《工程力学（第二版）》全套教学课件

培育知行合一的工程力学专业素养工程力学（第二版）全套可编辑PPT课件目录单元一力学基础知识单元二杆件和结构的受力分析与受力图单元三平面力系的合成与平衡单元四空间任意力系单元五轴向拉伸和压缩单元六扭转单元七平面弯曲单元八应力状态与强度理论单元九组合变形单元十压杆稳定工程力学单元一力学基础知识单元一力学基础知识教学重点学习方法学习任务学习目标教学内容教学反思掌握刚体、变形固体定义，理解变形固体三大基本假设，分清弹性变形、塑性变形理解力的概念、力的内外效应，掌握力的三要素，熟记静力学四大公理及两个推论掌握力对点之矩定义、计算公式、力矩性质，会运用合力矩定理计算力矩掌握力偶概念、力偶矩计算公式，掌握力偶三要素以及核心性质知识目标能根据工程问题正确选择刚体或变形固体力学模型能够辨析二力平衡、作用力-反作用力易混淆概念熟练完成力矩、力偶矩计算，会用合力矩定理简化求解结合建筑、生活实例解释力矩、力偶实际作用效果能力目标建立工程理想化模型思维，养成严谨规范计算、绘图职业习惯树立土建工程安全责任意识，培养求真务实的工匠精神体会力学对建筑工程的支撑作用，激发专业学习使命感素养目标学习任务教学重点学习方法学习目标教学内容教学反思单元一力学基础知识单元一力学基础知识1.刚体、变形固体概念与工程适用场景2.静力学四大公理及推论3.力矩计算公式、合力矩定理应用4.力偶概念、力偶核心性质1.区分二力平衡公理与作用力与反作用力公理2.合力矩定理实际计算题应用3.理解力偶不能等效为一个力，力偶只能与力偶平衡学习任务学习目标学习方法学习重点教学内容教学反思小组讨论法例题模仿法错题归纳法对比记忆法总结提升交流碰撞，互助解惑模仿步骤，规范解题复盘错题，规避重复辨析异同，加深记忆知行合一，巩固成效主动发言，分享见解吃透例题，举一反三分析根源，总结规律制作表格，直观对比定期回顾，温故知新每周2次深度讨论每日1-2道典型题考前重点复习错题梳理易混概念清单灵活运用，融会贯通掌握科学的学习方法，是提升本章知识吸收效率的关键所在学习任务学习目标学习重点学习方法教学内容教学反思单元一力学基础知识单元一力学基础知识任务一

刚体与变形固体01场景描述

评估塔吊是否倾倒时，将其视为不变形的刚体；设计内部钢梁时，需考虑微小变形，此时它是变形固体。同一结构因研究目的不同，需切换力学分析视角。02核心思考

力学分析需根据研究对象灵活选择模型。理解刚体与变形固体的本质区别，是掌握工程力学分析的基础，也是后续学习结构设计与强度校核的关键前提。案例导入：塔吊的“双重身份”单元一力学基础知识·刚体与变形固体核心特征：

物体内部任意两点间的距离始终保持不变，几何形状与尺寸绝对恒定。典型应用：

常用于静力学平衡问题分析、机械结构受力计算及建筑力学中的框架分析。研究价值：

剥离次要的变形因素，聚焦物体的整体运动与受力传递，简化数学建模过程。刚体的定义与本质刚体是指受力作用而不变形的物体。实际上，任何物体受力作用都会发生或大或小的变形。但在一些力学问题中，物体变形这一因素与所研究的问题无关，或对所研究的问题影响甚微。这时，就可以不考虑物体的变形，将物体视为刚体，从而简化所研究的问题。现实近似：

现实中无绝对刚体，但钢材、混凝土等坚硬材料在常规受力下可近似视为刚体。单元一力学基础知识·刚体与变形固体刚体的定义与本质变形固体核心定义当物体的变形成为影响力学问题求解的关键因素时，需将其视为“理想变形固体”。这是材料力学区别于刚体力学的核心前提，忽略变形将无法正确分析构件的受力、强度与失效规律。应用场景：

聚焦构件的强度、刚度与稳定性分析，是工程结构设计的理论基石。连续性假设：

物体的材料结构是密实的，物体内的材料是无空隙且连续分布的。均匀性假设：

材料的力学性质是均匀的，从物体上任取或大或小的一部分，材料的力学性质均相同。向同性假设：

材料的力学性质是各向同性的，材料沿不同的方向具有相同的力学性质。单元一力学基础知识·刚体与变形固体变形固体的定义与本质工程核心意义准确区分弹性与塑性变形是结构设计的基石。在工程实践中，必须确保结构在正常使用荷载下仅发生弹性变形，严禁出现塑性变形，以防止结构产生不可逆的永久损伤，保障建筑的安全性与使用寿命。弹性变形核心特征：荷载撤去后，变形完全消失，恢复原状本质属性：具有完全可逆性，属于临时的形状改变典型实例：弹簧的拉伸与压缩、橡皮筋的弹性形变塑性变形核心特征：荷载撤去后，部分变形残留，无法复原本质属性：具有不可逆性，形成永久的形状改变典型实例：铁丝弯折后的折痕、金属材料的冷加工单元一力学基础知识·刚体与变形固体力学模型与变形基础刚体模型

理想化模型，忽略物体变形，主要用于研究物体的平衡状态与整体运动规律。变形固体

考虑实际变形，是材料力学研究对象，用于分析构件的强度、刚度与稳定性。基本假设

建立在连续性、均匀性、各向同性三大假设之上，简化工程问题的分析过程。变形分类

分为弹性变形（卸载后恢复原状，可逆）与塑性变形（卸载后残留变形，不可逆）。💡思考：

为何分析桥梁整体受力时视为刚体，而设计钢筋时必须视为变形固体？单元一力学基础知识·刚体与变形固体任务二

力及力的基本性质单元一力学基础知识运动员拉弓时，手的拉力使弓发生弯曲变形，这是力的变形效应（内效应）；当箭被射出时，弓的弹力使箭由静止变为运动，这是力的运动效应（外效应）。两种效应在这一过程中直观呈现，清晰展现了力的作用效果。力的作用效果具有双重性：既能改变物体的形状（产生形变），也能改变物体的运动状态（速度大小或方向的改变）。01场景描述02核心思考案例导入：运动员拉弓手的两种拉力单元一力学基础知识·力及力的基本性质力的定义01力的核心定义力是物体之间的相互机械作用。这种作用具有物质性与相互性，是引起物体运动状态改变或形状尺寸变化的根本原因，是力学分析的基础。外效应（运动效应）：

使物体的运动状态发生改变的效应，称为运动效应或者外效应典型案例：推动静止的木箱（平动）、在驾驶汽车时方向盘（转动）。内效应（变形效应）：使物体的形状及尺寸发生改变的效应，称为变形效应或内效应。力学之父——阿基米德单元一力学基础知识·力及力的基本性质力的三要素●大小：决定力的强弱，单位为牛顿(N)或千牛顿(kN)。

●方向：包含方位与指向，决定力的作用趋势。

●作用点：当作用面积或体积很小时可抽象化为一个点，称为集中力。当力的作用范围不能看作一个点时，则该力称为分布力。力的图示方法●线段长度代表力的大小（需按比例标度）

