2026-2027学年广西河池市部分学校高三上学期9月自主检测数学试卷（含答案）

/数学一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.样本数据2，16，14，8，20的中位数为（）A.8 B.9 C.14 D.182.已知，则（）A. B. C. D.13.已知集合，，则（）A. B. C. D.4.不等式的解集是（）A. B.C. D.或5.在中，，则（）A. B. C. D.6.已知抛物线的焦点为F，P是C上一点，过点P作C的准线l的垂线，垂足为Q．若为等腰直角三角形，则（）A.4 B.3 C.2 D.17.记为等差数列的前项和，若，则（）A.2729 B.2730 C.2731 D.27328.已知，且，则的值为（）A. B. C. D.二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.记为等比数列的前项和，公比为，且，若，则（）A. B.C. D.10.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（）A.B.当时，C.当且仅当D.是的极小值点11.函数定义域为，若存在，使曲线在，处有相同切线，则称具有性质．下列结论正确的是（）A.“在定义域上不单调”是“具有性质”的充分条件B.具有性质C.具有性质D.，不具有性质三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12.已知平面向量，若，则_________.13.若是函数的极值点，则_________14.透明塑料制成的长方体容器，固定棱在水平地面上，将容器绕倾斜，容器内水量恒定，水的体积.随着倾斜度的不同，下列命题正确的是：（1）有水部分始终为棱柱；（2）无水部分存在倾斜状态不是棱柱；（3）水面所在四边形的面积为定值；（4）始终与水面所在平面平行；（5）当容器倾斜如图（3）所示时，的最小值为8.正确序号：_________.四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数，且.（1）求；（2）设函数，求的值域和单调区间.16.已知椭圆，且焦点在轴上，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长.17.如图1，是半径为2的圆的直径，点在圆上，且.如图2将圆沿翻折，为线段上的一点，连接.（1）若为中点，证明：；（2）若平面平面，求直线与面所成的角的正弦值.18.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，函数与关于直线对称，证明：当时，.19.北海是一座沿海城市，拥有银滩、涠洲岛等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩．为了合理配置旅游资源，文旅部门对来银滩游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览银滩，另外的人选择既游览银滩又到涠洲岛游玩．每位游客若选择只游览银滩，则记1分；若选择既游览银滩又到涠洲岛游玩，则记2分．假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，频率视为概率．（1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望；（2）从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求；（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．

数学一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.样本数据2，16，14，8，20的中位数为（）A.8 B.9 C.14 D.18答案：C解析：思路：先将数据按照从小到大顺序排列，再根据中位数定义计算即得.解答过程：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，8，14，16，20，故其中位数为排序后第个数据：14.2.已知，则（）A. B. C. D.1答案：B解析：解答过程：3.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由集合的交集运算可得选项.解答过程：因为指数函数在上单调递增，且，，所以由可得，即集合，又，因此.4.不等式的解集是（）A. B.C. D.或答案：D解析：解答过程：将不等式移项通分：，两边同乘，不等号方向改变：，等价于，且，解得或.所以原不等式的解集为或.5.在中，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先利用正弦定理求角的正弦值，结合为钝角确定角的大小，再由三角形内角和定理求出角.解答过程：在中，根据正弦定理：，将，，代入得：

