广东省佛山市南海区石小实验学校2026-2027学年九年级（上）第一次学情调研数学试卷(含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年广东省佛山市南海区石小实验学校九年级（上）第一次学情调研数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知线段a,b,c,d是成比例线段，其中a=2，b=4，c=5，则d等于（）A.1 B.10 C.2.5 D.7.52.一元二次方程x（x-2）=0的根是（）A.x=2 B.x=0 C.x1=0，x2=-2 D.x1=0，x2=23.数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具.老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（）A.∠B=90° B.AB=BC C.AB∥CD D.∠B=∠D4.根据下列表格中的对应值，可以判断关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是（）x00.511.52ax2+bx+c-15-8.75-25.2513A.0＜x＜0.5 B.0.5＜x＜1 C.1＜x＜1.5 D.1.5＜x＜25.一元二次方程x2+5x+6=0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根 D.不能确定6.在▱ABCD中，E是AD上一点，AC，BE交于点O，若AE：ED=1：2，OE=2，则OB的长为（）

​​​​​​​

A.4 B.5 C.6 D.77.要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场.设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（）A.x（x+1）=90 B.x（x-1）=90 C.x（x+1）=90 D.x（x-1）=908.如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）

​​​​​​​A. B. C. D.9.三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程x2+2x-35=0即x（x+2）=35为例说明，记载的方法是：构造如下图，大正方形的面积是（x+x+2）2.同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x=5.则在下面四个构图中（网格中每个小正方形边长为1个单位），能正确说明方程：x2-x-6=0解法的构图是（）A. B. C. D.10.两边长的比值是黄金数的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给人们协调和匀称的美感.我们通过如下作图来画黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AB、CD的中点E、F，连接EF；以点E为圆心，以ED长为半径画弧，交BA的延长线于点G；作GH⊥CD，交CD的延长线于点H，则图中黄金矩形的个数是（）（注：）A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.请写出一个关于x的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是

.12.若，则=

.13.现有大小相同的正方形纸片20张，小亮用其中2张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她至少要用

张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开）．14.已知一元二次方程x2+2x-12=0的两根为x1、x2，则=

．15.如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AB=20cm.在矩形DEFG中，EF=30cm,DE=10cm,△ABC在矩形DEFG的左侧，AB与EF在一条直线上，且点B与点E重合：△ABC以1cm/s的速度沿直线AF从左向右运动（矩形DEFG保持不动），直到点A运动到与点F重合时运动停止，设运动时间为t秒，当△ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为82cm2时，t的值为

.

三、计算题：本大题共1小题，共8分。16.解方程：x（x+2）=3x+6．四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长.18.(本小题8分)

如图，在△ABC中，AB=AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D=∠CAE.

（1）求证：△ABD∽△ECA；

（2）若AC=6，CE=4，求BD的长度.19.(本小题9分)

2025年，平遥古城依托其深厚的文化底蕴，旅游经济持续向好.据统计，2023年平遥县全年接待游客量为1000万人次，预计到2025年全年，接待游客量将达到1440万人次.

（1）求2023年到2025年这两年平遥县游客量的年平均增长率.

（2）平遥某特产店销售一款“平遥推光漆器”纪念品，已知该纪念品平均每天可售出20个，每个盈利40元.在2025年“十一”黄金周期间，该店决定降价促销.如果每件降价1元，平均每天可多售出2件.在每个纪念品盈利不少于25元的前提下，要使该纪念品每天盈利1200元，每个纪念品应降价多少元？20.(本小题9分)

如图1、图2、图3均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的画图痕迹．

(1)在图1中，画一个以AB为边的既是轴对称又是中心对称的四边形(2)在图2中以点A为位似中心、以线段AD为边画一个△ADE，使它与△ABC位似(3)在图3中的线段AB上画一个点P，使

21.(本小题9分)

如图，在△ABC中，AB=BC，点O为AC的中点，连接BO.过点A作BC的平行线，交BO的延长线于点D，连接CD.过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E.

（1）求证：四边形ABCD为菱形.

