2026-2027学年湖北省十堰市丹江口市第二中学高二上学期9月考试数学试卷（含答案）

/数学分值：150分；时长：120分钟★一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（）．A.互斥 B.互为对立C.相互独立 D.相等2.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A. B. C. D.3.已知随机事件和互斥，和对立，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.54.在平行四边形中，是对角线的交点，，则（）A. B.C. D.5.一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）A. B.事件与事件互斥C.事件与事件相互独立 D.6.柜子里有三双不同的鞋，设为，其中与，与，与分别为一双鞋，如果从中随机地取出两只，则取出的鞋成双的概率为（）A. B. C. D.7.三个元件正常工作的概率分别为，且是相互独立的．如图，将两个元件并联后再与元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是（）A. B. C. D.8.如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（）A.为定值16 B.为定值32C.最大值为32 D.与的位置有关二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的有（）A.某种福利的中奖概率为，那么买张这种一定能中奖；B.随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小；C.连续次掷一枚骰子，结果都是出现点，可以认为这枚骰子质地不均匀；D.某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是：该市气象台专家中，有认为明天会降水，认为不降水．10.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字到，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件＝“得到的点数为奇数”，记事件＝“得到的点数不大于”，记事件＝“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（）（质数，又称素数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数．）A.事件与互斥 B.事件与相互独立C. D.11.已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（）A.若A与B相互独立，则 B.若，则事件A与相互独立C.若A与B互斥，则 D.若B发生时A一定发生，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.从长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条（抽取不分先后），设事件A=“取出的三条线段能构成一个三角形”，则事件A包含的样本点个数为_______________个.13.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为____________.14.嵊（shèng）州是历史文化名城，早在秦朝已设郡县，古称剡（shàn）县，赡县、嵊县，古往今来无数文人墨客都醉心于嵊州的山水风景之中，李白曾梦到：湖月照我影，送我至剡溪.杜甫有诗曰：剡溪蕴秀异，欲罢不能忘，其中万年小黄山，千年唐诗路，百年越剧是三张重要历史文化名片，现有甲、乙两人到达高铁嵊州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴万年小黄山、千年唐诗路之谢灵运垂钓处、越剧诞生地打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两人前往三地打卡的概率分别是和，则甲、乙打卡不相同景点的概率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人．（1）列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率；（2）若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为，乙发球成功的概率为，两人发球互不影响．求：①甲、乙两人全部发球成功的概率；②甲、乙至少有一人发球成功的概率．16.某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在岁至岁之间．按年龄分组：第1组为，第2组为，第3组为，第4组为，第5组为，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频数分布表．区间人数ab

（1）求正整数a，b，N的值．（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层随机抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．17.如图，在正三棱柱中，，是的中点.（1）证明：平面.（2）求点到平面的距离.18.一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果?（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.19.科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件．（1）求事件发生的概率；（2）求事件和事件同时发生的概率；（3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率．

