2026-2027学年河北省张家口市部分高中高三上学期9月学情检测数学试卷（含答案）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，2.若集合，，则（）A. B.C. D.3.函数的大致图象为（）A. B.C. D.4.设甲：，乙：，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（）A.10 B.18 C.20 D.306.若在区间上，函数的最小值不小于的最大值，则正数的取值范围为（）A. B. C. D.7.曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知，且，当取最小值时，的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式的解集可能为（）A. B.C. D.或10.已知函数的定义域为，其导数满足，则（）A. B.C. D.11.已知函数，的定义域均为，且，.若是偶函数，，则（）A.是奇函数 B.4是的一个周期C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知关于的方程有两个不相等的实数根，且两个根均大于0，则实数的取值范围为______.13.若函数的图象关于点对称，则________．14.已知函数，点在曲线上，则的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知集合，．（1）当时，求，；（2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．16.已知，，且，证明：（1）；（2）．17.已知幂函数在上单调递减．（1）求的解析式；（2）若，，求a的取值范围．18.已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且．（1）求的值，并证明：当时，；（2）判断的单调性，并证明；（3）若，求不等式的解集．19.已知函数，，设函数.（1）当时，求的极值点；（2）证明：当时，；（3）若对任意，都有恒成立，求的取值范围.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，答案：A解析：思路：由全称命题的否定是存在命题，即可得到结果.解答过程：，，则其否定是，.2.若集合，，则（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：，故，所以，，，故3.函数的大致图象为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：结合函数的奇偶性和时函数值正负的分布情况，利用排除法可得到结果.解答过程：函数定义域关于原点对称，且由，知函数为奇函数，所以的图象关于原点对称，选项BD不符合，当时，，故选项C不符合，故选：A.4.设甲：，乙：，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：解答过程：取，，满足，但是，所以甲推不出乙.由柯西不等式可得，结合可得，即，因此乙能推出甲.综上甲是乙的必要不充分条件，选项B成立.5.已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（）A.10 B.18 C.20 D.30答案：C解析：思路：先求出时函数的零点，结合函数周期得到零点个数解答过程：时，，令得，解得或2，又，即的一个周期为3，所以函数在区间上的零点个数为.6.若在区间上，函数的最小值不小于的最大值，则正数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：作出两个函数的图象，结合图象观察可求.解答过程：如图，作出与的图象，可得．由图可知，当时，在上的最小值总小于的最大值；当时，在上的最小值不小于的最大值，故选A.方法提示：本题主要考查函数的最值问题，数形结合是有效的捷径，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.7.曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：分别求出两曲线的切线方程，再构造函数，利用导数求得单调性和最值，即可求得的取值范围.解答过程：两个函数求导分别为，设，图象上的切点分别为，，则过这两点处的切线方程分别为，，则，，所以，设，，，令，所以，所以在上单调递增，且，则在上单调递减，在上单调递增，所以，.故选：B.方法提示：关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的定义得到，从而构造函数即可得解.8.已知，且，当取最小值时，的最大值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用基本不等式得到时，取最小值，此时消元得到，配方得到最大值；解答过程：因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，当时，取得最大值，最大值为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式的解集可能为（）A. B.C. D.或答案：BC解析：思路：讨论两根大小解一元二次不等式.解答过程：当时，函数开口向下若，不等式解集为若，不等式的解集为若，不等式的解集为综上所述：B、C项都可能成立．故选：BC.10.已知函数的定义域为，其导数满足，则（）A. B.C. D.答案：AC解析：思路：构造辅助函数，求导判断单调性，然后逐项判断即可.解答过程：构造辅助函数，求导得，因为，所以，所以在上单调递增.所以，所以，即，所以A正确；根据单调性有，所以，即，所以B错误；因为，所以，则有，即，所以C正确；根据单调性有，，即，所以D错误.故选：AC.11.已知函数，的定义域均为，且，.若是偶函数，，则（）A.是奇函数 B.4是的一个周期C. D.答案：BCD解析：思路：利用，，及是偶函数，经过等量代换可推出，可得为偶函数，判断A选项；推出可判断B选项；由的周期性可求解C选项；利用可求解D选项.解答过程：由，用代入，得，又，两式相加得，由是偶函数，得，代入上式，得，可得，所以，即，因为，则，所以，所以为偶函数，A选项错误；由，得，又，两式相减得，所以，因此，即4是的一个周期，B选项正确；由，可得，所以，由可得，所以，由，，可得，由，，可得.所以，C选项正确；由上面推导可知，因为奇数的平方可表示为，所以奇数的平方除以4的余数为1，同理可得偶数的平方除以4的余数为，所以，D选项正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知关于的方程有两个不相等的实数根，且两个根均大于0，则实数的取值范围为______.答案：或解析：思路：设方程的两个不相等的实数根为，由题得，解不等式即得解.解答过程：设方程的两个不相等的实数根为，由题得或.由题得.综合得或.故或13.若函数的图象关于点对称，则________．答案：2解析：思路：由题意得到，代入解析式即可求解.解答过程：由可得:，即恒成立，得到恒成立，即，即，恒成立，因为在定义域内不恒为0，所以，即恒成立，展开可得，即或，当时，定义域为空集，舍去，所以，所以．故214.已知函数，点在曲线上，则的最大值为________．答案：解析：思路：利用导数判断函数单调性，进而求解值域范围，计算得到结果.解答过程：求导得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，点在曲线上，则，所以，设，，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，故单调递增，故，即的最大值是．故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知集合，．（1）当时，求，；（2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．答案：（1），（2）解析：（1）当时，，因为，所以，.（2）因为是成立的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，因为，所以恒成立，所以集合，所以，解得，当时，，此时集合是集合的真子集；当时，，此时集合是集合的真子集.故实数的取值范围为．16.已知，，且，证明：（1）；（2）．答案：（1），因为，，，则，当且仅当时等号成立，所以；（2），由（1）有，有，，有，，有，当且仅当时等号成立，所以．解析：思路：（1）利用基本不等式，求得，进而证得.（2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得.（1）略（2）略17.已知幂函数在上单调递减．（1）求的解析式；（2）若，，求a的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：(1)根据幂函数的定义和单调性列式求解即可；(2)根据题意分离变量得到在恒成立，利用函数的单调性即可求解.（1）因为幂函数在上单调递减，所以，解得，所以的解析式为．（2）由，可得，则，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以当时，取得最小值1．所以a的取值范围为．18.已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且．（1）求的值，并证明：当时，；（2）判断的单调性，并证明；（3）若，求不等式的解集．答案：（1），令，则，又，所以．证明：当时，，所以，又，所以，所以；（2）在上单调递减．证明：设，则，又，所以，所以，又当时，，当时，，所以，即，所以在上单调递减；（3）.解析：思路：（1）令，可得，令，结合已知即可得证；（2）设，令，结合的范围即可判断，得证；（3）利用赋值法求出，然后根据单调性去掉函数符号，解一元二次不等式可得.（1）略（2）略（3）因为，所以，所以，即，又在上单调递减，所以，解得，所以不等式的解集为．19.已知函数，，设函数.（1）当时，求的极值点；（2）证明：当时，；（3）若对任意，都有恒成立，求的取值范围.答案：（1）的极小值点是，无极大值点（2），由（1）可知，当时，单调递增，取且，则，取且，则，所以存在唯一的，使得，即，所以,；（3）解析：思路：（1）易得，再利用导数法求解；（2）由（1）知当时，存在唯一的，使得，为极小值点，则由证明；（3）设，转化为恒成立和恒成立求解.（1）当时，，