2026-2027学年黑龙江省佳木斯市第一中学高二上学期第一次月考数学试卷（含解析）（含答案）

/数学时间:120分钟总分:150分一、单选题(共8道题，每题5分，满分40分)1.直线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.2.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.3.设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于（）A.7 B.7或5 C.10 D.10或24.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法不正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则5.已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（

）A. B. C. D.6.已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.8.已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足，，则的最大值为（

）A. B.3 C.2 D.1二.多选题(共3道题，每题6分，满分18分)9.下列说法正确的是（）A.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件B.已知事件A，B相互独立，C.1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是12D.数据的方差为32，则数据的方差为6410.已知圆，直线，则（）A.直线恒过定点B.当时，直线与圆相切C.存在实数，使得直线与圆相交于两点，且D.若直线与圆交于两点，则面积的最大值为11.已知曲线，则（）A.曲线关于轴对称B.曲线围成图形的面积为C.曲线上的点到点的距离最大值为D.若点是曲线上的点，则的最大值为1三.填空题(共3道题，每题5分，满分15分)12.在中，内角的对边分别为，若，，，则的值为__________13.椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______．14.已知圆C：，点在直线上运动.若C上存在点Q，使，则的取值范围是___________.四.解答题(共5道题，满分77分)15.已知圆：和圆：（1）过点作圆的切线，求此切线的方程；（2）动圆M在圆的内部，并且与圆内切与圆外切，求动圆M的圆心M的轨迹方程．16.已知直线l：和圆C：，（1）直线l与圆C相切时，求m的值；（2）直线l与圆C相交于A，B两点，若弦，求m的值；（3）当时，P为直线l上的动点，过P作圆C的切线，切点为T，求的最小值；17.某中学为了解该校高二年级学生的语文成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，分为8组，并作出频率分布直方图，如图所示：（1）求频率分布直方图中的值，并估计该中学高二年级语文成绩的中位数；（2）现从第七、八组中按分层抽样方法抽取5名学生，（i）学校要派这5名学生参加校古诗词比赛（总分值10分），经过比赛后，第七组学生得分的平均数，方差，第八组学生得分的平均数，方差，则这5人得分的平均数和方差分别为多少？（ii）从这5名学生中随机抽取2名学生参加市古诗词比赛，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率．18.已知圆过两点，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）求过圆心且在轴，轴上截距相等的直线的方程；（3）若直线的横截距为，纵截距为，且直线被圆截得的弦长为，求的最小值.19.如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动．（1）若，证明：平面；（2）若，且，证明：平面平面；（3）求二面角的余弦值的最小值．

数学时间:120分钟总分:150分一、单选题(共8道题，每题5分，满分40分)1.直线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由斜率得倾斜角的正切，再利用同角间的三角函数关系求得正弦值．解答过程：由题意，又，所以，从而，，而，所以，故选：A．2.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先求得，再求模即可.解答过程：复数z满足，则，所以.3.设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于（）A.7 B.7或5 C.10 D.10或2答案：B解析：思路：根据椭圆中，，的关系求解即可.解答过程：因为焦距为2，所以.当焦点在轴上，此时，且，解得；当焦点在轴上，此时，且，解得.综上，的值为7或5.故选：B4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法不正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：A解析：思路：根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可.解答过程：解：若，则或，所以A选项错误；若，则，所以B选项正确；若，则，所以C选项正确；若，由线面平行的性质可得，所以D选项正确.故选：A5.已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（

）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：向量，满足，，，则，即，可得，故，则向量与的夹角为.6.已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：圆的圆心，半径为，依题意，以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则，而，因此，解得，所以的取值范围为.7.已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：取的中点，利用平面向量的基本定理和数量积得到，要求的最小值就是求的最小值，求出，从而得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，由点为直线上的动点，可知的最小值为圆心到直线的距离减去半径，利用点到直线的距离公式来求出，从而得到.解答过程：取的中点，则，，要求的最小值，就是求的最小值，圆的圆心为，半径为，，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，点为直线上的动点，的最小值为圆心到直线的距离减去半径，，，故选项C正确.8.已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足，，则的最大值为（

