河南省郑州学森实验学校2026-2027学年高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年河南省郑州学森实验学校高二（上）第一次月考数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.直线x+y+1=0的倾斜角是（）A. B. C. D.2.已知直线l1：x+ay+1=0，l2：（a-1）x+y+a=0，则下列说法正确的是（）A.当a=1时，直线l1的倾斜角为45° B.当l1⊥l2时，

C.若l1∥l2，则a=-1 D.直线l2的纵截距为-a3.直线l1：ax-y+2025=0，l2：（3a-2）x+ay-2a=0，若l1⊥l2，则实数a的值为（）A.0 B.1 C.0或1 D.或14.已知直线过点（1，2），且在x轴与y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（）A.x-y+1=0 B.x+y-3=0 C.2x-y=0或x-y+1=0 D.2x-y=0或x+y-3=05.已知两点A（1，-2），B（2，1），直线l过点P（0，-1）且与线段AB有交点，则直线l的倾斜角的取值范围为（）A. B. C. D.6.在三棱台ABC-A1B1C1中，AB=BC=2，BB1=A1B1=1，且，若BB1⊥平面ABC，则点B到直线AC1的距离为（）A.

B.

C.

D.7.已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的最小值为（）A.4 B.5 C. D.98.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DA，BB1的中点，M，N分别为线段D1A1，A1B1上的动点（不包括端点）满足EN⊥FM，则线段MN的长度的取值范围为（）A. B. C.（-3，2） D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知直线l：ax-y+2=0，则（）A.l过定点（0，2） B.当a=1时，l与直线x+y=0垂直

C.当a=-1时，l与直线x+y=0平行 D.当a=1时，l在两坐标轴上的截距相等10.已知空间向量=（2，-1，1），=（1，2，3），则下列结论正确的是（）A.=（3，2，5）与，共面

B.||=26

C.在上的投影向量为

D.与夹角的余弦值为11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AD，AB，BC的中点，点P为线段D1F上的一点，则下列说法正确的是（）A.平面FCC1⊥平面BEP

B.直线BE与GC1所成角的余弦值为

C.平面BED1与平面BCC1B1夹角的余弦值为

D.点P到直线CD的距离的最小值为1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知空间向量，，且，则=

.13.一条光线从点P（6，4）射出，与x轴相交于点Q（4，0），经x轴反射，求反射光线所在的直线方程

.14.已知边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=60°，E为AB边的中点，将△ABC沿对角线AC翻折，在翻折过程中，记直线AC与DE所成的角为θ，当平面ABC⊥平面ADC时，tanθ=______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AD=∠BAD=∠A1AB=60°，AB=AD=1，AA1=2，E为A1C1与B1D1的交点.

（1）用向量，，表示；

（2）求线段AE的长；

（3）求异面直线AE与BD所成的角.16.(本小题15分)

已知向量.

（1）求；

（2）求与的夹角；

（3）若与垂直，求实数t的值.17.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=1，AA1=2，点E，F分别为线段AC1和B1C的中点.

（1）证明：EF∥平面ABC；

（2）求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值；

（3）求直线EF与直线A1B1间的距离.18.(本小题15分)

已知直线l：kx-y+2+4k=0（k∈R）.

（1）证明：直线l过定点；

（2）若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；

（3）若直线l交x轴的负半轴于点A.交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2，AD=2BC=2AB=4，AD∥BC，∠BAD=90°．

（1）证明：平面PAC⊥平面PCD；

（2）求三棱锥B-PAD的体积；

（3）在棱PA上是否存在点M，使得平面PCD与平面CDM的夹角为30°？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】ABC

10.【答案】AD

11.【答案】AC

12.【答案】

13.【答案】2x+y-8=0

14.【答案】

15.【答案】解：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AD=∠BAD=∠A1AB=60°，

AB=AD=1，AA1=2，E为A1C1与B1D1的交点，

∴由空间向量线性运算法则得：

．

（2）∵．

∴由向量数量积性质得：

=

=，

∴线段AE的长为．

（3）∵由向量数量积性质得：

=（）•（）

=

=，

∴⊥，

∴异面直线AE与BD所成的角为90°．

16.【答案】解：（1）∵，

∴，

∴；

（2）∵，

∴，

∴，

，，

设与的夹角为θ，

则，

又θ∈[0，π]，∴，

∴与的夹角为．

（3）∵，

∴，，

∵与垂直，∴，

∴-1×（-1-t）+（-2）×2t+2×1=0，解得t=1，

∴若与垂直，则实数t的值为1．

17.【答案】证明：连接BC1，如图所示：

因为CF=FB1，且四边形BCC1B1为矩形，

所以C1F=BF，

又因为AE=EC1，所以EF∥AB，

因为AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，

所以EF∥平面ABC

18.【答案】解：（1）证明：由方程kx-y+2+4k=0得：k（x+4）+（2-y）=0，所以对任意的k,点（-4，2）都满足方程，

所以直线l过定点；

（2）根据题意知，k≠0，对于直线l：x=0时，y=2+4k；y=0时，x=，

所以，整理得：2k2-k-1=0，解得：k=1或，

所以直线l的方程为：x-y+6=0或x+2y=0；

（3）根据（2）知：，解得k＞0，所以由题意得：S==，

当且仅当，即k=时取等号，

所以S的最小值为16，此时l的方程为：x-2y+8=0．

19.【答案】解：（1）证明：因为在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，

又PC=PD=CD=，AD=2BC=2AB=4，AD∥BC，∠BAD=90°，

设DC中点G，连接PG，AC，

所以，

因为，所以AC2+CD2=AD2，则AC⊥CD，

因为PC=PD，G为CD中点，所以PG⊥CD，

因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，所以PG⊥平面ABCD，

因为AC⊂平面ABCD，所以PG⊥AC，又PG⊥CD，PG∩CD=G，

所以AC⊥平面PCD，又AC⊂平面PAC，

所以平面PAC⊥平面PCD；

（2）由（1）可知，PG⊥平面ABCD，因为，所以，

则．

（3）在棱PA上存在点M，使得平面PCD与平面CDM的夹角为30°，M为PA上靠近P的三等分点，

证明如下：

设AD中点为Q，

由（1）得PG⊥平面ABCD，又CB，CQ⊂平面ABCD，则PG⊥CB，PG⊥CQ，

过C作PG的平行线CN，

则以C为原点，CQ所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CN所在直线为z轴，建系如图：

由题意