●箭头指向代表力的方向；

●线段起点或终点代表力的作用点。因为力是一个有大小、有方向的量，所以力是矢量。可以用一个带箭头的线段来表示力的三要素，即线段的长度按选定的比例表示力的大小，线段与某直线的夹角表示力的方位，箭头表示力的指向，线段的起点或终点表示力的作用点。沿力的方向的直线称为力的作用线。力的三要素与表示单元一力学基础知识·力及力的基本性质力系的分类力系是指作用在物体上的一组力，是研究物体受力状态与平衡条件的基础。根据力的作用线分布特征，可分为平面力系与空间力系两大类，其中平面力系是工程力学分析的核心基础。汇交力系各力作用线汇交于同一点，是最基础的力系模型。平行力系各力作用线相互平行，常见于梁与桥梁结构分析。单元一力学基础知识·力及力的基本性质公理1：二力平衡公理2：加减平衡推论：力的可传性核心本质工程价值平衡充要条件力系等效替换作用线滑移不变刚体受力特性结构受力分析等大/反向/共线添加/移除平衡力系沿作用线任意移动静力学理论基石简化复杂受力计算刚体平衡判定力系简化依据受力分析简化推导其他定理机械/土木应用静力学公理单元一力学基础知识·力及力的基本性质公理3公理4推论2核心特征工程应用作用与反作用力的平行四边形三力平衡汇交两物体相互作用力，大小相等、方向相反、沿同一直线两力合成的合力，由平行四边形对角线确定其矢量关系刚体受三非平行力平衡，三力必共面且汇交于同一点同生共灭，性质相同，作用于不同物体，非平衡力矢量运算基础，是力系简化、受力分析的核心依据几何条件判定平衡，快速确定未知力方向的关键定理碰撞分析、支座反力计算、火箭发射反冲原理桁架内力分析、起重设备受力计算、桥梁结构设计机械臂平衡设计、静定结构支座反力的快速求解注意区分：平衡力作用于同一物体，此公理作用于两物可拓展至多边形法则，解决多力合成的复杂问题若已知两力交点，可快速确定第三个力的作用线相互作用与力系合成法则单元一力学基础知识·力及力的基本性质力的三要素及静力学公理01力的定义：

物体间的相互作用，会产生外效应（运动状态改变）与内效应（物体形状变形）。02力的三要素：

包含大小、方向、作用点，这三个要素共同决定了力的作用效果，缺一不可。03力系的概念：

作用在物体上的一组力，按作用线分布特征可分为平面力系与空间力系两大类。04静力学四大公理：

二力平衡公理、加减平衡力系公理、作用与反作用公理、力的平行四边形法则。05核心思考题：

二力平衡公理与作用与反作用公理，在受力对象、作用性质上有何本质区别？单元一力学基础知识·力及力的基本性质任务三

力对点的距单元一力学基础知识场景描述生活中我们都有过这样的体验：使用扳手拧螺母时，在扳手的末端施加力，远比在靠近螺母的位置用力要轻松得多。这一常见现象背后，隐藏着力学中关于转动效果的关键规律。核心思考力的转动效果，不仅取决于力的大小，还与力的作用点到转动中心的距离密切相关，这个距离被称为“力臂”。力臂越长，相同大小的力产生的转动效果越显著。案例导入:使用扳手拧螺丝单元一力学基础知识·力对点的矩扳手拧螺丝的实例图力矩的定义与计算核心概念通常，顺时针转动，螺钉将被拧紧；逆时针转动，螺钉将被松开。因此，通常用力F的大小与O点到力F作用线的垂直距离h的乘积Fh，再冠以适当的正负号，来度量力F使物体绕O点转动的效应，称力F对O点的矩，简称力矩它是矢量，其大小取决于力的大小和力臂的长度，是工程力学中分析刚体转动的基础。计算公式：

mO（F）=±Fh（F为力的大小，h为矩心到力线的垂直距离）。符号法则：

逆时针转动为正(+)，顺时针转动为负(-)，表征转动方向。关键要素：

力臂h是矩心到力作用线的垂直距离，而非矩心到力作用点的距离。计量单位：

国际单位制为牛顿·米（N·m），工程中常用千牛·米（kN·m）。单元一力学基础知识·力对点的矩合力矩定理核心内容合力对平面内任一点的矩，等于其各分力对同一点的矩的代数和。这是静力学中最基础的定理之一，它揭示了力矩的叠加性，将复杂的合力矩计算转化为简单的分力矩代数运算。实际应用场景当力臂不易直接测量或力的方向复杂时，可将力分解为正交分力（如水平与竖直方向），分别计算各分力对该点的矩，再求代数和。此方法在机械设计、建筑结构分析等领域广泛应用，能大幅简化计算过程。单元一力学基础知识·力对点的矩力矩核心知识回顾01力矩定义

力使物体绕某点转动的效应，计算公式为：m₀(F)=±F·h。02力臂概念

矩心到力作用线的垂直距离，是决定力矩大小的关键几何要素。03基本性质

矩心位置决定力矩大小；力沿作用线移动力矩不变；力过矩心时力矩为零。04合力矩定理

合力对某点的矩，等于各分力对同一点矩的代数和，即M₀(R)=Σm₀(Fᵢ)。🤔课堂思考

若一个力对某点的矩为零，是否意味着该力对物体没有任何作用？单元一力学基础知识·力对点的矩任务四

力偶单元一力学基础知识驾驶员双手转动方向盘时，双手施加一对反向平行的作用力，使方向盘发生纯转动，并不会产生整体平移运动。这一对大小相等、方向相反、不共线的力即为力偶。力偶的作用效果是使物体产生转动，它无法使物体发生平移运动；单个力不能等效替代力偶的作用效果，力偶只能依靠力偶来平衡。掌握力偶的特点，是分析构件转动受力的基础，也是工程构件转动问题分析的关键切入点。案例导入：驾驶员双手转动方向盘场景描述核心思考单元一力学基础知识·力偶力偶的定义这种由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的特殊力系，被称为“力偶”。力偶没有合力，其唯一作用效果是使物体产生纯转动效应，是工程力学中分析刚体转动的重要基础。力偶等效变换推论力偶的等效变换揭示了刚体受力的转动特性规律。无论力偶在平面内如何移动，或力与力臂如何调整，只要力偶矩不变，其对刚体的作用效应就保持恒定。本质特征

力偶的作用效应仅由力偶矩决定，与力的具体数值或力臂长短无关。工程应用

—允许在力学分析中灵活简化力系，解决复杂的刚体平衡与受力计算问题。推论一平面内自由移动

—力偶可在作用平面内任意移动或转动，不改变对刚体的作用效果。推论二参数独立调整

—保持力偶矩大小和转向不变，可任意改变力的大小和力偶臂的长度。单元一力学基础知识·力偶力偶臂(d)实践证明，若组成力偶的力F（或F′）越大，或力偶臂d越大，则力偶使物体的转动效应就越强；反之，就越弱。因此，与力矩类似，用力偶中力的大小与力偶臂的乘积Fd来度量力偶在其作用面内对物体的转动效应，并把这一乘积冠以适当的正负号，称为此力偶的力偶矩，用符号m表示。力偶距(d)两力作用线之间的垂直距离，是决定力偶转动效果的关键几何参数。符号法则：

逆时针转向使物体转动时，力偶矩取正(+)；顺时针转向时取负(-)。计量单位：

国际单位制为牛·米(N·m)，工程实际应用中也常用千牛·米(kN·m)。力偶的性质力偶的独立性

——力偶无法合成为一个力，也不能用单个力等效替代，只能与另一个力偶实现平衡。力偶矩的恒定性

——力偶对作用平面内任意一点的矩恒等于力偶矩，计算结果与矩心的位置无关。力偶的等效条件

——同一平面内，若两个力偶的矩大小相等且转向相同，则它们互为等效，可相互替换。单元一力学基础知识·力偶力偶臂及力偶的性质力偶理论核心回顾01力偶定义：

由一对等值、反向、不共线的平行力组成，是刚体转动的基本力学模型。02力偶矩：

度量力偶的转动效应，公式为m=±Fd，正负号代表顺时针或逆时针转向。03核心性质：

无合力（不能简化为一个力）、对任意点的矩恒等于力偶矩、满足等效变换条件。04等效变换：

可在作用面内任意移转，可改变力的大小和力偶臂长度（只要矩不变）。🤔课堂思考力和力偶的根本区别是什么？（提示：力有移动+转动效应，力偶只有转动效应）单元一力学基础知识·力偶案例分析：力矩计算与合力矩定理关键要素•A点：矩心

