2026-2027学年河南省郑州市女子高级中学高二上学期入学测试数学试卷（含答案）

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的共轭复数为（）A. B.C. D.2.已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（）A.， B.， C.， D.，3.从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（）A.全是红球 B.至多有1个红球C.全是白球 D.1个红球，1个白球4.如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为的有（）①；②；③．A.0个 B.1个 C.2个 D.3个5.已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（）A.1 B. C. D.6.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，，则7.在正四棱台中，，若二面角的大小为，则正四棱台的体积为（）A. B. C. D.8.已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（）A. B. C.1 D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题为真命题的是（）A.若，则与相互独立B.若与互斥，则C.方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度D.数据的第百分位数为10.已知的内角所对的边分别为，，，则（）A.B.的外接圆面积为C.若，则满足条件的三角形仅有个D.周长的最大值为11.如图，在平行六面体中，，

，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（）A. B.向量共面C. D.若，则该平行六面体的高为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，则该圆锥的侧面积为______．13.学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为________14.在棱长为的正四面体中，是中点，则和所成角的余弦值是________四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，，且向量与向量的夹角为．（1）求与的值；（2）求向量与向量的夹角的余弦值．16.郑州市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．（2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率．17.如图，在多面体中，．侧面为矩形，平面平面ABC.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．18.在中，角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）若是锐角，且，求的面积.19.如图，在三棱柱中，平面，,为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的共轭复数为（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：依题意，，所以的共轭复数．2.已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（）A.， B.， C.， D.，答案：A解析：解答过程：因为一组数据，，的平均数为，方差为，所以数据，，，的平均数为，方差为.3.从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（）A.全是红球 B.至多有1个红球C.全是白球 D.1个红球，1个白球答案：B解析：思路：根据题意，得到“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”，即可求解.解答过程：由题意知：从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，其中事件“至少有1个白球”即“取出2个白球或1个白球和一个红球”，事件“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”.4.如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为的有（）①；②；③．A.0个 B.1个 C.2个 D.3个答案：D解析：解答过程：对于①：，①正确；对于②：，②正确；对于③：，③正确.所以运算结果为的有个.5.已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（）A.1 B. C. D.答案：A解析：思路：取为基底，利用平面向量基本定理表示出，进行数量积运算即可.解答过程：在中，取为基底，则.因为点、分别为的中点，，，故选：A6.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，，则答案：C解析：思路：根据空间中线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，逐项验证即可.解答过程：选项A，若，则直线与直线位置关系可能为平行、相交或异面，故A错误；选项B，若，则直线与平面位置关系可能为、或与相交，故B错误；选项C，根据线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理可知，若，则内必存在直线平行于m，设为l，则，则，故C正确；选项D，若，则直线与平面位置关系可能为、或与相交，故D错误.7.在正四棱台中，，若二面角的大小为，则正四棱台的体积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：令分别是正方形的中心，分别是的中点，连接，根据已知及二面角的定义有是二面角的平面角，过作，垂足为，再应用台体的体积公式求体积.解答过程：如图，在正四棱台中，，令分别是正方形的中心，分别是的中点，连接，显然四边形是直角梯形，且，易知是正四棱台的高，，所以是二面角的平面角，由题意得，过作，垂足为，则，，所以正四棱台的体积为．8.已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（）A. B. C.1 D.答案：B解析：思路：根据空间向量基本定理求出，求出答案.解答过程：因为，所以，故，故.故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题为真命题的是（）A.若，则与相互独立B.若与互斥，则C.方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度D.数据的第百分位数为答案：ABC解析：思路：根据独立事件的定义判断A；根据互斥的定义求解概率判断B；根据方差、标准差、极差的概念判断C；根据百分位数的求法求解判断D.解答过程：选项A：根据相互独立事件的定义，若事件与满足，则与相互独立，故A为真命题；选项B：若与互斥，则和不能同时发生，即，因此，故B为真命题；选项C：方差、标准差反映数据与均值的偏离程度，极差最大值减最小值反映数据的波动范围，三者均能刻画数据的离散程度，故C为真命题；选项D：数据共个，计算第百分位数为整数，因此第百分位数为第个数与第个数的平均值，即，故D为假命题.故选：ABC10.已知的内角所对的边分别为，，，则（）A.B.的外接圆面积为C.若，则满足条件的三角形仅有个D.周长的最大值为答案：AC解析：思路：利用正弦定理、余弦定理求解判断ABC；利用余弦定理，结合基本不等式求解判断D.解答过程：对于A，由于，结合正弦定理得，在中，有，所以，则有，即，又因为，，所以又因为，所以，故A正确；对于B，已知，，由正弦定理得，其中为外接圆的半径，则，解得，外接圆面积，故B错误；对于C，已知，，，由余弦定理，代入数据得，化简得，解得，舍去负值，则，所以只有一个正解，因此满足条件的三角形仅有个，故C正确；对于D，已知，，由余弦定理，代入数据得，化简得，由基本不等式得，当且仅当时取等号，则，解得，因此周长的最大值为，故D错误.11.如图，在平行六面体中，，

