2026-2027学年湖北省随州市随县第一高级中学、曾都区第一高级中学高二上学期9月联考数学试卷（含答案）

/湖北随州市随县第一高级中学、曾都区第一高级中学2026-2027学年高二实验班上学期9月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l的斜率为2，经过点(2,1)，则直线l的方程为(

)A.2x−y−5=0 B.2x+2.在▵ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b=6，AA.30∘ B.30∘或150∘ C.3.已知i为虚数单位，复数z=a2−1+(a+2)iA.充分不必要条件 B.充要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.已知非零向量m，n满足m⊥4n+m，且m在n上的投影向量为−2n，则向量m，A.π4 B.π3 C.2π5.一组数据按从小到大的顺序排列为3，5，6，m，10，12.若该组数据的中位数是极差的56，则该组数据的第60百分位数是(

)A.6 B.7.5 C.9 D.9.56.在▵ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,cA.52 B.154 C.7.如图，一束光线从A1,0出发，经直线x+y+1=0反射后又经过点B6,−5，则光线从A到BA.55 B.214 C.8.在三棱锥O−ABC中，OA=OB=OC=1，AB=BC=CA=2，点P满足A.3 B.355 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知A，B为同一试验中的两个事件，则下列说法正确的是(

)A.若P(B)<P(A)，则B⊆A

B.若P(A)+P(B)=1，则A，B对立

C.若10.已知直线l：mx−y+1+3m=0，圆CA.∀m∈R，l与C相交

B.∃m∈R，使得圆心C到l的距离为32

C.∃m∈R，使得圆C截l所得的弦长为411.如图，在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=π3,AA1A.平面A1BP截四棱柱ABCD−A1B1C1D1所得的截面是五边形

B.BD⊥A1P

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l的一个方向向量为m=1,2,−4，平面α的一个法向量为n=2,3,t，若l//α13.设A−2,3,B1,2，若点Px,y在线段AB14.已知以M为圆心的圆M:x2+y2−12x−14y+60=0及其上一点A(2,4)，设T(t,0)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知圆C经过P(3,0)，Q(0,−1)，(1)求圆C的方程;(2)求过点(−4,1)且与圆C相切的直线方程．16.(本小题15分)如图所示，质点α，β在随机外力的作用下，分别从正四面体ABCD的顶点A，B同时出发，每次等可能地沿棱移动到其他顶点处，其中这两个质点移动互不影响，并且可以在一条棱上同向或反向同时移动．一个质点从一个顶点移动到另一个顶点叫移动一次．(1)求质点α与β各移动2次后均移动到顶点A的概率；(2)求质点α与β各移动3次后至少有一个移动到顶点A的概率．17.(本小题15分)

如图，在三棱锥P−ABC中，∠ABC=90∘，AB=BC=2，D，E分别为BC，AC(1)求点B到平面PAC的距离;(2)在线段PC上是否存在异于端点的点M，使得平面PAC和平面MDE夹角的余弦值为77?若存在，确定点M的位置18.(本小题17分)某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛．已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为p1，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为p2，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为p3.其中，p1,p2,(1)假设p1=(i(ii(2)若p1+19.(本小题17分)

在四棱锥P−ABCD中，AB=3，BC=3，∠ABC=90∘，(1)证明：AC⊥平面(2)若PA=1，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值(3)过点A的平面α与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形AEFG为菱形，求PA的长．

1.【正确答案】C

2.【正确答案】C

3.【正确答案】A

4.【正确答案】D

5.【正确答案】C

6.【正确答案】B

7.【正确答案】C

8.【正确答案】D

9.【正确答案】CD

10.【正确答案】ACD

11.【正确答案】BCD

12.【正确答案】2

13.【正确答案】−∞,−2∪14.【正确答案】2−215.【正确答案】解：(1)设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2−4F>0)，

将P(3,0)、Q(0,−1)、R(2,3)代入方程得：

32+02+3D+0×E+F=0，即9+3D+F=0①，

02+(−1)2+0×D+(−1)E+F=0，即1−E+F=0②，

22+32+2D+3E+F=0，即13+2D+3E+F=0③，

联立①②③，解得D=−2，E=−2，F=−3，

因此圆C的一般方程为x2+y2−2x−2y−3=0，

化为标准方程为(x−116.【正确答案】解：(1)设事件E=“质点α移动2次后移动到顶点A事件F=“质点β移动2次后移动到顶点A事件E包括下列三种情况：A→B→A；所以P(事件F包括下列两种情况：B→C→A；则P(即这两个质点移动2次后都移动到顶点A的概率为227(2)设事件G=“质点α移动3次后移动到顶点A事件H=“质点β移动3次后移动到顶点A事件G包含下列6种情况：A→B→A→C→A→D→C→事件H包含下列7种情况：B→A→B→A→D→A；B→D→则P(即这两个质点移动3次后至少有一个移动到顶点A的概率为103243

17.【正确答案】解：(1)连结

PD

，

∵

▵PBC

为正三角形，

又

D

为

BC

中点，

∴

PD∵平面

PBC⊥

平面

ABC

，平面

PBC∩

平面

ABC=BC

，

∴

PD⊥

平面

ABC

，

又

DB,DE⊂

平面

ABC

，

因为

∠ABC=90∘,D,∴

BC⊥则如图，以D

为原点，DB,DE,∵

AB=BC=2

，

设平面

PAC

的法向量为

n=x,y,z则

PC⋅n=0AC⋅n又

PB=1,0,−3

，

则点

B

到平面

(2)由(1)可知

n=−由题可设

PM=λPC

，且

λ∈0,1∴

DM=设平面

MDE

的法向量为

m=(a,b,则

DM⋅令

c=λ

，则

∴

|cos ⟨n,m⟩|=|n⋅m||n故存在点

M

，使得平面

PAC

和平面

MDE

夹角的余弦值为

77

，此时

M

为

18.【正确答案】解：(1) (i)设乙连胜两局获得最终胜利为事件M，

则P(M)=(1−0.6)×0.6=0.24．

(ii)根据题意，设比赛结束时乙获胜为事件N，

则P(N)=(1−p1)p3+(1−p1)(1−p3)p2(1−p1)+p1(1−p2)p3(1−p1)

=0.4×0.6+0.4×0.4×0.6×0.4+0.6×0.4×0.6×0.4=0.336；

(2)设事件A为“第一局乙对丙最终乙获胜”，

B为“第一局乙对甲最终乙获胜”，

则事件A包含319.【正确答案】解：(1)证明：因为AB=3，BC=3，∠ABC=90∘，所以AC=23，∠BAC=60∘，∠ACB=30∘，

因为∠BCD=∠ADC=60∘，

所以∠ACD=30∘，∠(2)如图，以B为原点，过B作AP的平行线为z轴，BC，BA所在直线分别为x轴和y轴建系，

则B(0,0,0)，A(0,3,0)，P(0,3,1)，C(3,0,0)，D(1,23,0)，

则CD=