•α：力与水平夹角

•a,b：力臂几何参数解题技巧：当力臂不易直接确定时，优先考虑将力正交分解，利用分力计算力矩，简化几何关系的求解。核心结论：正交分解法是解决复杂力矩问题的高效手段试计算图中力F对A点的矩：单元一力学基础知识单元小结本章梳理力学基础知识，静力学公理以及力矩与力偶等核心概念，掌握模型简化与受力分析基本方法，为后续学习打下理论基础。力矩与力偶能够熟练掌握力矩对物体转动效应的度量方法，深入理解力偶使物体产生纯转动的力学特性，识记并灵活运用力偶的平衡条件，初步学会利用力矩、力偶相关规律分析简单工程构件的转动平衡问题。力学模型能够准确区分刚体与变形固体，结合工程实际构件的受力与变形特点，针对具体的研究问题抓住主要矛盾、忽略次要因素，建立科学合理的力学简化模型，为后续开展构件的受力分析与计算奠定理论基础。力与力系明晰力的三要素、分类及力系的类型，掌握力系简化的基本思路。静力学公理理解二力平衡、加减平衡力系、力的平行四边形等核心公理。单元一力学基础知识作业布置01基础巩固：

计算图示各力F对点O的矩，熟练掌握力矩的定义、正负判定及计算方法。02工程案例：

针对挡土墙模型，计算自重W、铅垂土压力F₁、水平土压力F₂对点A的矩。03关键参数：

已知W=75kN，F₁=120kN，F₂=90kN，几何尺寸参照右侧示意图标注。04分析要求：

基于力矩计算结果，分析挡土墙是否存在倾覆风险，简述稳定条件。提交方式：

请写出详细计算步骤，下节课上课前提交纸质版作业，严禁抄袭。单元一力学基础知识部分学生仍然混淆二力平衡与作用力-反作用力，对“力偶不能等效为一个力”概念理解不到位。增加更多示意图动画可视化演示；增加课堂随堂演算，现场纠错；课后推送微课供学生自主复习难点。课堂亮点存在问题改进措施学习任务学习目标学习方法教学反思教学内容教学重点单元一力学基础知识全部任务采用工程、生活案例导入，将抽象力学概念具象化；理实结合落实课程思政，强化工程安全素养。资源链接1.理论力学基础概念2.刚体的概念3.变形固体及基本假设（视频）4.静力学公理5.力偶的定义6.静力学—静力平衡方程（视频）单元一力学基础知识谢谢以就业为导向，以实践技能为核心工程力学（第二版）目录工程力学单元一力学基础知识

单元二杆件和结构的受力分析与受力图单元三平面力系的合成与平衡单元四空间任意力系单元五轴向拉伸和压缩单元六扭转单元七平面弯曲单元八应力状态与强度理论单元九组合变形单元十压杆稳定单元二杆件和结构的受力分析与受力图工程力学单元二

杆件和结构的受力分析与受力图任务一约束及约束反力1.掌握常见约束类型（柔索约束、光滑接触面约束、铰链约束等）的特性，明确约束反力的方向与作用点判定规则。2.深入理解工程结构中约束的相互依存关系，从系统角度分析构件间的受力传递，培养整体化的工程思维与逻辑分析能力。任务二受力分析与受力图绘制1.熟练掌握受力分析的基本步骤，能够准确对单个杆件及复杂工程结构进行受力拆解，规范绘制受力图。2.建立严谨的工程绘图规范意识，理解受力分析是土建结构设计与安全评估的基础，树立精准、负责的职业使命感。学习重点学习目标学习方法学习任务教学内容教学反思学习任务学习重点学习方法学习目标教学内容教学反思单元二

杆件和结构的受力分析与受力图知识目标理解自由体、非自由体、约束及约束反力的核心概念。熟练识别7类典型约束，准确记忆各类约束反力的表达形式。掌握隔离体与受力图定义，牢记绘制受力图的完整规范步骤。快速识别二力杆构件，清晰区分作用力与反作用力关系。能力目标能够将实际工程构件简化为力学约束模型，准确判断约束反力方向。独立选取研究对象，规范绘制杆件、托架等构件的隔离体受力图。完成局部杆件与整体结构的受力图绘制，确保作用力与反作用力反向对应。素养目标树立严谨规范的绘图意识，养成一丝不苟的土建工程职业习惯。认知受力图是结构计算的基础，明确图纸失误对工程安全的重大隐患。培养系统分析思维，深刻理解构件间相互约束、依存的工程逻辑。学习重点1.掌握七种常见约束的约束反力特点与画法；2.熟练掌握受力图绘制的完整步骤与规范要求；3.准确判断二力杆，并灵活应用作用力与反作用力原理。学习难点1.深刻理解固定端支座约束反力偶的物理意义并正确绘制；2.精准选取隔离体，保证约束反力不多画、不漏画、不错画；3.协调分构件与整体受力图中作用力与反作用力的方向匹配。学习任务学习目标学习方法学习重点教学内容教学反思单元二：杆件和结构的受力分析与受力图单元二

杆件和结构的受力分析与受力图案例导入法（教法）•工程案例导入，激发兴趣；结合事故案例，理解原理•开篇引入典型工程实例，快速切入主题实物演示法（教法）•实物简图对照，直观认知；观察实体模型，建立概念•课堂实物展示与解析，化抽象为具体动画示范法（教法）•动画分步演示，规范绘图；动态拆解受力，理清步骤•多媒体动画辅助教学难点，突破理解瓶颈小组研讨法（学法）•小组思辨研讨，互助解惑，主动分享见解•定期开展小组协作探究，深化知识理解错题复盘法（学法）•典型错题自查，分析错误根源，总结规律•建立错题本定期温故知新，规避同类失误单元二

杆件和结构的受力分析与受力图学习任务学习目标学习重点学习方法教学内容教学反思任务一

约束及约束反力单元二

杆件和结构的受力分析与受力图工程警示案例01案例警示设计人员对天桥桁架节点处的约束条件做出了错误简化，受力分析、受力图画法出现偏差；设计时误以为该节点可以承受较大弯矩，实际该处的约束并不能承担这么大的弯矩。以此错误受力模型开展验算，计算出来的构件承载力明显大于真实能力。施工完成之后，在自重作用下，该节点首先开裂破坏，直接引发整座天桥瞬间垮塌。02核心思考如何将现实中复杂的建筑构件合理简化为力学简图？构件在实际工况下受到哪些约束限制？厘清这些问题，是确保结构分析准确、保障工程安全的核心前提。单元二

杆件和结构的受力分析与受力图·约束及约束反力2018年美国佛罗里达国际大学新建人行过街天桥，尚未正式投入使用就发生整体坍塌，造成6人死亡。约束的定义：对非自由体起限制作用的周围物体称为约束体，简称约束。例如，地基是基础的约束；基础是柱子（或墙）的约束等。约束是阻碍物体运动的物体，这种阻碍作用就是力的作用。约束反力：约束对被约束物体的作用力，方向始终与物体的运动趋势相反，是平衡分析的关键。在受力分析计算中，约束反力和已知的主动力共同作用使物体平衡，利用平衡条件就可以求解出约束反力来。促使物体产生运动或运动趋势的外力，如结构自重、外部荷载，是受力的根源。约束及约束反力力学中将物体分为自由体与非自由体：自由体运动不受任何限制（如飞行的炮弹）；非自由体的运动受到周围物体的限制（如建筑中的梁、柱）。约束正是对非自由体施加限制的关键条件，是工程力学分析的基础。单元二