）A. B.3 C.2 D.1答案：B解析：思路：由，，可判断点，分别在以线段，为直径的圆上，可知两圆上点的最大距离等于圆心距加上两圆的半径.解答过程：由题意知，，，则，，，由，则，所以点在以线段为直径的圆上，同理，由，可得点在以线段为直径的圆上，设以线段为直径的圆的圆心为，半径，以线段为直径的圆的圆心为，半径，所以，在中，为中位线，则，因此，当，，，四点共线，且，位于两圆外侧时，最大，即，由椭圆定义可知，所以.二.多选题(共3道题，每题6分，满分18分)9.下列说法正确的是（）A.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件B.已知事件A，B相互独立，C.1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是12D.数据的方差为32，则数据的方差为64答案：AB解析：思路：对于A，根据对立事件的定义判断即可；对于B，由独立事件的公式求解；对于C，由上四位数的定义求解；对于D，根据方差的性质可判断.解答过程：对于A，从中任选2名同学参加演讲比赛，有“两名男生”“一名男生一名女生”“全是女生”三种情况，而“至少一名男生”包含“两名男生”“一名男生一名女生”，所以“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件，故A正确；对于B，已知事件A，B相互独立，则，故B正确；对于C，由，则上四分位数是，故C错误；对于D，根据方差的性质可知，数据的方差为，故D错误．10.已知圆，直线，则（）A.直线恒过定点B.当时，直线与圆相切C.存在实数，使得直线与圆相交于两点，且D.若直线与圆交于两点，则面积的最大值为答案：AC解析：思路：对于A选项，将直线方程变形；对于B选项代入m的值，联立圆的方程判断有几个解即可；对于C选项，运用点到直线的距离公式，判断圆心到直线的距离是否小于半径；对于D选项，运用半径与圆心到直线的距离关系求出三角形的面积公式，再根据m的取值，再根据三角形的面积公式求出最大值.解答过程：对于A选项，由得，则当时，直线方程不含且，故过定点，A选项正确；对于B选项，当，则直线方程为，联立圆的方程得，解得，有两个解，故与圆相交，B选项错误；对于C选项，圆心坐标为，圆心到直线的距离为，因为，故，解得，因此存在实数，使得直线与圆相交于两点，且，故C选项正确；对于D选项，由C选项可得，则，，则，令，则，令，为开口向下的二次函数，对称轴为，因此在上，单调递增，所以，因此没有最大值，故D选项错误.11.已知曲线，则（）A.曲线关于轴对称B.曲线围成图形的面积为C.曲线上的点到点的距离最大值为D.若点是曲线上的点，则的最大值为1答案：AD解析：思路：用换判断A；确定曲线对应的图形，结合圆的相关知识求解判断BCD.解答过程：对于A，令是曲线上的任意一点，即，则成立，即点在曲线上，因此曲线关于轴对称，A正确；当时，，即，是以为圆心，2为半径的圆在直线及上方的半圆，当时，，即，是以为圆心，为半径的圆在直线及下方部分，对于B，曲线在直线及上方的半圆面积为，B错误；对于C，曲线在直线及下方部分上的点与点的距离最大值为，C错误；对于D，表示曲线上的点与点确定直线斜率的，观察图形知，当过点的直线与曲线在轴下方部分相切时，直线斜率最大，设此切线方程为，则，解得，所以的最大值为1，D正确.故选：AD三.填空题(共3道题，每题5分，满分15分)12.在中，内角的对边分别为，若，，，则的值为__________答案：解析：解答过程：根据余弦定理，得，即，解得（舍去）13.椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______．答案：解析：思路：利用椭圆定义把替换成，将所求式子转化为，再用三角不等式求出最小值，从而得到所求的最小值.解答过程：椭圆，则，，，左焦点，右焦点，由椭圆定义：，所以，，因为，当且仅当为线段的延长线与椭圆的交点时，等号成立，，所以，则的最小值为.14.已知圆C：，点在直线上运动.若C上存在点Q，使，则的取值范围是___________.答案：解析：思路：过点作于点，在中根据得到，结合求出的范围，最后利用两点间距离公式建立不等式计算求解.解答过程：由题可知圆心，半径，过点作于点，连接，在中，，所以，又，所以，又在直线上，所以，所以，所以，解得，所以的取值范围是.四.解答题(共5道题，满分77分)15.已知圆：和圆：（1）过点作圆的切线，求此切线的方程；（2）动圆M在圆的内部，并且与圆内切与圆外切，求动圆M的圆心M的轨迹方程．答案：（1）或（2）．解析：思路：（1）分切线斜率存在以及不存在讨论，结合点到直线的结论公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，结合椭圆的定义可知动圆M的圆心的轨迹为椭圆，求出，即可得到结果.（1）圆心为，半径为，当切线斜率不存在时，显然满足要求；当切线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线的方程为，即：，所以圆心到切线的距离等于半径2，即：，则切线方程为，化简可得；所以切线方程为：或（2），，设，动圆的半径为，所以，所以M点的轨迹是以，为焦点的椭圆，所以，，，所以轨迹方程为．16.已知直线l：和圆C：，（1）直线l与圆C相切时，求m的值；（2）直线l与圆C相交于A，B两点，若弦，求m的值；（3）当时，P为直线l上的动点，过P作圆C的切线，切点为T，求的最小值；答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用圆心到直线的距离等于半径计算；（2）利用弦长求出圆心到直线的距离即可计算；（3）求出圆心到直线的距离，再利用切线长公式计算.（1）因为直线l与圆C相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，得；（2）因为，所以圆心到直线的距离等于，即，得；（3）当时，圆心到直线的距离等于，则，故的最小值为.17.某中学为了解该校高二年级学生的语文成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，分为8组，并作出频率分布直方图，如图所示：（1）求频率分布直方图中的值，并估计该中学高二年级语文成绩的中位数；（2）现从第七、八组中按分层抽样方法抽取5名学生，（i）学校要派这5名学生参加校古诗词比赛（总分值10分），经过比赛后，第七组学生得分的平均数，方差，第八组学生得分的平均数，方差，则这5人得分的平均数和方差分别为多少？（ii）从这5名学生中随机抽取2名学生参加市古诗词比赛，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率．答案：（1），中位数为（或）；（2）（i）平均数，方差（或）；（ii）．解析：思路：（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为