（2）若OB=AC=2，求CE的长.22.(本小题12分)

定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根均为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的判别式Δ=b2-4ac一定为完全平方数．现规定F（a,b,c）=为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”x2-3x-4=0的两根均为整数，其“最值码”F（1，-3，-4）=．现探究以下问题：(1)若关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-m-1=0是一个“全整根方程”．

①当m=3时，该方程的“最值码”是______；

②若m为整数，且1＜m＜8，求m的值(2)对于“全整根方程”x2+bx+c=0（b、c为整数），若这个“全整根方程”F（1，b,c）=-n（n为正整数），且方程的两根x1，x2满足|x1-x2|≤6，请直接写出该方程的“最值码”所有可能的值23.(本小题12分)

如图1，在▱ABCD中，点M是BC边上的一点，连接AM．若S△ABM=．

(1)【初步感知】=

(2)【问题解决】如图2，作射线DM与AB的延长线相交于点P，连接CP，AM的延长线与CP相交于点N．试探究线段CP与线段CN之间的数量关系，并证明你的结论(3)【变式探究】如图3，连接BD，BD与AM交于点E，连接CE．当∠ABD=∠CEM时，AB与AE之间的关系是AB=k•AE，求k的值

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】C

10.【答案】C

11.【答案】x2-1=0（答案不唯一）

12.【答案】

13.【答案】8

14.【答案】

15.【答案】14或36

16.【答案】解：x（x+2）-3（x+2）=0，

（x+2）（x-3）=0，

x+2=0或x-3=0，

所以x1=-2，x2=3．

17.【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，，

∴OA=OB，

∵∠AOD=120°，

∴∠AOB=180°-∠AOD=60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴OA=OB=AB=2.5，

∴AC=BD=5，

即矩形对角线长为5．

18.【答案】（1）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠D=∠CAE，

∴△ABD∽△ECA

（2）BD=9

19.【答案】解：（1）设这两年平遥县游客量的年平均增长率为x,

则1000（1+x）2=1440，

∴（1+x）2=1.44，

解得：x1=20%，x2=-2.2（舍去），

∴这两年平遥县游客量的年平均增长率20%；

（2）设每个纪念品应降价x元，

由题意得，（40-x）（20+2x）=1200，

解得x1=10，x2=20，

当x=20时，每个纪念品盈利20元，不符合题意；

当x=10时，每个纪念品盈利30元，符合题意；

∴每个纪念品应降价10元．

20.【答案】【小题1】如图，正方形ABNM即为所求；

【小题2】如图，△ADE即为所求；

【小题3】如图，点P即为所求．

21.【答案】（1）∵点O为AC的中点，

∴OA=OC．

∵AD∥BC，

∴∠OAD=∠OCB（两直线平行，内错角相等）．

在△AOD和△COB中，

，

∴△AOD≌△COB（ASA）．

∴AD=BC（全等三角形对应边相等）．

又∵AD∥BC，

∴四边形ABCD为平行四边形．

又∵AB=BC，

∴四边形ABCD为菱形

（2）

22.【答案】【小题1】①-4；②m=3【小题2】∵，

∴，

∴4c-b2=-9n,

∴Δ=b2-4c=9n,

∵|x1-x2|≤6，

∴，

，

对于方程x2+bx+c=0，由根与系数的关系可得x1+x2=-b,x1x2=c,

∴，

，

，

，

n≤4，

根据题意Δ=9n一定为完全平方数，

而9是平方数，

∴n为平方数，

∵n是正整数，

∴n=1或n=4，

∴或，

∴该方程的“最值码”为或-9

23.【答案】【小题1】【小题2】CP=3CN．

证明：如图2，连接BD交AN于点F，

由（1）知，

∴，

∴BM=CM．

∵AB∥CD，

∴∠BPM=∠CDM．

∵∠CMD=∠BMP，

∴△BPM≌△CDM（AAS），

∴CD=BP，

∴四边形CDBP为平行四边形，AB=BP，

∴BD∥CP，

∴∠NCM=∠FBM，△ABF∽△APN，

∴，

∴．

在△NCM和△FBM中，

，

∴△NCM≌△