，得：

，因为为钝角，因此，由三角形内角和定理得.6.已知抛物线的焦点为F，P是C上一点，过点P作C的准线l的垂线，垂足为Q．若为等腰直角三角形，则（）A.4 B.3 C.2 D.1答案：C解析：解答过程：由抛物线的定义，可知，所以必然是以P为顶点的等腰直角三角形．由题可知，则，所以．设l与x轴的交点为E．因为轴，所以，则四边形PQEF为正方形，所以．7.记为等差数列的前项和，若，则（）A.2729 B.2730 C.2731 D.2732答案：B解析：解答过程：由等差数列的性质：仍成等差数列；计算得：，由等差中项性质：，代入数值：，即，解得.8.已知，且，则的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以，则，因为，所以，所以，又因为，所以.二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.记为等比数列的前项和，公比为，且，若，则（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：先利用等比数列的通项公式和前项和公式，结合已知条件求出首项和公比，再逐项验证各选项即可解答过程：选项A：由等比数列通项得，即，前3项和，整理得，解得或，因为，所以，，A选项正确；对于B，，故B选项错误；对于C，，故C选项错误；对于D，，，所以，故D选项正确.10.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（）A.B.当时，C.当且仅当D.是的极小值点答案：ABD解析：思路：对于A，根据代入求解判定；对于B，根据偶函数性质求解即可；对于C，先解时，，再结合偶函数对称性求解的部分即可判定；对于D，先求得是时的极小值点，再结合对称性判断求解即可.解答过程：选项A：因为是定义在上的偶函数，故，代入的解析式得，因此，A正确；选项B：当时，，代入得，由偶函数性质得，B正确；选项C：当时，等价于，因为恒成立，故即；由偶函数对称性，时等价于，因此时，或，C错误；选项D：时求导得，故，当时，单调递减，时，单调递增，故是时的极小值点；由偶函数图象关于轴对称，可得是的极小值点，D正确11.函数定义域为，若存在，使曲线在，处有相同切线，则称具有性质．下列结论正确的是（）A.“在定义域上不单调”是“具有性质”的充分条件B.具有性质C.具有性质D.，不具有性质答案：BCD解析：思路：利用导数来求切线斜率，利用点斜式来写函数在某点处的切线方程，再由不同的两点处切线相同，则斜率相等和截距相等，从而得到等式关系，再来分析解的情况，即可得到选项的判断．解答过程：对于A，设，求导得，所以在上单调递减，在上单调递增，任给满足的，曲线在点和处的切线方程分别是，，而，所以两斜率相等的切线不重合，所以“在定义域上不单调”不是“具有性质”的充分条件，故A错误；对于B，，当和时，均有，又当和时，均有，所以曲线在点与处的切线方程均为，则具有性质，故B正确；对于C，，若具有性质，则存在，使得，即，解得（，且），曲线在点和处的切线方程分别是，，由两切线重合可知①，当（，且）时，①式即，所以不妨取，即可，此时切线方程为，即具有性质，故C正确；对于D，，设的图象在点处的切线重合，则，由前两个式子可得，所以，即②，同理③，，并化简得④，，得，结合④，得⑤，下面证明对数平均不等式，只需证，即，令，，即证，令，，则，可知函数在上单调递减，则，所以，即成立，因此由对数平均不等式可得，同理，两式相乘，可得，与⑤式矛盾，故不具有性质，故D正确．三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12.已知平面向量，若，则_________.答案：解析：解答过程：，，因为，所以，得，整理得，解得.13.若是函数的极值点，则_________答案：解析：解答过程：函数的定义域为，.∵是的极值点,∴,即,解得.验证:当时,,.当时,,单调递增;当时,,单调递减;当时,,单调递增,故是的极小值点,符合题意.14.透明塑料制成的长方体容器，固定棱在水平地面上，将容器绕倾斜，容器内水量恒定，水的体积.随着倾斜度的不同，下列命题正确的是：（1）有水部分始终为棱柱；（2）无水部分存在倾斜状态不是棱柱；（3）水面所在四边形的面积为定值；（4）始终与水面所在平面平行；（5）当容器倾斜如图（3）所示时，的最小值为8.正确序号：_________.