2026-2027学年河北省唐山市高三上学期摸底演练数学试卷（含答案）

/数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B.2 C. D.2.双曲线的离心率是A.1 B.2 C. D.3.集合，，则（）A. B. C. D.4.向量，的夹角为，，，则（）A. B. C.3 D.75.已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，点在上，，则（）A. B. C. D.6.如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面的高度为（）A.4 B.6 C. D.7.点的横、纵坐标都是正整数，且，则满足条件的点个数为（）A.12 B.10 C.9 D.88.下列函数在区间上存在零点的是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.圆：，圆：，则下列说法正确的有（）A.圆的半径为2B.C.直线与两圆都相切D.两圆公共弦所在直线的方程为10.的内角，，对边分别为，，，若，，的面积为，则（）A. B.C.当时， D.当时，11.设函数，则（）A.的最小正周期为 B.的图象存在对称中心C.的图象存在对称轴 D.的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则________．13.已知随机变量服从正态分布，且，则______．14.四面体中，，，且，，，则此四面体的外接球的表面积为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱锥中，平面，，，分别是，的中点，．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．16.数列满足，，数列满足，．（1）求，的通项公式；（2）设为的前项和，令，求数列的最大项．17.一个袋子中有10个除颜色外其他都相同的球，其中有4个黄球，6个白球，甲从中有放回地随机抽取3个球作为样本，用表示样本中黄球的个数；乙从中不放回地随机抽取3个球作为样本，用表示样本中黄球的个数．（1）写出的分布列，并计算出数学期望和方差；（2）写出的分布列，并计算出数学期望和方差；（3）比较两种抽样方法的期望和方差，并结合分布列对差异进行数据分析．18.已知，在椭圆：上，为椭圆上一动点，当为的右顶点时，直线，的斜率之和为2．（1）求椭圆的方程；（2）当点在第一象限时，（ⅰ）求到直线的距离的最大值及对应的点的坐标；（ⅱ）证明：的最大值为8．19.一般地，如果在函数中，给定值域中的任意一个值，只有唯一的与之对应，则可由解出关于的表达式，这时是的函数，这个函数称为的反函数，记作，此时称存在反函数．为符合我们习惯用表示自变量的书写形式，常将反函数表达式中的与互换，记作．例如，是增函数，因此任意给定一个值，只有唯一的与之对应，所以存在反函数．对调中的和得，解得，因此的反函数是．（1）若，求；（2）若，判断是否存在反函数，请说明理由；（3）若存在反函数，求的取值范围．

数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B.2 C. D.答案：D解析：思路：根据复数的乘法运算可得解.解答过程：故选：D2.双曲线的离心率是A.1 B.2 C. D.答案：D解析：解答过程：双曲线中，.所以.离心率为.3.集合，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题意得，，故.4.向量，的夹角为，，，则（）A. B. C.3 D.7答案：A解析：思路：根据向量的模长平方公式计算即可求解.解答过程：，由，，两向量夹角为，可得，所以，所以.5.已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，点在上，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题可知，又，即，又点在上，故，即点或，故.6.如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面的高度为（）A.4 B.6 C. D.答案：C解析：思路：设四棱柱的底面梯形的高为，的中点分别为，所求的水面高为，利用等体积法求解即可.解答过程：设四棱柱的底面梯形的高为，的中点分别为，所求的水面高为h，则水的体积，所以.7.点的横、纵坐标都是正整数，且，则满足条件的点个数为（）A.12 B.10 C.9 D.8答案：A解析：思路：利用分步计数原理结合质因数分解求解.解答过程：因为，故的正因数的形式为，其中可取，可取，故的正因数的个数为.因，故确定时唯一确定，故满足条件的的个数为.8.下列函数在区间上存在零点的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据函数的单调性和端点值的大小逐项分析每个选项求解.解答过程：对于A，

函数，，时，，，故，函数单调递增，当时，，所以在区间上恒成立，所以函数在区间上不存在零点；对于B，函数，，在上，，故，函数单调递减；当时，，所以在区间上恒成立，所以函数在区间上不存在零点；对于C，

函数，，令，则，易知在上单调递增，，，所以，使得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，，，所以，使得，所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，所以函数在区间上恒成立，所以函数在区间上不存在零点；对于D，