杆件和结构的受力分析与受力图·约束及约束反力核心总结：约束力为约束作用于构件的力，约束反力是构件回作用于约束的力。约束分析的工程价值约束是工程结构受力分析的基础前提，准确识别约束类型是求解支座反力的关键，能精准判断结构受力边界条件，确保设计安全稳定。柔体约束构成：绳索、链条、皮带、钢丝绳等柔性体特点：只能承受拉力，无法承受压力与弯矩反力：沿绳索中心线背离被约束的物体光滑约束构成：光滑平面、曲面或刚性接触面特点：忽略摩擦，仅限制接触面法线方向移动反力：沿接触面法线指向被约束的物体单元二

杆件和结构的受力分析与受力图·约束及约束反力约束反力的内涵和特征约束反力是约束对被约束物体施加的阻碍其运动的作用力，是静力学分析中求解未知力的关键。它并非主动作用于物体，而是随物体运动趋势产生的被动力，是维持物体平衡的重要因素。●被动性特征：

仅当物体产生运动或运动趋势时才会产生，无趋势则无反力。●方向性原则：

方向始终与物体运动或运动趋势的方向相反，是判断反力方向的核心依据。●未知性求解：

大小无法直接观测，需通过静力学平衡方程（力与力矩平衡）联立求解。●主被动力区分：

主动力是促使运动的已知力（如重力），约束反力是阻碍运动的未知被动力。单元二

杆件和结构的受力分析与受力图·约束及约束反力01圆柱铰链约束构成：圆柱铰链简称铰链，是由一个圆柱形销钉插入两个物体的圆孔中构成，并且认为销钉和圆孔的表面都是光滑的。特点：

完全限制构件在平面内的水平和竖向移动，但允许构件绕铰链中心自由转动。约束反力：

圆柱铰链的约束反力是垂直于销钉轴线并通过销钉中心的，但方向未定。02链杆约束（二力杆）构成：两端用铰链与物体分别连接且中间不受力（自重忽略不计）的刚性杆，称为链杆约束。特点：

两端铰接的刚性直杆，中间不受外力作用，仅在两端承受沿杆轴方向的拉力或压力。约束反力：

反力方向严格沿杆件的轴线方向，根据受力平衡判断拉压。工程中常见的两类约束模型单元二

杆件和结构的受力分析与受力图·约束及约束反力支座约束的两种基本形式支座约束是工程力学中限制构件位移的关键装置，通过产生约束反力来保障结构的平衡与稳定。其中，固定铰支座与可动铰支座是最基础的两种形式，分别适用于不同的受力与位移需求场景。固定铰支座

固定铰支座只能限制构件在垂直于销钉平面内任意方向的移动，而不能限制构件绕销钉的转动，可见其约束性能与圆柱铰链的约束性能相同。所以，固定铰支座对构件的支座反力也通过铰链中心，而方向未定。可动铰支座

在固定铰支座下面加几个辊轴支撑于平面上，即构成可动铰支座。可动铰支座对构件的支座反力通过销钉中心，且垂直于支撑面。核心差异总结

两者的本质区别在于水平方向的约束能力：固定铰限制水平位移，反力有两个分量；可动铰释放水平自由度，反力仅垂直于支撑面。单元二

杆件和结构的受力分析与受力图·约束及约束反力支座定义与场景把构件和支撑物完全连接为一个整体，构件在固定端既不能沿任意方向移动，也不能转动的支座，称为固定端支座。核心约束特性•限制水平/竖向移动

•限制绕端点的转动

•无相对位移与转动•约束刚度最大化约束反力三要素•Fx：水平约束反力

•Fy：竖向约束反力

•M：约束反力偶

（平衡转动趋势）核心结论：固定端支座必须包含约束反力偶，这是区别于铰支座的关键特征固定端支座的约束机制⚠易错点特别提醒：

绘制受力图时极易漏掉“约束反力偶”，固定端支座必须包含该反力偶以平衡转动趋势，这是受力分析正确的关键。单元二

杆件和结构的受力分析与受力图·约束及约束反力7大类约束汇总01柔体约束：沿绳索背离物体方向，仅提供拉力，不可承受压力。02光滑接触面：反力沿接触面法线指向物体，忽略摩擦力影响。03圆柱铰链：反力可分解为水平与竖向分力，作用线过铰链中心。04链杆（二力杆）：约束反力沿杆件轴线，为轴向拉力或压力。05固定铰支座：限制水平与竖向移动，反力为两个正交分力。单元二

杆件和结构的受力分析与受力图·约束及约束反力06可动铰支座：仅限制垂直于支撑面的移动，反力方向垂直支撑面。07固定端支座（核心）：限制移动与转动，包含水平分力、竖向分力及约束反力偶，是结构力学中最重要的约束形式之一。任务二

杆件和结构的受

力分析与受力图单元二

杆件和结构的受力分析与受力图建筑工地上的塔吊案例01案例背景：不可或缺的施工重器建筑工地开展塔机顶升加高作业时，顶升销轴没有就位，工人仍继续施工。尽管塔吊的钢结构杆件没有发生断裂，但是整机受力失衡，倾覆力矩超过稳定力矩，塔吊发生整体倾覆，酿成重大伤亡事故。02核心问题：结构稳定性的奥秘当起重臂吊起沉重的建材时，如何防止塔身倾覆？关键在于精准分析起重臂与塔身连接点的受力情况，厘清拉力、重力与约束反力的动态平衡关系。核心结论：

隔离体与受力图法是解决工程力学问题的金钥匙，它将复杂的实际工况转化为简洁的力学模型，是保障建筑安全与结构设计的基石。单元二

杆件和结构的受力分析与受力图·杆件和结构的受力分析与受力图塔吊坍塌事故——造成7人死亡、2人重伤，直接造成经济损失折合人命币847.73万元隔离体与受力图——工程分析的基石单元二杆件和结构的受力分析与受力图·杆件和结构的受力分析与受力图01产生背景：化繁为简的智慧面对复杂的工程结构，直接分析整体受力如同“盲人摸象”。隔离体法将研究对象从环境中假想分离，是把复杂力学问题拆解为简单单元的核心手段，也是静力学分析的起点。02核心概念：定义与内涵隔离体：从整体中单独分离出来、用于研究的物体或部分。

受力图：清晰标注隔离体所受全部外力（主动力与约束反力）的图形，是力学分析的可视化语言。03工程意义：计算的基石受力图是静力学计算的“通行证”。唯有精准绘制受力图，才能正确列出平衡方程求解未知力，确保结构设计既安全可靠，又具备经济合理性。04课堂互动：小组思辨挑战讨论话题：若不画隔离体，直接分析复杂结构受力，可能出现哪些谬误？

