1.2菱形的性质与判定（2）-北师大版数学九上分层同步过关训练

1.2菱形的性质与判定（2）-北师大版数学九上分层同步过关训练一、基础训练1．下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（）A． B．C． D．2．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（）A． B．C． D．3．如图，用直尺和圆规作菱形ABCD，作图过程如下：①作锐角∠A；②以点A为圆心，以任意长度为半径作弧，与∠A的两边分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，以AD的长度为半径作弧，两弧相交于点C，分别连接DC，BC，则四边形ABCD即为菱形，其依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四条边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形4．如图，小明作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求。连结AC，BC，AD，BD，根据他的作图方法可知，四边形ADBC一定是（）。A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形5．如图，▱ABCD，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件，能使▱ABCD变为菱形的是（）A．AB=AC B．AC=BD C．∠ABC=90° D．AC⊥BD6．如图，已知线段AB=8cm，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ACBD的面积为.7．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连结AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连结AN，CM，则四边形ANCM是菱形．则小米的依据是8．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：，使四边形ABCD成为菱形．9．如图，AB＝BC，AE∥BC，连接AC.（1）尺规作图：在AE上作点D，连接BD，使得BD平分∠ABC.（保留作图痕迹，不写作法.）（2）连接CD，求证：四边形ABCD是菱形.10．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF．（1）求证：AF=CE；（2）若AF=CF，说明四边形AFCE为菱形．二、巩固提升11．如图，▱ABCD的对角线交于点O，下列条件不能判定▱ABCD是菱形的是（）A．AB=AD B．∠ABD=∠ADB C．∠AOB=90° D．AB=CD12．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为三边BC，CA，AB的中点，则图中共有菱形（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个13．小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A=44°，则∠CBD的大小是（）A．64° B．66° C．68° D．70°14．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（）A．∠BAC=∠BCA B．∠ABD=∠CBD C．OA2+O15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，BE平分∠ABC并交AC于点E，交AD于点F，FG∥BD，交AC于点G，过点E作EH⊥CD于点H，连结FH。给出下列结论：①四边形CHFG是平行四边形；②AE=CG；③FE=FD；④四边形AFHE是菱形。其中正确的结论有（）。A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④16．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断（）A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误17．如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，添加一个条件：，可使四边形AECF为菱形。18．如图，过▱ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE．若GH=25，EO=15，则四边形EFGH的面积为．19．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是AC，BD的中点，连接MF,FN,NE,EM，要使四边形EMFN为菱形，则四边形ABCD需满足的条件是．20．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN.

（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=6AD=8，求菱形BMDN的面积.21．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，点E在BC上，过A点作BC的平行线交ED的延长线于点F，连接AE，CF.（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）若AC=25三、能力应用22．数学课上，老师请同学们画出一个菱形．（1）小红的作法是：如图①，先用直尺画线段AB，再以点A为圆心，AB长为半径画弧，在弧上取一点D，连结AD，再分别以B、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C，连结DC、BC，则四边形ABCD是菱形，小红作菱形的依据是．（2）小刚的做法是：如图②①作线段AC；②作线段AC的垂直平分线EF，交AC于点O；③在EF上截取OB＝OD；④连结AB、BC、CD、DA．请你证明小刚作的四边形ABCD是菱形．23．阅读与探究【问题背景】我们发现：用构造菱形的思路可以解决绝大多数尺规作图的问题．菱形的四条边相等、每一条对角线平分一组对角、对角线互相垂直平分、对边平行等性质，可以应用在角平分线、垂直平分线、平行线、垂线的尺规作图．学习小组受到启发，对尺规作图作菱形展开了探究．【学习任务】精英组：如图1，以∠NAM顶点A为圆心，适当长为半径作弧，交AM于点B，交AN于点D，再分别以点B，D为圆心，AB的长为半径作弧，两弧在∠NAM的内部相交于点C，作射线AC，则射线AC为∠NAM的平分线．火箭组：如图2，作矩形ABCD的边AD的垂直平分线HF，分别交AD，BC于点H，F，再作线段HF的垂直平分线EG，分别交AB，CD于点E，G，HF和EG交于点O，顺次连接E，F，G，H，则四边形EFGH是菱形．【解决问题】（1）如图1，四边形ABCD的形状是；（2）如图2，求证：四边形EFGH是菱形；（3）①如图3，以▱ABCD的对角线AC和BD的交点O为对称中心作菱形EFGH，使其四个顶点分别在▱ABCD的边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）②当①中所作菱形EFGH其中一条对角线与▱ABCD的一边平行时，菱形EFGH的面积S1与▱ABCD的面积S

参考答案1．B2．C3．B4．B5．D6．24c7．对角线互相垂直的平行四边形是菱形8．AD∥BC（答案不唯一）9．（1）如图，点D即为所求；（2）证明：∵AE∥BC∴∠ADB＝∠CBD∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠CBD∴∠ADB＝∠ABD∴AB＝AD∵AB＝BC∴AD＝BC∵AE∥BC，即AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形.10．（1）证明：连接AC交BD于点O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF=CE；（2）证明：由（1）得：四边形AFCE是平行四边形，又∵AF=CF，∴平行四边形AFCE为菱形．11．D12．B13．C14．D15．D16．C17．AE=EC(答案不唯一)18．60019．AB=CD20．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠MDO=∠NBO，∵MN是BD的垂直平分线，∴OB=OD，MN⊥BD，∵∠MOD=∠NOB，∴△MOD≅△NOB(ASA)∴OM=ON∵对角线BD和MN互相平分，∴四边形BMDN是平行四边形，∵MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形；（2）解：设BN=BM=DM=x，则AM=8-x

在Rt△ABM中，由勾股定理得

62+(8−x)2=x221．（1）证明：∵D为AC的中点，∴AD=CD，∵AF∥BC，∴∠DAF=∠DCE，∠DFA=∠DEC，

在△ADF和△CDE中，∠DAF=∠DCE∴△ADF≅△CDE(AAS),∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF为平行四边形；（2）解：∵∠ABC=90°，AC=25，AB=2，∴BC=∵四边形AECF为平行四边形，EF⊥AC，∴平行四边形AECF为菱形，∴AE=CE，设AE=CE=x(x>0)，则BE=BC-CE=4-x，在Rt△ABE中，AB2解得x=∴CE=22．（1）四边相等的四边形是菱形（2）解：由作图知，EF平分AC，∴OA=OC∵OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BD⊥AC∴四边形ABCD是菱形．23．（1）菱形（2）解：∵HF垂直平分AD、EG垂直平分HF，∴HF⊥AD、EG⊥HF，∴AD∥EG，∴HF垂直平分EG，∴EO=OG，∵EG垂直平分HF，∴OH