2026-2027学年湖南涟源市部分学校高三上学期第一次月考数学试卷（含答案）

/数学一、单选题（共8小题，每题5分，共40分）1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知，且为第二象限角，则（）A. B. C. D.3.若正实数满足，则的最小值为（）A.4 B.8 C. D.4.已知，则（）A. B. C. D.5.函数在定义域上的奇偶性为（）A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶 D.非奇非偶6.已知曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A. B. C. D.或7.在中，角对边分别为，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.若函数在上单调递增，则a的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（共3题，每题6分，部分对的得部分分，选错得0分）9.下列不等式恒成立的有（）A. B. C. D.10.关于函数，下列说法正确的有（）A.函数的最小正周期为 B.函数的图象关于点对称C.函数在上单调递增 D.将向右平移个单位得到11.已知函数，则下列结论正确的有（）A.的极大值为 B.有两个不同的零点C. D.若，则三、填空题（共3小题，每题5分，共15分）12.已知关于x的不等式的解集为，则______13.在中，，，，为中点，则的长度为______14.若关于x的不等式恒成立，则实数m的最大值为______三、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在中，角对边分别为，已知（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的值．16.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若在处取得极值，证明：当时，．17.已知函数．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，求的最大值和最小值，以及对应的x的值.18.如图，在四棱锥中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点.（1）证明：；（2）当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为.19.已知常数，函数.（1）若，求的取值范围;（2）若、是的零点，且，证明:.

数学一、单选题（共8小题，每题5分，共40分）1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：解不等式，，.2.已知，且为第二象限角，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，且为第二象限角，所以，所以.3.若正实数满足，则的最小值为（）A.4 B.8 C. D.答案：A解析：思路：利用“1的代换”的方法，结合基本不等式求解即可.解答过程：将等式两边同时除以，可得：，所以，因为，所以，当且仅当，即，结合，可得时取等号，故的最小值为4.4.已知，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用倍角公式，将条件代入计算即可.解答过程：故选：D.5.函数在定义域上的奇偶性为（）A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶 D.非奇非偶答案：A解析：解答过程：定义域为，，所以，所以函数在定义域上为奇函数.6.已知曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A. B. C. D.或答案：D解析：思路：利用切线斜率，结合导数直接求解即可.解答过程：由题得，，令，即，解得或，代入原函数得，或，即点的坐标为或.7.在中，角对边分别为，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由余弦定理得：，所以，因为，所以，所以由正弦定理得：，所以，，所以，因为，所以,所以，因为，所以，.8.若函数在上单调递增，则a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为函数在上单调递增，所以在上大于等于零恒成立，（不恒为零），等价于恒成立，令，则，易得当时，单调递减；当时，单调递增，所以，当时，，当时，，所以.二、多选题（共3题，每题6分，部分对的得部分分，选错得0分）9.下列不等式恒成立的有（）A. B. C. D.答案：ABCD解析：思路：利用基本不等式和重要不等式，逐个选项判断即可.解答过程：对于A，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，A正确；对于B，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，B正确；对于C，因为，，所以，即，C正确；对于D，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，而，所以，符合该式，D正确.10.关于函数，下列说法正确的有（）A.函数的最小正周期为 B.函数的图象关于点对称C.函数在上单调递增 D.将向右平移个单位得到答案：AC解析：解答过程：选项A.函数的最小正周期为，选项A正确；选项B.将代入，得到，所以函数的图象不关于点对称，故选项B错误；选项C.因为，所以，所以，设，因为是单调递增函数，在内是单调递增函数，所以在上单调递增，故选项C正确；选项D.将向右平移个单位，得到，故选项D错误.11.已知函数，则下列结论正确的有（）A.的极大值为 B.有两个不同的零点C. D.若，则答案：AC解析：思路：选项A，结合分析函数单调性，进而确定极值；选项B，结合函数零点定义判断即可；选项C，根据在区间的单调性判断大小；选项D，结合选项A和函数图象，判断和的关系，进而判断大小.解答过程：选项A：由，，得，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，即，A正确；选项B：由，则只有一个零点，B错误；选项C：因为和都在区间内，且在上单调递增.因为，所以，即，C正确；选项D：由A知，在上单调递增，在上单调递减，且时，，画出的图象，由，可知必位于两侧，即，则恒成立，D错误.三、填空题（共3小题，每题5分，共15分）12.已知关于x的不等式的解集为，则______答案：0解析：解答过程：已知不等式：的解集为，由此可知：一元二次方程的两个根为，，且，由韦达定理得，解得，所以.13.在中，，，，为中点，则的长度为______答案：解析：思路：借助向量的线性运算、模长与数量积的关系计算即可.解答过程：因为为中点，则，所以，所以的长度为.14.若关于x的不等式恒成立，则实数m的最大值为______答案：##解析：思路：同构思想：把不等式两边整理成同一个函数的形式，利用单调性脱去外层函数，转化为普通恒成立求最值问题.解答过程：首先，，令，则，所以在定义域内严格单调递增，所以若有成立，则必有，即对于任意的恒成立，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，从而，所以m的取值范围是，即实数m的最大值为．三、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在中，角对边分别为，已知（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理得，求出；（2）由面积公式得出，再根据余弦定理得到.（1）由正弦定理，得，左边为，因为，所以，即，又，得.（2）由面积公式，得，由余弦定理，代入，得，得．16.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若在处取得极值，证明：当时，．答案：（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）因为在处取得极值，所以，所以，令，则，因为，所以，函数单调递增，所以，所以，解析：思路：（1）求导，对与的大小进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）利用极值点求出的值，令，求导进行证明；（1），令，因为恒成立，所以或，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）略17.已知函数．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，求的最大值和最小值，以及对应的x的值.答案：（1），（2）时，有最大值2，当时，有最小值．解析：（1）因为，所以，则，因为，所以，解得，则的单调递增区间为.（2）因为，所以，则时，有最大值2，当时，有最小值．18.如图，在四棱锥中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点.（1）证明：；（2）当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为.答案：（1）过作，垂足为，由题意知：为矩形，可得，由，则为等边三角形，且F为线段BC的中点，则，又因为平面平面ABCD，平面平面，平面，可得平面ABCD，且平面，所以.（2）2解析：思路：（1）过作，垂足为，分析可知为等边三角形，可得，结合面面垂直的性质可得平面ABCD，即可得结果；（2）取线段的中点，连接，建系，设，求平面PAD的法向量，利用空间向量处理线面夹角的问题.（1）略（2）由（1）可知：平面ABCD，取线段的中点，连接，则∥，，又因为，可知，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，因为E为线段PF上一点，设，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，由题意可得：，整理得，解得，所以当，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为.19.已知常数，函数.（1）若，求的取值范围;（2）若、是的零点，且，证明:.答案：（1）（2）由（1）知，的定义域为，在上单调递减，在上单调递增，且是的极小值点.、是的零点，且，、分别在、上，不妨设，设，则当时，，即在上单调递减.，，即，，，，，又，在上单调递增，，即.解析：思路：（1）求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，求出函数的最小值，依题意，即可求出的取值范围；（2）由（1）不妨设，设，利用导数说明函数的单调性，即可得到，结合及的单调性，即可证明.（1）由已知得的定义域为，且，当时