上海市长宁区2026-2027学年第一学期九年级数学期中考试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页上海市长宁区2026-2027学年第一学期九年级数学期中考试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，在中，，，，则的长为（

）

A.10 B.6 C. D.2.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-2x-1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是（）A.y=（x+1）2+1 B.y=（x-3）2+1 C.y=（x-3）2-5 D.y=（x+1）2+23.如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点．连接、、，与交于点，则下列结论错误的是（

）

A.四边形是菱形 B.

C. D.4.如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（

）

​​​​​​​A. B. C. D.5.如图，在中，，、分别是斜边上的高和中线，下列结论不一定成立的是（

）

A. B. C. D.6.如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（

）

A.个 B.个 C.个 D.个二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。7.已知，则的值为

．8.如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段

的长为

．

9.如图，在平面直角坐标中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在原点同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为，则点的坐标为

．

10.如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，EF⊥AC于点F．若tan∠BAC=2，EF=1，则AE的长为

．

11.如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，莹莹同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知莹莹的眼睛离地面高度为，同时量得莹莹与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为

．

12.已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是

．13.平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点分别是两腰的黄金分割点时，我们称这条线段是梯形的“黄金分割线”．如图，在梯形中，，，，点、分别在边、上，如果是梯形的“黄金分割线”，那么

．

14.如图,抛物线y=+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为

.

15.如图,在正方形纸片ABCD中,E是边AB的中点,将正方形纸片沿EC折叠,点B落在点P处,延长CP交AD于点Q,则tanDCQ的值为

.

16.如图，在和中，，，与相交于点F，点D在边上，，，则的值为

．

三、计算题：本大题共1小题，共3分。17.计算：．四、解答题：本题共6小题，共99分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题16分)已知，如图：直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，点B的坐标为．

(1)求直线和抛物线的函数解析式；(2)如果抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标．19.(本小题17分)小麦是我国北方农村主要农作物，根据今年的种粮经验发现：种植甲品种小麦获得利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，种植乙品种小麦获得利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系（如图所示），已知函数，的图象交点为，，函数的图象与轴交于点．

(1)求，的函数表达式；(2)观察图象，当投资金额（万元）在

时，单独种植乙小麦获得利润大；（写出范围）(3)若某农户准备明年共投资10万元同时种植甲、乙两种小麦，怎样分配资金，可获得最大利润？最大利润是多少？20.(本小题16分)某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下．活动主题地下车库入口改造采集信息图1是地下车库入口示意图．①点C、B、D在同一水平线上，点E、A、F在同一水平线上．，经测量得．②斜坡的长为，坡度为．③改造前车库限高标志上的数值为（该数值只是改造前的标识值，不参与本次计算）．设计方案如图2，保持点A不动，将点B沿射线平移到点，使坡度改为．注：（参考数据：，，）．请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务．(1)任务一：求的长．（结果保留根号）(2)任务二：改造后，在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为

．（结果保留一位小数）21.(本小题16分)如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、，，延长交于点，交于点．

(1)求证：四边形为正方形；(2)如果，求证：．22.(本小题16分)如图，在平面直角坐标系xOy中,抛物线与轴交于点和点，与轴交于点,顶点为．

(1)求该抛物线的表达式的顶点的坐标；(2)将抛物线沿轴上下平移,平移后所得新拋物线顶点为,点的对应点为．①如果点落在线段上,求的度数；②设直线与轴正半轴交于点,与线段交于点,当时,求平移后新抛物线的表达式．23.(本小题18分)已知在矩形中，，.是对角线上的一个动点（点不与点，重合），过点作，交射线于点.连接，画，交于点.设，.

(1)当点，，在一条直线上时，求的面积；(2)如图1所示，当点在边上时，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；(3)连接，若，请直接写出的长.

1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】

8.【答案】

9.【答案】

10.【答案】

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】-2

15.【答案】

16.【答案】

17.【答案】解：．

18.【答案】【小题1】设直线的解析式为，解得直线的解析式为，抛物线过点抛物线的函数解析式为；【小题2】直线与抛物线相交于B，C两点，，即解得当时，直线令，得

所以当时，

19.【答案】【小题1】解：由题意可设，当时，，，解得，即．由题意可设，当时，，当时，，，解得，即；【小题2】

【小题3】解：设某农户明年种植甲，乙两种小麦获取的总利润为万元，其中种植甲种小麦的投资金额为万元，则种植乙种小麦的投资金额为万元，由题意得，整理得，配方得，答：种植甲种小麦的投资金额为万元，种植乙种小麦的投资金额为万元时，获得利润最大，最大利润为万元．

20.【答案】【小题1】解：如图，作交直线于，∵，∴，∵斜坡的坡度为，∴，即，∵斜坡的长为，∴，即解得：（负值舍去），∴，∵，∴，∵保持点A不动，将点B沿射线平移到点，使坡度改为，∴，即，∴；【小题2】​​​​​​​

21.【答案】【小题1】证明：∵，∴，即，∵在和中，，∴∴，∵，∴四边形是矩形，∵，∴四边形为正方形．【小题2】证明：连接，∵四边形是正方形，是正方形的对角线，∴，，，由勾股定理得：，∵，∴，即，∵，∴，∵由（）知，即，∴，∵是的外角，∴，在中，由内角和定理：，∴，整理得，∵，∴，∵在和中，∴，∴，即，代入，得：．

22.【答案】【小题1】抛物线与轴交于点和点，，解得：所以抛物线的解析式为：，

抛物线的顶点【小题2】①，令则

设直线为：

解得：所以直线为：设平移后的抛物线为：

抛物线的顶点为：在上，

所以新的抛物线为：同理可得：

②如图，连接同理可得：

由平移的性质可得：则

设平移后的抛物线为：同理：且