答案：（1）（4）（5）解析：思路：（1）绕BC旋转，水的体积，BC=6，垂直于BC的截面面积恒等于8，有水部分截面沿BC平移，永远是棱柱；（2）容器被水面平面切成两部分，无水部分侧棱也平行于BC，一定是棱柱，故命题(2)错误；（3）水面是平行四边形，一边长固定为6，邻边长度随倾斜角度改变，面积不是定值，命题(3)错；（4），水面内，推出，得到线面平行，命题(4)成立；（5）图3截面为直角三角形，面积12⋅BE⋅BF=8⟹BE解答过程：已知长方体中，，，，水的体积，由于容器绕倾斜，沿方向（长度为6）的截面处处相同，水的体积可表示为垂直于的截面面积×长度，因此截面面积.（1）棱柱的定义是：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边互相平行.容器绕倾斜时，垂直于的所有截面（如平面、内的有水图形）形状大小完全一致，且侧棱均平行于，符合棱柱的定义（截面为三角形时是三棱柱，为梯形时是四棱柱），因此（1）正确；（2）整个容器本身是四棱柱，被水面（平面）截为两部分，两部分的侧棱均平行于，截面均为全等的多边形，因此无水部分也始终是棱柱（五棱柱或四棱柱），因此（2）错误;（3）水面四边形中，且，但另一边的长度随倾斜角度变化：正放时（无倾斜），，水面面积为；倾斜后，截面为直角三角形时，，水面面积为，随角度变化，因此水面面积不是定值，（3）错误；（4）长方体中，而水面内的边，故，又水面平面，水面平面，由线面平行判定定理可知，始终与水面平面平行，因此（4）正确；（5）图3中，有水部分的截面为直角三角形（，因），其面积为8，故12⋅BE⋅BF=8⟹BE⋅BF=16，由基本不等式，当且仅当时取等号，此时（即与重合），（在棱上），满足几何约束，因此最小值可取到8，故（5）正确.四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数，且.（1）求；（2）设函数，求的值域和单调区间.答案：（1）（2）的值域为；单调递增区间为，单调递减区间为.解析：（1）∵，∴，又∵，∴.（2）由（1）得，∴.∵，∴，即的值域为.令，解得，即的单调递增区间为.令，解得，即的单调递减区间为.16.已知椭圆，且焦点在轴上，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长.答案：（1）.（2）直线的方程为，弦长.解析：思路：（1）由题意根据椭圆离心率求得，进而计算可求椭圆的方程；（2）由题意结合弦长公式、点到直线的距离公式可得三角形面积，进而建立等式计算求解即可.（1）已知椭圆焦点在轴上，故，即.由离心率，得，，因此椭圆方程为；（2）设过的直线方程为，设，.联立直线与椭圆方程得：，消去整理得，由判别式，得.由韦达定理得，.原点到直线的距离，弦长.三角形面积，令，，则，代入化简可得，整理得，解得，即，得，即，满足，当，即时，直线的方程为，.当直线斜率不存在时，直线过，此时三点共线，不符合题意，舍去.17.如图1，是半径为2的圆的直径，点在圆上，且.如图2将圆沿翻折，为线段上的一点，连接.（1）若为中点，证明：；（2）若平面平面，求直线与面所成的角的正弦值.答案：（1）证明：取BC的中点F，连接EF,OF.∵E,O分别为DB,AC的中点，∴EF∥DC，OF∥AB.又∵AC是圆O的直径，∴AB⊥BC,∴OF⊥BC.EF∥DC,又平面,平面.平面,.（2）解析：思路：（1）作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求出线面角的正弦值.（1）略（2）平面平面，平面平面，，故，又为的中点，所以，又平面，所以平面，故以为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系..则，.设平面的法向量为，则令，则，.设直线与平面所成的角为，则.18.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，函数与关于直线对称，证明：当时，.答案：（1）（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（3）当时，，由对称性得，令，，函数在上为减函数，故当时，当时，，所以，所以在上单调递增，，所以当时，，即.解析：思路：（1）使用导数的几何意义求解切线方程；（2）求出函数的导函数，对进行分类讨论，利用导函数的正负判断函数的单调性；（3）利用对称性求出函数的解析式，令，使用导数分析函数的单调性即可证明.（1），，，所以函数在处的切线方程为.（2），当时，，在上单调递增；当时，令，得，令，得，在上单调递增，在上单调递减；当时，令，得，令，得，在上单调递减，在上单调递增.（3）略.19.北海是一座沿海城市，拥有银滩、涠洲岛等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩．为了合理配置旅游资源，文旅部门对来银滩游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览银滩，另外的人选择既游览银滩又到涠洲岛游玩．