函数，时，；​时，，当时，，易得，所以，使得，所以函数在区间上存在零点.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.圆：，圆：，则下列说法正确的有（）A.圆的半径为2B.C.直线与两圆都相切D.两圆公共弦所在直线的方程为答案：AC解析：解答过程：圆：，圆心，半径，圆：，即，圆心，半径，故选项A正确；，故选项B错误；直线与两圆都相切，直线与圆相切圆心到直线距离等于半径，点到直线距离：，对：，相切，对：，相切，直线和两圆都相切，故选项C正确；两圆公共弦所在的直线的方程：，化简得：，公共弦方程是，故选项D错误.10.的内角，，对边分别为，，，若，，的面积为，则（）A. B.C.当时， D.当时，答案：ABC解析：思路：由正弦定理，边角互化，得出，判断选项A；利用诱导公式判断选项B，根据余弦定理判断选项C，由面积公式确定选项D.解答过程：因为，，，，，所以，则，选项A正确；，，选项B正确；当时，，选项C正确；当时，，，或，选项D错误.11.设函数，则（）A.的最小正周期为 B.的图象存在对称中心C.的图象存在对称轴 D.的最大值为答案：BD解析：思路：根据三角函数的周期性、对称性等可判断AB选项，利用导数得出函数单调性可求得其值域并判断是否存在对称轴，可判断CD选项.解答过程：由已知的最小正周期为，的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故A选项错误；由已知，则，所以函数关于点中心对称，B选项正确；由，则，当或时，，当时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以的最小值为，最大值为，即函数在上的值域为，结合函数的最小正周期为，所以函数的最大值为，由函数在上的单调性可知，函数无对称轴，故C错误，D选项正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，则________．答案：3解析：解答过程：因为，所以，所以.13.已知随机变量服从正态分布，且，则______．答案：6解析：解答过程：因为，又，所以，所以和关于对称轴对称，所以.14.四面体中，，，且，，，则此四面体的外接球的表面积为________．答案：解析：思路：合理作出四面体的高，作平面，利用给定条件求出的长度，再找到外接球球心，在直角梯形内利用勾股定理求解外接球半径，最后求解表面积即可.解答过程：如图，作平面，连接，因为平面，所以，而，因为，平面，所以平面，而平面，故，又，，，由勾股定理得，所以由锐角三角函数定义得，结合，且共面，可知，即落在过点和平行的直线上，而，则，故，或，设，，由勾股定理得，在中，由余弦定理得当时，，在中，得到，即，由于，此时无解；当时，，在中，得到，即，联立，，解得，则，取中点，过点作平面，设点为外接球球心，外接球半径为，由余弦定理得，由于,故在直角梯形中，，解得，设四面体外接球的表面积为S，故.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱锥中，平面，，，分别是，的中点，．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）证明：因为，分别是，的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面．（2）解析：（1）略.（2）由题意，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，设平面的法向量为，则得取，则，则，因为平面，所以为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.16.数列满足，，数列满足，．（1）求，的通项公式；（2）设为的前项和，令，求数列的最大项．答案：（1），（2）解析：思路：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式即可求出，的通项公式；（2）通过作差法判断的正负确定数列单调性，进而找到最大项.（1）由，，得是以为首项，为公差的等差数列，所以.由，，得是以为首项，为公比的等比数列，所以．（2），，，所以当时，；当时，．由此可得，数列的最大项为．17.一个袋子中有10个除颜色外其他都相同的球，其中有4个黄球，6个白球，甲从中有放回地随机抽取3个球作为样本，用表示样本中黄球的个数；乙从中不放回地随机抽取3个球作为样本，用表示样本中黄球的个数．（1）写出的分布列，并计算出数学期望和方差；（2）写出的分布列，并计算出数学期望和方差；（3）比较两种抽样方法的期望和方差，并结合分布列对差异进行数据分析．答案：（1）0123，（2），0123（3），二者数学期望相同；，有放回抽取的方差大于不放回抽取的方差．下面结合分布列的数据分析说明方差不同的原因．①两端概率：，，这意味着有放回抽取更容易出现“极端情况”（全黄球或全白球）．②中间概率：，，说明不放回抽取的结果更集中在均值1.2附近．③本质原因：不放回抽取，总体有限，各次抽取不独立．若前面抽到黄球，剩余再抽到黄球的概率降低，反之亦然．这就抑制了极端值的出现，使得数据分布相对更集中，方差更小．解析：思路：（1）根据题意，利用二项分布的概率公式即可求解；（2）根据题意随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的概率公式即可求解；（3）利用期望和方差结合两个随机变量的分布列对照即可求解.（1）甲有放回抽取，每次抽到黄球的概率为，随机变量，所以，，1，2，3，逐一计算并列表如下：0123所以，；（2）乙不放回抽取，随机变量服从超几何分布，，，1，2，3，逐一计算并列表如下：0123因为服从超几何分布，所以，，；（3）略18.已知，在椭圆：上，为椭圆上一动点，当为的右顶点时，直线，的斜率之和为2．（1）求椭圆的方程；（2）当点在第一象限时，（ⅰ）求到直线的距离的最大值及对应的点的坐标；（ⅱ）证明：的最大值为8．答案：（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）证明：设点M的坐标为，则．要证，即证，只需证，即证，只需证，即证，又因为，即证，即证，当且仅当时，等号成立，即．所以，即点的坐标为时，的最大值为．解析：思路：（1）根据椭圆的定义和直线，的斜率之和为2求解的值进而得到椭圆方程.（2）（i）设与直线平行的直线l的方程为，，联立l与椭圆C的方程，求出，然后利用点到直线距离公式计算结果即可.（ii）先列出的不等式，根据不等式的性质化简证明即可.（1）当M为C的右顶点时，点M的坐标为，所以，解得，由在椭圆：上，得，解得，所以椭圆C的方程为．（2）（ⅰ）直线的方程为，设与直线平行的直线l的方程为，，联立l与椭圆C的方程，消去x，得，，由得，此时直线l与直线的距离d为M到直线的距离的最大值，，此时点M的坐标为．（ⅱ）略19.一般地，如果在函数中，给定值域中的任意一个值，只有唯一的与之对应，则可由解出关于的表达式，这时是的函数，这个函数称为的反函数，记作，此时称存在反函数．为符合我们习惯用表示自变量的书写形式，常将反函数表达式中的与互换，记作．例如，是增函数，因此任意给定一个值，只有唯一的与之对应，所以存在反函数．对调中的和得，解得，因此的反函数是．（1）若，求；（2）若，判断是否存在反函数，请说明理由；（3）若存在反函数，求的取值范围．答案：（1）（2）不存在反函数，理由是：当时，解得，与反函数定义中“对于值域中的任