行动：小组讨论2分钟，各派一名代表分享观点。01明确对象02画主动力03画约束反力核心原则：约束反力与约束类型一一对应检查验证：受力无遗漏、无多余分离研究对象，绘制隔离体轮廓，去除周围干扰物体，清晰界定分析范围，为后续受力分析打好基础。标注所有主动作用力（如重力、荷载），明确作用点位置，主动力是物体产生运动趋势的根源，需完整无遗漏。依据约束特性画约束反力，不主观臆断方向；铰支座、固定端等不同约束类型，对应不同的反力形式。画受力图的标准步骤单元二杆件和结构的受力分析与受力图·杆件和结构的受力分析与受力图01分析第一步：隔离体与主动力取梯子为研究对象，画出其隔离体模型。梯子受到的主动力为自身的重力W，作用于梯子的重心位置，方向竖直向下，这是受力分析的基本外力，也是力分析的基础起点。02关键环节：约束反力的判定光滑接触面反力：地面和墙面均为光滑接触面，地面给梯子的反力FNB垂直于地面向上，墙面给梯子的反力FNA垂直于墙面水平向右。绳索约束反力：D点处的绳索约束，其反力FTD沿绳索方向背离梯子，为水平向右的拉力。单元二杆件和结构的受力分析与受力图·杆件和结构的受力分析与受力图例题01研究对象与主动力分析选取梁AB作为研究对象，将其从周围物体中隔离出来。梁上受到的主动力为集中荷载F，作用于梁的中点位置，方向竖直向下，这是引起梁变形和内力的主要外力。02约束反力的判定与绘制A端固定铰支座提供水平与竖直约束反力，限制A点移动；B端可动铰支座仅提供垂直支撑面的反力，允许梁沿支撑面移动。三者构成平面任意力系，需通过平衡方程求解。题目：如图所示，梁AB上作用有已知力F，梁的自重不计，A端为固定铰支座，B端为可动铰支座，试画出梁AB的受力图。例题单元二杆件和结构的受力分析与受力图·杆件和结构的受力分析与受力图01斜杆BC分析（二力杆）斜杆BC两端均为铰链连接，且中间不受荷载作用，属于典型的二力杆，受力沿杆轴线方向，大小相等、方向相反。02水平杆AB分析水平杆AB受主动力F，A端固定铰支座提供水平与竖直反力，B端受斜杆BC的反作用力。03整体结构分析以整体为研究对象时，B处相互作用力为内力无需画出，仅考虑外部荷载F和A、C处支座反力。核心结论：整体受力分析时，内部相互作用力无需画出，仅分析外部荷载与支座反力单元二杆件和结构的受力分析与受力图·杆件和结构的受力分析与受力图例题题目：如图所示的三角形托架中，A、C处是固定铰支座，B处为铰链连接，各杆的自重及各处的摩擦不计，试画出水平杆AB、斜杆BC及整体的受力图。。

作用力与反作用力二者成对出现、方向相反；绘制整体受力图时，物体内部的相互作用力无需画出。

明确研究对象研究对象是受力分析的基础，对象不同受力图完全不同，需单独隔离分析。

不增不漏原则凡是物体接触位置，都应根据约束类型画出约束反力，切忌遗漏或凭空添加。严格匹配约束约束反力的方向与作用形式需严格匹配约束类型，不能凭主观想象随意绘制。

优先识别二力杆快速识别二力杆可大幅简化受力分析，其两端受力沿杆轴线方向，大小相等方向相反。单元二杆件和结构的受力分析与受力图·杆件和结构的受力分析与受力图受力图绘制五大步骤题目：画出如图所示各部分及整体的受力图（各杆自重不计）要点一：柔性约束绳索拉力沿中心线背离物体；可动铰支座反力垂直支承面，无水平分量。要点二：铰链与内力铰链考虑水平/竖直反力；整体受力图不画构件间内力。⚠️常见易错点警示•漏画反力：忽略铰链水平分量/误判支座方向

•内力外显：整体图错画构件间相互力

•方向错误：绳索拉力指向物体/支座反力方向错

•受力重复：反力重复标注且方向矛盾核心结论：受力图绘制需严格遵循“隔离物体、分清内外、准确约束”三大原则单元二

杆件和结构的受力分析与受力图例题本章小结单元二

杆件和结构的受力分析与受力图01约束与约束反力约束是对非自由体起限制作用的周围的物体。这种限制通过约束反力来实现。约束反力的方向，总是与物体运动或运动趋势的方向相反。02工程常见的约束工程中常见的约束有：固定铰支座，可动铰支座，固定端支座，光滑接触面约束，柔体约束，圆柱销钉约束，链杆约束等。本单元聚焦约束与受力分析的核心知识，深入解析了约束的本质与约束反力的判定规则，系统归纳了七种典型约束类型的特性。重点掌握受力图绘制的“三步法”，并熟知二力杆识别、内力处理及固定端反力偶等关键细节，为后续解决静力学平衡问题筑牢理论根基。01基础绘制：绘制指定各梁的受力图，作业中统一忽略杆件自身的重量，明确标注各类约束反力。02专项分析：单独针对杆件AB进行受力分析并绘制受力图，准确判断其受力类型与约束特性。03系统分析：分别画出体系中各构件的隔离体受力图，以及整个系统的整体受力图，对比两者差异。04规范要求：绘图需遵循标准力学规范，清晰标注力的名称、作用点及方向，线条工整，标注准确。单元二

杆件和结构的受力分析与受力图作业布置课堂亮点•结合工程实例与实物‑简图转化，把抽象约束具象化；•大量画图实操训练，讲练结合；•重点强调受力图错误带来工程风险。存在问题预判•学生易忘固定端支座需画约束反力偶；•易将构件内部相互作用力画到整体隔离图；•作用力与反作用力方向易画成同向。改进措施•增加易错点专项判断题训练；•课堂增加更多草稿现场批改；•课后推送典型错误受力图对比素材，强化辨析。单元二

杆件和结构的受力分析与受力图学习任务学习目标学习重点教学反思教学内容学习方法单元二

杆件和结构的受力分析与受力图资源链接1.理论力学：约束与反约束力定义2.常见约束及约束反力3.工程中杆件和桁架的受力分析4.杆件的应力和强度（视频）5.约束、约束力和约束公理：让物体运动的规则（视频）6.理论力学A：用虚位移原理解决静定系统约束力（视频）工程力学（第二版）谢谢！培育知行合一的工程力学专业素养工程力学（第二版）授课单元：单元三

平面力系的合成与平衡目录01

力学基础知识02

杆件和结构的受力分析与受力图03

平面力系的合成与平衡04

空间任意力系05

轴向拉伸和压缩06

扭转07

平面弯曲08

应力状态与强度理论09

组合变形10

压杆稳定静力学基础模块深入探索力与结构的平衡奥秘，掌握工程结构受力分析的核心逻辑，为后续工程设计与力学分析构建坚实的理论基石。

工程力学单元三

平面力系的合成与平衡工程力学（第二版）返回目录平面汇交力系的合成平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系的合成与平衡任务一平面力偶系的合成平面力偶系的平衡方程任务二

平面力偶系的合成与平衡力的平移定理力系向平面内任一点简化简化结果讨论任务三

平面一般力系向作用面内任一点简化平面一般力系的平衡方程平衡方程的应用平面平行力系

平面一般力系的平衡方程及应用任务四桁架的特点桁架的分类桁架内力分析

静定桁架内力计算任务五

单元三平面力系的合成与平衡学习目标教学重点学习方法教学内容教学反思学习任务01知识目标•掌握汇交力系：几何法、解析法合成，用平衡方程求未知力•掌握平面力偶系合成与平衡条件，理解力偶只能和力偶平衡的性质。•理解力的平移定理，掌握平面一般力系向一点简化的结果，分清主矢、主矩概念。•掌握一般力系平衡方程：基本式、二力矩式、三力矩式及其限制条件•掌握平行力系平衡方程；桁架理想假设，结点法、截面法算内力，判零杆。02能力目标•能够正确计算力在坐标轴上投影，用解析法求解平面汇交力系的合力与未知约束反力。•能够识别力偶荷载，利用力偶平衡条件求解支座反力。•会应用力的平移定理分析工程构件受力简化（牛腿、固定端支座）。•能够针对梁、刚架、支架选取合适平衡方程求解支座反力，规范书写解题步骤。•能够判别桁架零杆，会使用结点法、截面法计算桁架杆件轴力。03素养目标•建立“受力分析→力系简化→平衡求解”完整力学分析逻辑，养成严谨规范绘图、演算、正负号校验的职业习惯。•结合建筑刚架、塔吊、屋架桁架工程案例，树立结构安全意识，体会力学计算对土建工程的价值。•感悟力学理论来源于工程实践，培养求真务实、严谨审慎的工匠精神，理解高质量发展对土建技术人才的能力要求。。

