2026-2027学年河北省保定市唐县第一中学高三上学期开学考试数学试卷（含答案）

/数学满分150分考试时间120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.角的终边经过点且，则b的值为（）A.3 B. C. D.52.设函数为奇函数，则实数．A. B. C. D.3.已知，则的最小值是A. B. C. D.4.若，则（）A. B. C. D.5.在中，内角满足，则的形状为（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形6.若在上为减函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.7.的展开式中的系数为（）A. B. C.5 D.258.已知函数若函数有三个零点，则（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9.下列说法正确的是（）A.B.C.已知角的终边过点，则D.已知扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为10.、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（）A.若、两人站在一起有种方法B.若、不相邻共有种方法C.若在左边有种排法D.若不站在最左边，不站最右边，有种方法11.已知函数，则（）A.当时，恒成立B.当时，是的极值点C.若有两个不同的零点，则的取值范围是D.当时，只有一个零点三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.函数在上是减函数，则实数a的取值范围____．13.已知函数，过点作曲线的切线，则的方程为___________.14.已知定义在R上的偶函数满足，当时，，则___________；当时，___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．16.已知函数是奇函数．（1）求函数的定义域及实数的值；（2）若函数满足且时，，求的值．17.党的二十大是全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.认真学习宣传和全面贯彻落实党的二十大精神，是当前和今后一个时期的首要政治任务和头等大事.某校计划举行党的二十大知识竞赛，对前来报名者进行初试，初试合格者进入正赛.初试有备选题6道，从备选题中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者视为合格.已知甲、乙两人报名参加，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对相互独立.（1）分别求甲、乙两人进入正赛的概率；（2）记甲、乙两人中进入正赛的人数为，求的分布列及.18.已知函数，．（1）求函数的极值点；（2）若恒成立，求实数的取值范围．19.已知函数.（1）若函数在上恒成立，求的取值范围；（2）若是函数的两个零点，证明.