数学分值：150分；时长：120分钟★一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（）．A.互斥 B.互为对立C.相互独立 D.相等答案：C解析：思路：根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可.解答过程：解：掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，事件与能同时发生，故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误；，，，，因为，所以与独立，故选项C正确；事件与不相等，故选项D错误.故选：C.2.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A. B. C. D.答案：D解析：思路：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.解答过程：设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为，故选D.3.已知随机事件和互斥，和对立，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5答案：D解析：思路：利用对立事件概率公式和互斥事件加法公式计算即可.解答过程：由和对立，，可得，解得，又由随机事件和互斥可知，由，将代入计算可得.故选：D.4.在平行四边形中，是对角线的交点，，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：利用向量的线性运算求解即可.解答过程：因为，所以5.一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）A. B.事件与事件互斥C.事件与事件相互独立 D.答案：C解析：思路：根据古典概型概率公式，分别写出样本空间和事件表示的集合，求出相关事件的概率，利用互斥事件，独立事件的定义与和事件的概率公式计算即可逐一判断可得答案.解答过程：用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数，,，事件，，事件，，对于A，，故A错误；对于B，因为，所以事件与事件不互斥，故B错误；对于C，，，，因为，所以事件与事件相互独立，故C正确；对于D，，，，故D错误.故选：C.6.柜子里有三双不同的鞋，设为，其中与，与，与分别为一双鞋，如果从中随机地取出两只，则取出的鞋成双的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：设“从中随机地取出两只，取出的鞋成双”为事件，则.7.三个元件正常工作的概率分别为，且是相互独立的．如图，将两个元件并联后再与元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：若电路不发生故障，则满足正常工作，至少有一个正常工作解答过程：记正常工作为事件记正常工作为事件记正常工作为事件则，，电路不发生故障，则满足正常工作，至少有一个正常工作则至少有一个正常工作，概率为则电路不发生故障的概率故选方法提示：本题主要考查了概率知识及实际应用能力，考查了相互独立事件同时发生的概率的计算，关键是确定不发生故障时满足的条件．8.如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（）A.为定值16 B.为定值32C.最大值为32 D.与的位置有关答案：B解析：思路：取的中点为，结合题意利用向量的数量积的几何意义求解即可.解答过程：如图，取的中点为，连接，因为为等腰三角形，所以，又，所以.所以.所以为定值32.故选.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的有（）A.某种福利的中奖概率为，那么买张这种一定能中奖；B.随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小；C.连续次掷一枚骰子，结果都是出现点，可以认为这枚骰子质地不均匀；D.某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是：该市气象台专家中，有认为明天会降水，认为不降水．答案：BC解析：思路：结合频率与概率的关系、概率的实际含义逐一判断各选项的正误.解答过程：选项A：中奖概率为指的是单次购买的中奖可能性为，每次购买是否中奖相互独立，即使买张也存在不中奖的可能，并非一定中奖，A错误；选项B：根据频率的稳定性规律，试验次数越多，频率会越稳定在概率附近，整体上频率偏离概率的幅度会缩小，B正确；选项C：若骰子质地均匀，单次掷出点的概率为，连续次掷出点是概率极低的小概率事件，该事件实际发生时，有理由认为骰子质地不均匀，C正确；选项D：降水概率的含义是明天本市降水的可能性为，并非指支持降水的专家占比，D错误.10.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字到，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件＝“得到的点数为奇数”，记事件＝“得到的点数不大于”，记事件＝“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（）（质数，又称素数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数．）A.事件与互斥 B.事件与相互独立C. D.答案：CD解析：思路：根据题意写出事件包含的样本点，利用古典概型概率公式及事件独立、互斥的定义逐项判断即可.解答过程：由题意可知，样本空间，事件“得到的点数为奇数”，则，；事件“得到的点数不大于4”，则，；事件“得到的点数为质数”，则，.选项A：因为，所以事件与不互斥，故A错误；选项B：因为，所以，而，因为，所以事件与不相互独立，故B错误；选项C：，包含6个样本点，所以，故C正确；选项D：，所以，则，故D正确.11.已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（）A.若A与B相互独立，则 B.若，则事件A与相互独立C.若A与B互斥，则 D.若B发生时A一定发生，则答案：ABD解析：思路：根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断.解答过程：对于A，若A与B相互独立，则，所以，故A对；对于B，因为，，则，因为，所以事件与相互独立，故B对；对于C，若A与B互斥，则，故C错；对于D，若B发生时A一定发生，则，则，故D对．故选：ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.从长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条（抽取不分先后），设事件A=“取出的三条线段能构成一个三角形”，则事件A包含的样本点个数为_______________个.