单元三平面力系的合成与平衡学习任务教学重点学习方法教学内容教学反思学习目标01教学重点解析法与平衡方程：

掌握平面汇交力系合成的解析法，熟练运用平衡方程解决各类受力平衡问题。力偶系合成与平衡：

理解平面力偶系的合成规则，掌握其平衡条件的推导与实际应用场景。力系简化与平移定理：

运用力的平移定理，掌握平面一般力系向任一点简化的过程及结果分析。桁架内力高效计算：

精通静定桁架内力计算的结点法与截面法，快速识别零杆以简化计算流程，提升解题效率。02教学难点核心概念深度辨析：

透彻理解力的平移定理的物理内涵，清晰区分主矢、主矩与合力、合力偶的概念差异。平衡方程限制条件：

准确把握二力矩式、三力矩式的适用限制条件，避免因条件不符导致的求解错误。桁架解题策略突破：

掌握零杆的快速判别技巧，学会合理选取隔离体，灵活结合结点法与截面法解题。计算规范与技巧：

规范处理力矩与投影的正负符号，熟练运用联立方程的化简与求解技巧，确保计算结果准确无误。

单元三平面力系的合成与平衡学习任务学习目标学习方法学习重点教学内容教学反思掌握科学的学习方法，是提升本章知识吸收效率的关键所在学习任务学习目标学习重点学习方法教学内容教学反思小组讨论法交流碰撞互助解惑主动发言分享见解每周2次深度讨论例题模仿法模仿步骤规范解题吃透例题举一反三每日1-2道典型题错题归纳法复盘错题规避重复分析根源总结规律考前重点复习错题对比记忆法辨析异同加深记忆制作表格直观对比梳理易混概念清单总结提升知行合一巩固成效定期回顾温故知新灵活运用融会贯通

单元三平面力系的合成与平衡01/案例导入：从实际场景出发建筑脚手架体系高空作业的核心支撑，承受复杂的竖向与水平荷载，需精确计算节点受力与整体稳定性。悬挑雨篷结构典型的静定结构，一端固定一端自由，重点解决力矩平衡与抗倾覆问题，确保结构安全。大跨度桁架天桥利用桁架结构的几何不变性，实现大跨度跨越，有效减轻自重并节省材料，优化受力路径。02/核心思考：直击工程痛点Q1：约束反力如何求解？已知外部荷载，如何计算支座处看不见的约束反力？这是进行结构设计与安全校核的第一步。Q2：结构稳定性如何判定？如何判断支架在荷载作用下是否会发生倾覆？这需要我们掌握力矩平衡的临界条件。Q3：结构形式为何优选桁架？为何大跨度结构常采用桁架形式？这背后是对材料力学性能与受力传递路径的极致优化。核心引入：解决上述工程难题的关键，在于掌握平面力系的合成与平衡规律。本章将系统学习力系简化方法与平衡方程，为解决复杂工程问题提供理论支撑。

单元三平面力系的合成与平衡01平面汇交力系的合成与平衡01/05

单元三平面力系的合成与平衡01平面汇交力系定义若各力作用线在同一平面内汇交于一点，则该力系称为平面汇交力系。平面汇交力系的合成方法有几何法和解析法两种。02投影计算公式设力F与x轴夹角为α，则力在坐标轴上的投影为：

Fx=F·cosα

Fy=F·sinα

将矢量力转化为标量，是求解平衡方程的基础。03投影正负规则判定遵循坐标轴方向一致性原则：

✅同向为正：投影方向与轴正方向一致

❌反向为负：投影方向与轴正方向相反

符号的正确性直接影响计算结果。💡核心总结：平面汇交力系的合成与平衡，本质是将矢量运算转化为沿坐标轴的代数运算。掌握投影计算是解决此类静力学问题的关键钥匙。

单元三平面力系的合成与平衡·平面汇交力系的合成与平衡01两个汇交力的合成平行四边形法则：两个力可以合成为一个合力，其作用点也在A点，大小和方向由平行四边形的对角线表示。力三角形法则：求合力R时不必绘制整个平行四边形，只需绘制平行四边形的一半，即三角形便可。02多个汇交力的合成力多边形法则：将各力的矢量依次首尾相接得到一条矢量折线，然后将其始端与终端相连，得到一个封闭的矢量多边形。由A点指向E点的封闭边AE，即表示该力系的合力R的大小和方向。平面汇交力系合成的几何法

单元三平面力系的合成与平衡·平面汇交力系的合成与平衡平面汇交力系合成的解析法力在坐标轴上的投影定义：在直角坐标系Oxy平面内，从力F的两端点A和B分别向x轴作垂线，得垂足a和b，带有正负号的线段ab称为力F在x轴上的投影。同理可得在y轴上的投影。计算公式：X=Fcosα，Y=Fsinβ例题试分别求出如图所示的各力在x轴和y轴上的投影。已知F1=F2=F3=F4=F5=F6=100kN，各力的方向如图所示。例题3-2示意图

单元三平面力系的合成与平衡·平面汇交力系的合成与平衡解题步骤：根据力的投影计算公式X=Fcosα、Y=Fsinβ，分别代入各力的大小和方向角，计算每个力在x轴和y轴上的投影。定理内容平面汇交力系的合力在任一轴上的投影等于其各分力在同一轴上的投影的代数和。核心公式Rₓ=X₁+X₂+...+Xₙ=∑XRᵧ=Y₁+Y₂+...+Yₙ=∑Y合力投影定理平面汇交力系的平衡条件

单元三平面力系的合成与平衡·平面汇交力系的合成与平衡平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系平衡的充分必要条件是该力系的合力等于零，这是静力学分析中解决平衡问题的理论基石。01平衡方程数学表达：∑Fx=0，∑Fy=0通过建立正交坐标系，将矢量运算转化为代数运算，是求解未知力的核心工具。02物理本质状态特征：物体处于静止或匀速直线运动。力系对物体的平动效应相互抵消，确保了结构的稳定性与机械运行的平稳性。03求解应用解题能力：可求解两个独立的未知量。广泛应用于桁架节点受力分析、支座反力计算、绳索拉力及杆件内力求解等场景。

单元三平面力系的合成与平衡·平面汇交力系的合成与平衡💡核心总结：合力为零是平面汇交力系平衡的充要条件。在工程实践中，灵活运用正交分解法，将复杂的矢量平衡问题转化为简单的代数方程组，是解决静力学问题的关键步骤。例题：求约束反力【题目描述】如图3-10（a）所示，一构架由杆AB与AC组成，A、B、C三点都是铰接。A点悬挂重物D的重量为W，杆重忽略不计，试求杆AB、AC所受的力。💡关键提示：