数学满分150分考试时间120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.角的终边经过点且，则b的值为（）A.3 B. C. D.5答案：B解析：思路：根据三角函数的定义求解．解答过程：根据三角函数定义可得，且，即，解得．故选：B．2.设函数为奇函数，则实数．A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：∵函数为奇函数，∴，化为，∴，解得．故选：．3.已知，则的最小值是A. B. C. D.答案：B解析：思路：将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式求出代数式的最小值，然后在不等式两边同时除以可得出答案．解答过程：因为，又，所以，当且仅当时取，故选B．方法提示：本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在利用基本不等式求最值时，要注意配凑“定值”的条件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的应用．4.若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先观察到，代入原式，利用诱导公式求解.解答过程：因为,所以，故选：A.5.在中，内角满足，则的形状为（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形答案：B解析：思路：根据得到，求出，得到三角形形状.解答过程：，故，即，因为，所以，故为等腰三角形.故选：B6.若在上为减函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据为上的减函数列不等式，解不等式求得的取值范围.解答过程：为上的减函数，时，递减，即，①，时，递减，即，②且，③联立①②③解得，.故选：C.方法提示：本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.7.的展开式中的系数为（）A. B. C.5 D.25答案：D解析：思路：根据给定条件，求出的展开式中和项，即可求解作答.解答过程：展开式中项是与展开式中项相乘加上与展开式中项相乘的和，于是，所以所求系数为25.故选：D8.已知函数若函数有三个零点，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：将问题转化为与图象有三个交点，分析分段函数的性质并画出图象，即可确定k的范围.解答过程：由题意，与图象有三个交点，当时，，则，∴在上，递增，在上，递减，∴时，有最大值，且在上，在上.当时，单调递增，∴图象如下∴由图知：要使函数有三个零点，则.故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9.下列说法正确的是（）A.B.C.已知角的终边过点，则D.已知扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为答案：BCD解析：思路：根据诱导公式可判定A，根据弧度与角度的转化可判定B，根据三角函数的定义可判定C，根据扇形的弧长与面积公式可判定D.解答过程：对于A选项，，所以A错误；对于B选项，，所以B正确；对于C选项，由三角函数的定义得，，所以C正确；对于D选项，扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的半径为，扇形面积，所以D正确.故选：BCD．10.、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（）A.若、两人站在一起有种方法B.若、不相邻共有种方法C.若在左边有种排法D.若不站在最左边，不站最右边，有种方法答案：AC解析：思路：对于A，利用捆绑法计数即可；对于B，运用插空法计数即可；对于C，考虑左右边站位的等可能性全排后取半法即得；对于D，将问题分成①站在最右边，②不站在最左边，也不站在最右边两类情况分别计数，再合并统计即可.解答过程：对于A，利用“捆绑法”，把两人看成整体与其他3人进行全排，再考虑两人的顺序，故不同的方法有种，故A正确；对于B，考虑另外3人的不同站法，再将两人在另外3人留下的4个空位上选两个位置进行插空，故不同的方法有种，故B错误；对于C，因排队后与只有两个相同可能性的顺序，故先考虑5人全排，再取其一半，则不同的方法有种，故C正确；对于D，依题意，分成两类情况：①站在最右边，则与3人随便站，有种不同的站法；②不站在最左边，也不站在最右边，有3种站法，因不站最右边，故有3种站法，余下3人全排即可，故不同的站法有种；综上，不同的站法共有种，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则（）A.当时，恒成立B.当时，是的极值点C.若有两个不同的零点，则的取值范围是D.当时，只有一个零点答案：BD解析：思路：A特殊值法即可判断；B利用导数研究的单调性即可确定极值点；C、D问题转化为与的图象有两个不同的交点，结合导数确定的单调性及值域即可.解答过程：A：当时，易知，错误；B：当时，，则，令，得，令，得，∴在上单调递增，在上单调递减，∴是的极值点，正确；C：有两个不同的零点，即关于的方程有两个不相等的实数根，易知，∴，即直线与函数的图象有两个不同的交点，由，易知当时，单调递增，当时，单调递减，∴，又当时，且趋向正无穷大时趋向于0，∴，错误；D：当时，结合C知此时只有一个零点，正确.故选：BD.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.函数在上是减函数，则实数a的取值范围____．答案：解析：思路：由的对称轴与给定区间的关系及在已知区间上的最小值大于0可得的范围．解答过程：∵函数在上单调递减，∴，解得．故．方法提示：本题考查对数型复合函数的单调性，解题时要注意二次函数的对称轴不在已知区间上，还要特别注意函数的定义域，即真数的最小值大于0，否则易出错．13.已知函数，过点作曲线的切线，则的方程为___________.答案：解析：思路：根据导数的几何意义设切点坐标，利用导数求切线斜率，从而可得切线方程表达式，利用切线过点，解出，即可求得切线方程.解答过程：解：由题意可设切点坐标为，因为，所以，所以切线的斜率，则的方程为，又点在切线上，所以解得，所以切线方程为：，即.故答案为.14.已知定义在R上的偶函数满足，当时，，则___________；当时，___________.答案：①.2②.解析：思路：（1）由，得，所以是以4为周期的周期函数，利用周期性把所给的两个自变量转化到区间上，代入求值即可；（2）先结合奇偶性求出的解析式，再结合周期性求出的解析式即可解答过程：（1）由，得，所以是以4为周期的周期函数.所以.（2）设，则.因为是R上的偶函数，所以当时，.当时，，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用同角三角函数的基本关系，求得的值；（2）利用两角和的余弦公式即可求解；（3）由题意结合二倍角公式求出、的值，再代入计算可得．（1）因为，且，所以，所以.（2）由（1），，．（3）因为，，．16.已知函数是奇函数．（1）求函数的定义域及实数的值；（2）若函数满足且时，，求的值．答案：（1）函数的定义域为，（2）解析：思路：（1）根据函数的性质求出定义域，利用奇函数的性质求出的值；（2）根据题目条件利用函数的周期即可求出的值.（1）由题可知分式的分母不能为0，令，即，解得，因此的定义域为，又函数为奇函数，满足有，，由得：，整理得，解得.（2）已知，令替换，得，故是周期为的函数，又是奇函数，，，此时，因此.17.党的二十大是全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.认真学习宣传和全面贯彻落实党的二十大精神，是当前和今后一个时期的首要政治任务和头等大事.某校计划举行党的二十大知识竞赛，对前来报名者进行初试，初试合格者进入正赛.初试有备选题6道，从备选题中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者视为合格.已知甲、乙两人报名参加，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对相互独立.（1）分别求甲、乙两人进入正赛的概率；（2）记甲、乙两人中进入正赛的人数为，求的分布列及.答案：（1）甲、乙两人进入正赛的概率分别为（2）分布列见详解，解析：思路：（1）根据超几何分布和二项分布运算求解；（2）根据（1）中的数据，求分布列和期望，再根据期望性质求.（1）设甲、乙两人答对的题目数分别为，则，可得甲进入正赛的概率，乙进入正赛的概率，故甲、乙两人进入正赛的概率分别为.（2）由题意可得：的可能取值为，则有：，，

，则的分布列为：012则，故.18.已知函数，．（1）求函数的极值点；（2）若恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）是的极大值点，无极小值点（2）解析：思路：（1）首先利用导数判断函数的单调区间，再确定函数的极值点；（2）解法一，首先构造函数，，再根据函数的导数，判断函数的最大值，即可求解；解法二，首先证明，即可得，即，不等式恒成立，转化为，即可求解.（1）由已知可得，函数的定义域为，且，当时，；当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，所以是的极大值点，无极小值点．（2）解法一：设，，则，令，，则对任意恒成立，所以在上单调递减．又，，所以，使得，即，则，即．因此，当时，，即，则单调递增；当时，，即，则单调递减，故，解得，所以当时，恒成立．解法二：令，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即．因为，所以，当时等号成立，即，当时等号成立，所以的最小值为1．若恒成立，则，所以当时，恒成立．19.已知函数.（1）若函数在上恒成立，求的取值范围；（2）若是函数的两个零点，证明.答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）由分离常数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.（2）由的零点，将证明