即可得出结论；（2）利用超几何分布概率公式求出概率和分布列，然后可得期望.（1）由题可知，，，所以，得，又，所以，得，结合已知可得列联表：

有固定阅读习惯无固定阅读习惯合计成绩优良8020100成绩一般4060100合计12080200零假设阅读习惯与学业成绩水平没有关系.因为，所以，依据小概率值的独立性检验，没有充足的证据证明假设成立，即阅读习惯与学业成绩水平有关系，且该结论犯错误的概率不超过.（2）有固定阅读习惯中成绩优良的有人，成绩一般的有人，所以组建的6人宣传小组中，成绩优良的有人，成绩一般的有人，则的可能取值为：，，，，所以的分布列为：123期望.17.已知函数.（1）判断函数的单调性；（2）已知在上的最小值为2，求k的值；（3）若恒成立，求k的取值范围.答案：（1）当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递减；（2）（3）解析：思路：（1）利用导数，分和研究单调性；（2）根据，，和时函数在上的单调性判断最值，求k的值；（3）若恒成立，即恒成立，设，利用导数求函数的最大值即可.（1）由题意知的定义域为，且，当时，时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，当时，，故在上单调递减，综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递减；（2）由（1）知，当，则在上单调递减，所以，则，矛盾舍去，当，，则在上单调递减，在上单调递增，所以，得，矛盾舍去，若，则在上单调递增，所以，则，符合题意，综上；（3）若恒成立，即恒成立，设，则，令，则，所以在上单调递增，，所以在上有唯一零点，即,所以，令，则，当时，，即在上单调递增，所以由，得，所以，当时，，，则在上单调递增，当时，，，则在上单调递减，所以，由恒成立，所以，即k的取值范围为.18.在上海市实验学校举办的体育节乒乓球活动中，甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是（），各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局．（1）时，若两人共进行5局比赛．设两人所赢局数之差的绝对值为，求的概率；（2）时，若两人共进行局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了（）局”．事件表示“甲最终获胜”．请写出，，，的值（直接写出结果即可）；（3）若两人共进行了（）局比赛，甲获胜的概率记为．当时，试判断与的大小，并说明理由．答案：（1）（2），，，.（3）.解析：思路：（1）利用进行5局比赛，两人所赢局数之差的绝对值为，即为甲赢3局乙赢2局或甲赢2局乙赢3局可解.（2）分析前局甲赢k局后，剩余2局甲需赢多少局才能获胜；根据k的不同范围