由于墙面光滑，重物所受重力W是已知的主动力。AB和AC都是二力杆，它们对销钉A的约束反力应分别沿AB和AC，其指向一般都假设为拉力。📝解题思路：

①画出研究对象的受力图。当约束反力的指向未定时，可先假设其指向，②选取适当的坐标系，③列平衡方程求未知力，注意投影正负号；结果为负说明实际指向与假设相反。

单元三平面力系的合成与平衡·平面汇交力系的合成与平衡02平面力偶系的合成与平衡02/05

单元三平面力系的合成与平衡回顾力偶与力偶距01力偶的定义与特性力偶是由两个大小相等、方向相反、作用线平行但不共线的力组成的特殊力系。它的核心力学特征是：无法简化为一个合力，因此不能使物体产生平动效应，只能使物体产生纯转动效应。这一特性使其成为区别于单个力的独立力学模型，是分析物体转动平衡的基础。02力偶矩的计算与规则m=±F·d式中：F为力的大小，d为两力作用线间的垂直距离（力偶臂）。力偶矩是度量力偶转动效应的唯一物理量。▌符号判定规则：逆时针转动→取正(+)；顺时针转动→取负(-)。

单元三平面力系的合成与平衡·平面力偶系的合成与平衡回顾力偶的三要素01独有平衡特性力偶无法合成为单个力，因此不存在合力。这意味着力偶不能被一个力所平衡，只能与另一个力偶相互平衡。这是力偶区别于普通力的关键力学特征。02矩心无关性力偶对其作用平面内任意一点的矩，恒等于该力偶的力偶矩，与矩心的具体位置无关。这一特性极大地简化了力偶的受力分析，体现了其转动效应的空间一致性。03等效变换法则同一平面内，若两个力偶的矩大小相等且转向相同，则二者等效。由此可推：力偶可在平面内自由移转；亦可在保持矩不变的前提下，任意改变力的大小和力偶臂的长度。

单元三平面力系的合成与平衡·平面力偶系的合成与平衡💡核心点睛：力偶的转动效应完全由力偶矩的大小、转向以及作用平面这三个要素决定，这是进行平面力偶系合成与平衡计算的理论基石。01平面力偶系的合成根据力偶的性质，刚体在平面力偶系作用下，也只能产生转动，其转动效应等于各力偶转动效应之和，这样平面力偶系实际上与一个力偶等效。也就是说，平面力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。M=m₁+m₂+…+mₙ=∑m02平面力偶系的平衡条件平面力偶系平衡的充分必要条件是：该力系的合力偶矩等于零。这是解决工程静力平衡问题的核心依据，利用此条件可列出一个独立的平衡方程，求解一个未知量。∑m=0

单元三平面力系的合成与平衡·平面力偶系的合成与平衡核心要点：力偶只能与力偶平衡，这是平面力偶系平衡的独特特性。在解决实际工程问题时，需严格区分力与力偶的作用效应，利用平衡方程∑m=0可求解未知力偶矩或力偶臂等关键参数。例题：简支梁受纯力偶作用的支座反力求解▍题目背景与条件如图3-12（a）所示的简支梁AB，跨度l=6m，梁上作用有两个力偶，其矩分别为m1=15kN·m，m2=24kN·m，试求A、B两端的支座反力。01核心原理：力偶只能与力偶平衡根据平面力偶系平衡充要条件，合力偶矩为零（∑M=0）。由于外力是力偶，因此支座反力不能是单个力，必须由A、B处的反力构成一个反向力偶来平衡荷载力偶。02求解关键：反向力偶平衡方程取梁AB为研究对象，已知力偶m1、m2，支座反力YA、YB（YB过B点且垂直支承面）。因已知力系为力偶系，据"力偶只能与力偶平衡"，YA与YB必组成一力偶。

单元三平面力系的合成与平衡·平面力偶系的合成与平衡01求解方程公式：(FB=m·L)02结果分析•大小关系：A、B两端支座反力大小相等，均为20kN。

•方向特性：A端反力竖直向下，B端反力竖直向上，二者方向相反。

•平衡本质：两力构成一个逆时针方向的力偶，与原顺时针力偶大小相等、转向相反，满足力偶系的平衡条件。

单元三平面力系的合成与平衡·平面力偶系的合成与平衡核心结论：力偶只能与力偶平衡。在求解时，需利用“力偶的大小相等、转向相反”这一核心特性，通过建立力偶平衡方程来确定支座反力。03平面一般力系向作用面内任一点简化03/05

单元三平面力系的合成与平衡力的平移定理01力的平移定理核心定义作用在刚体上的力F，可以平移到刚体上的任意一点O，但必须同时附加一个力偶。这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点O的矩，是平面力系简化的理论基础。附加力偶矩的计算公式：mO(F)=±F·d其中，d为原力作用线到新作用点O的垂直距离；正负号表示力偶的转向（通常逆时针为正，顺时针为负）。力的平衡定理需注意：①平移后的力F′大小与作用点位置无关；附加力偶矩M=±Fd的大小、转向随位置而变，因力臂d随作用点改变。②平移定理：某点的力可等效为另一点的一个力加一个力偶；反之，同一平面内一个力与一个力偶可合成为一个力。💡

核心价值：力的平移定理是将复杂的平面一般力系简化为简单的基本力系（共点力系+力偶系）的关键桥梁，是解决工程力学平衡问题的重要工具。

单元三平面力系的合成与平衡·平面一般力系向作用面内任一点简化力系向平面内任一点简化基于力的平移定理，将平面一般力系中所有力平移至作用面内任意选定的简化中心O，通过矢量合成与矩的叠加，分解为两个核心物理量，从而实现复杂力系的简化分析。设刚体受一平面一般力系F1，F2，…，Fn作用，各力的作用点分别为A1，A2，…，An，如图3-15（a）所示。在力系的作用面内任选一点O，称为简化中心。根据力的平移定理，将各力全部平移到O点，并附加相应的力偶，则原力系等效变换为作用在O点的平面汇交力系F1′，F2′，…，Fn′，以及力偶矩分别为m1，m2，…，mn的附加力偶系，如图3-15（b）所示。由平面汇交力系合成的理论可知，F1′，F2′，…，Fn′可合成为作用于O点一个力R′，如图3-15（c）所示，即

单元三平面力系的合成与平衡·平面一般力系向作用面内任一点简化01合力偶作用条件：主矢R'=0，主矩MO≠0。

结果：力系简化为一个合力偶，矩为MO。此时主矩与简化中心位置无关，即无论选择哪个点作为简化中心，结果均为等效的力偶。02合力过简化中心条件：主矢R'≠0，主矩MO=0。

结果：力系简化为一个合力，其大小和方向与主矢R'完全一致，且合力的作用线恰好通过简化中心O点，平动效应由合力体现。03合力偏离中心条件：主矢R'≠0，主矩MO≠0。

结果：可进一步简化为合力R，方向与R'相同，作用线偏离简化中心。偏离距离公式：d=|MO|/R'，体现力的平移定理逆应用。04力系平衡状态条件：主矢R'=0，主矩MO=0。

结果：力系对物体的平动和转动效应均为零，物体处于平衡状态。这是平面一般力系平衡的充要条件，也是静力学分析的核心。

单元三平面力系的合成与平衡·平面一般力系向作用面内任一点简化固定端支座是工程力学中限制自由度最全面的约束类型，它不仅能阻碍物体在平面内的移动，还能阻止其绕固定点的转动，其约束反力的构成体现了平面力系简化的核心逻辑。01水平约束反力XA限制物体沿水平方向的位移，用于平衡水平方向的外力载荷。其方向需根据实际受力趋势判定，是固定端约束中限制移动的基础反力之一。02竖直约束反力YA抵消竖直方向的外力作用，防止物体发生竖向移动。它与水平反力共同构成了固定端的移动约束体系，保障结构在平面内的位置稳定。03约束反力偶MA唯一能限制物体转动的约束要素，由分布约束力对固定点的力矩叠加而成。这是固定端支座区别于铰支座的本质特征，确保结构不发生转动。核心总结：固定端支座的约束反力包含两个正交分力(XA,YA）和一个反力偶MA，这三个未知量构成了平面力系下固定端的完整约束体系。在工程计算中，需通过平面力系的三个平衡方程（∑X=0、∑Y=0、∑M=0）联立求解，是解决梁、刚架等结构力学问题的基础前提。