1

求出

，再根据中位数左右两侧面积相等求解即可；（2）（i）先根据分层抽样确定第七、八组抽取的人数，再利用分层抽样平均数和方差公式计算即可；（ii）利用古典概型概率公式求解．（1）由频率分布直方图可知，组距为

10．因为所有小矩形的面积之和为

1，所以，解得

．前四组的频率之和为

，前五组的频率之和为

，所以中位数位于第五组内．设中位数为

，则

，解得．故估计该中学高二年级学生成绩的中位数为

．（2）第七组

的频率为，人数为

；第八组

的频率为

，人数为

．按分层抽样方法抽取

5

名学生，则从第七组抽取人数为：

，从第八组抽取

人数为：

．（i）设第七组抽取的

3

名学生得分为，第八组抽取的

2

名学生得分为．由题意知，，方差，，方差.这

5

人得分的平均数：

这

5

人得分的方差

．且

故所以，同理则，故.（ii）记第七组抽取的

3

名学生为

（成绩低于

130

分），第八组抽取的

2

名学生为（成绩不低于

130

分）．从这

5

名学生中随机抽取

2

名学生，所有可能的情况有：，共

10

种．其中恰有

1

名成绩不低于

130

分的情况有：

(共

6

种．故所求概率

18.已知圆过两点，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）求过圆心且在轴，轴上截距相等的直线的方程；（3）若直线的横截距为，纵截距为，且直线被圆截得的弦长为，求的最小值.答案：（1）（2）或.（3）.解析：思路：（1）设圆心为，根据结合两点间的距离公式可求出t的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程；（2）根据直线过圆心且斜率存在写出直线方程，求出在坐标轴上截距，根据截距相等求解即可；（3）利用直线截圆的弦长可得出圆心到直线的距离为，求出直线的方程，利用点到直线的距离公式可得出，利用基本不等式结合二次不等式的解法可求得的最小值．（1）由题意知，圆心在直线上，故设圆心为，因为点在圆上，所以，即，解得，所以圆心，半径，即圆的标准方程为.（2）由题意知，直线斜率存在且圆心，设直线的方程为，令，解得，令，解得，