，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（）A. B.向量共面C. D.若，则该平行六面体的高为答案：ACD解析：思路：设，利用基底法求证判断A；利用基底表示可判断B；利用基底表示即可判断C；设平面的法向量为，求出在上的投影向量的长度即可判断D.解答过程：设，，则，因为点分别是棱的中点，所以，，则，则，故A正确；，则向量不共面，故B错误；，故C正确；设平面的法向量为，则，令，则，则，则，则在上的投影向量的长度为，则该平行六面体的高为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，则该圆锥的侧面积为______．答案：解析：解答过程：因为圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，所以圆锥的母线长为，则该圆锥的侧面积为．13.学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为________答案：220解析：思路：先根据分层抽样的比例求出样本中男、女的人数，再结合已知条件，代入分层抽样的平均数与方差公式计算求解.解答过程：根据题意，由于男女生人数之比为，则样本中男女生人数之比为，其中，男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，则样本的平均数，样本的方差，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为220．14.在棱长为的正四面体中，是中点，则和所成角的余弦值是________答案：解析：思路：利用数量积的定义计算的值，再计算、，再由平面向量夹角公式即可求解.解答过程：棱长为的正四面体中，是中点，，，，所以和所成角的余弦值是，故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，，且向量与向量的夹角为．（1）求与的值；（2）求向量与向量的夹角的余弦值．答案：（1），（2）解析：思路：（1）由向量数量积定义以及向量的运算法则求解即可；（2）利用两向量的夹角公式计算即得.（1）因为，，且向量与向量的夹角为，所以．．（2），所以，，所以．向量与向量的夹角的余弦值16.郑州市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．（2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率．答案：（1），平均数77.5；中位数为（2）．解析：思路：（1）利用频率和为计算，根据平均数和中位数公式计算；（2）根据分层抽样得出各组人数，再根据古典概型求概率.（1）由频率分布直方图得，，解得．估计初赛成绩的平均数为：．设中位数为，因为、、组的频率分别为，，，因此，故；（2）由（1）知，成绩在，的频率之比为．则在中随机抽取了人，记为，在中随机抽取了人，记为，从5人中随机抽取2人的样本空间为：共10个样本点，设事件“有1名或2名学生的成绩在内”，则，有7个样本点，因此，所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为．17.如图，在多面体中，．侧面为矩形，平面平面ABC.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间向量求出线面角的正弦值.（2）由（1）中信息，利用空间向量求出点到面距离.（1）由侧面为矩形，得，又平面，平面，则，即直线两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，得，所以直线与平面所成角的正弦值为.（2）由（1）知，平面的法向量，，点到平面的距离.18.在中，角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）若是锐角，且，求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简即可；（2）利用余弦定理求出，再利用面积公式计算即可.（1）由以及正弦定理得，，所以因为，所以，所以；（2）因为，且是锐角，所以，由余弦定理可得，则，因为，所以，得，故的面积为.19