答案：4解析：思路：根据题意将事件A的基本事件一一列出即可得解.解答过程：长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条，则取出的三条线段可以构成一个三角形的基本事件空间是：（2，4，5），（4，5，7），（4，7，9），（5，7，9），所以事件A包含的样本点个数为4个.故413.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为____________.答案：解析：思路：采用列举法可得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.解答过程：将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数所有可能的结果有：，共个基本事件；其中满足的有：，共个基本事件，所求概率.故答案为.14.嵊（shèng）州是历史文化名城，早在秦朝已设郡县，古称剡（shàn）县，赡县、嵊县，古往今来无数文人墨客都醉心于嵊州的山水风景之中，李白曾梦到：湖月照我影，送我至剡溪.杜甫有诗曰：剡溪蕴秀异，欲罢不能忘，其中万年小黄山，千年唐诗路，百年越剧是三张重要历史文化名片，现有甲、乙两人到达高铁嵊州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴万年小黄山、千年唐诗路之谢灵运垂钓处、越剧诞生地打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两人前往三地打卡的概率分别是和，则甲、乙打卡不相同景点的概率为______.答案：解析：思路：求出甲乙打卡相同景点的概率，根据对立事件的概率计算，即可得答案.解答过程：甲乙打卡相同景点的概率为，所以甲、乙打卡不相同景点的概率为.故四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人．（1）列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率；（2）若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为，乙发球成功的概率为，两人发球互不影响．求：①甲、乙两人全部发球成功的概率；②甲、乙至少有一人发球成功的概率．答案：（1），（2）①②解析：思路：（1）利用枚举法列出全部等可能基本事件，再统计2人均为男队员的事件数，用古典概型公式求概率；（2）①甲乙发球相互独立，直接用独立事件乘法公式，求同时成功的概率；②利用对立事件，先算出两人全都发球失败的概率，再用1减去该概率得到至少一人成功的概率．（1）设3名男队员为，2名女队员为，采用不放回简单随机抽样抽取2人，所有可能的基本事件为：，共个，其中抽取到的2人全是男队员，包含的基本事件为：，共3个，故抽取到的2人全是男队员的概率为：．（2）设“甲发球成功”为事件M，“乙发球成功”为事件N，由题意知M与N相互独立，且．①甲、乙两人全部发球成功的事件同时发生，由独立事件乘法公式得：．②甲、乙至少有一人发球成功的对立事件是“两人发球失败”，两人都失败的概率：，故至少一人发球成功的概率为：．16.某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在岁至岁之间．按年龄分组：第1组为，第2组为，第3组为，第4组为，第5组为，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频数分布表．区间人数ab

（1）求正整数a，b，N的值．（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层随机抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．答案：（1），，；（2）第1组1人，第2组1人，第3组4人；（3）解析：思路：（1）利用频率分布直方图算出第一组频率，由频数与频率比得到总人数N，再用各组频率乘总人数求；（2）先算出前三组总人数，确定分层抽样的抽样比，各组人数乘抽样比得到每组抽取人数；（3）用组合数计算总的抽取情况与恰1人来自第3组的情况数，借助古典概型公式计算概率．（1）由频率分布直方图可知，组距为5，第一组频率：，故；的频率与组距的比为，与组频率相同，故；第3组的频率与组距的比为，频率为，．（2）第1，2，3组总人数：，抽样比，故年龄在第1组的人数为，年龄在第2组的人数为，年龄在第3组的人数为．（3）从6人中人选2人，总基本事件数，恰1人来自第3组：从第1、2组选1人，第3组选1人，选法为，则．17.如图，在正三棱柱中，，是的中点.（1）证明：平面.（2）求点到平面的距离.答案：（1）证明：连接并与交于点，连接.在正三棱柱中，四边形为矩形，则是的中点.因为是的中点，所以.又平面平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）将证明线面平行问题转换为证明线线平行问题，即在平面内寻找一条直线与要求直线平行；（2）通过等体积法求距离（1）略（2）由（1）可知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.因为三棱柱为正三棱柱，所以平面.又平面，所以.因为是的中点，所以.因为，所以平面.由，可得.连接，则.设点到平面的距离为，则.由，得，解得，即点到平面的距离为.18.一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果?（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.答案：（1）kg（2）（3）解析：思路：（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，所有矩形的面积乘以其底端中点之和即为平均值.（2）能地满足顾客的需要即求该店苹果日销售量的分位数，通过矩形的面积和确定分位数在，再利用公式计算即可．（3）由分层抽样确定来自日销售量中的有2个，来自日销售量为的苹果有4个，再列出基本事件，由古典概型求解.（1）由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，由，解得．则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，该苹果日销售量的平均值为:.（2）为了能地满足