单元三平面力系的合成与平衡·平面一般力系向作用面内任一点简化例题：力的平移定理的工程应用——牛腿受力分析【题目背景】如图所示的牛腿上作用有吊车梁传来的荷载F，它与柱轴线间的距离为e。将力F平移到柱轴线上O点时，附加力偶的力偶矩为M=-Fe（顺时针转向），可以看出，力F′使柱子受压，而附加力偶M使柱子产生弯曲，正是由于此力偶的存在，才使得在压力相等的情况下，偏心受压柱比中心受压柱更易发生倾斜或出现裂缝。💡核心结论：平面力系向任一点简化，等效于一个作用于简化中心的主矢（决定平动）和一个绕该点的主矩（决定转动）。在工程中，这是分析固定端约束反力（力与力矩）的理论基础。

单元三平面力系的合成与平衡·平面一般力系向作用面内任一点简化平面一般力系向任意一点简化结果平面一般力系向任一点简化，得到一个力（主矢R*）和一个力偶（主矩MO），可能出现：1.**R*=0，MO≠0**：原力系合成一个合力偶，力偶矩等于主矩；因力偶对平面内任一点的矩都相同，主矩与简化中心位置无关。2.**R*≠0，MO=0**：原力系合成为一个过简化中心的合力，大小、方向与主矢相同。3.**R*≠0，MO≠0**：由平移定理逆过程进一步合成一个合力R，且MO(R)=∑MO(Fi)。01水平约束反力XA💡核心结论：平面一般力系的合力对其作用面内的任一点的矩等于力系中各分力对同一点的矩的代数和，这称为平面一般力系的合力矩定理。该定理对任一有合力的平面力系皆成立。利用该定理，可以简化某些情况下的力矩计算，还可以确定平面力系合力作用线的位置。

单元三平面力系的合成与平衡·平面一般力系向作用面内任一点简化04平面一般力系的平衡方程及应用04/05

单元三平面力系的合成与平衡平面一般力系的平衡方程01平衡的充分必要条件平面一般力系平衡的充要条件是：力系的主矢等于零，且对平面内任一点的主矩也等于零。这是力系平衡的理论基石。R'=0且∑M₀(F)=002平衡方程的基本形式（一矩式）最常用的表达形式，包含两个正交方向的投影方程和一个力矩方程，可独立求解平面内的三个未知量。∑Fx=0·∑Fy=0·∑M₀(F)=0工程分析基石是解决建筑结构、机械机构、桥梁设计等领域静力平衡问题的核心理论依据，支撑着结构安全性分析。解题核心步骤明确研究对象→绘制受力图→建立合适坐标系→列平衡方程→求解未知力（如支座反力）。典型应用场景广泛应用于梁、刚架、桁架等结构的内力分析与支座反力计算，是静力设计的基础工具。

单元三平面力系的合成与平衡·平面一般力系的平衡方程及应用平面一般力系的平衡方程01二力矩式平衡方程∑Xi=0，∑mA（Fi）=0，∑mB（Fi）=0在式中，若∑mA（Fi）=0、∑mB（Fi）=0两式成立，则力系只能合成为其作用线既通过A点又通过B点的一个合力R或者平衡，。若∑Xi=0也成立，且连线AB不垂直于x轴，合力R必为零。⚠️关键限制条件矩心A、B的连线不能垂直于所选的投影轴（如x轴），否则方程将不独立，无法求解全部未知量。02三力矩式平衡方程∑mA（F）=0，∑mB（F）=0，∑mC（F）=0式中，A、B、C三点不共线。若∑mA（F）=0和∑mB（F）=0成立，则力系合成结果只能是通过A、B两点的一个合力R或者平衡，若∑mC（F）=0也成立，则合力必然也通过点C，而一个力不可能同时通过不在一直线上的三点，因此力系必然平衡，即R=0。⚠️关键限制条件矩心A、B、C三点不能共线。若三点共线，方程将退化为两个独立方程，无法解出全部未知量。

单元三平面力系的合成与平衡·平面一般力系的平衡方程及应用平衡方程的应用01巧妙选择矩心优先选取多个未知力的交汇点作为矩心，利用力矩为零的特性直接消去这些未知力的项，避免繁琐的联立方程求解，从根本上简化计算步骤，大幅提升解题速度与准确率。核心策略：

矩心选在未知力交点，让未知力“消失”在力矩方程中。02优化设定坐标轴将坐标轴设定为与未知力方向平行或垂直：垂直时该力的投影为零，平行时投影计算直接简化为力的大小，有效减少投影运算的复杂度，快速构建简洁的投影平衡方程。核心策略：

坐标轴贴合未知力方向，最大化简化投影计算过程。💡工程解题心法：合理选择矩心与坐标轴是破解平面力系平衡问题的关键技巧，它能将复杂的数学运算转化为简单的代数求解，是高效解决力学问题的核心捷径。

单元三平面力系的合成与平衡·平面一般力系的平衡方程及应用解题技巧01核心平衡条件平面一般力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任一点的主矩同时为零。这是判断物体在平面力系作用下是否平衡的根本理论依据。02平衡方程基本形式（一矩式）水平投影平衡公式：sumFx=0所有力在x轴投影的代数和为零竖直投影平衡公式：sumFy=0所有力在y轴投影的代数和为零对任意点的矩平衡公式：summOF=0所有力对任意点的矩代数和为零

单元三平面力系的合成与平衡·平面一般力系的平衡方程及应用解题技巧：化繁为简的核心策略01优选矩心，消去未知力选择多个未知力的交汇点作为矩心，可直接消去这些未知力在力矩方程中的影响，将多元方程组简化为一元方程求解，极大降低计算复杂度，是解决平面力系问题的首要技巧。02巧设坐标，简化投影使坐标轴与未知力方向平行或垂直，可让力的投影计算直接简化为0或力的模长，避免复杂的三角函数运算，减少计算步骤，从而有效规避计算过程中的人为失误。核心总结：合理的矩心与坐标轴选择是解决平面一般力系平衡问题的“金钥匙”。通过巧妙的几何分析替代繁琐的代数运算，不仅能提高解题效率，更能保证结果的准确性，是工程力学解题中必须掌握的核心思维方式。

单元三平面力系的合成与平衡·平面一般力系的平衡方程及应用

例题解析：简支梁支座反力求解某房屋中的梁AB两端支承在墙内，构造及尺寸如下图所示。该梁简化为如图所示的简支梁（两端分别支承在固定铰支座和可动铰支座上的梁），不计梁的自重。求墙壁对梁A、B端的约束反力。。受力图解题核心思路：利用平面一般力系的三个平衡方程（∑Fx=0、∑Fy=0、∑M=0），结合支座约束特性（固定铰提供水平/竖向反力，可动铰仅提供竖向反力），建立方程联立求解，即可解出A、B端的支座反力分量。

单元三平面力系的合成与平衡·平面一般力系的平衡方程及应用总结解题步骤01确定研究对象选取梁AB作为独立的研究对象，将其从周围约束中隔离出来。明确分析主体是解决静力学平衡问题的第一步，确保后续受力分析的针对性。02绘制受力示意图全面分析外力与约束反力：主动力包括均布荷载q和集中力F；约束反力包括A端铰支座的水平反力Xₐ、竖直反力Yₐ，以及B端辊轴支座的竖直反力Yᵦ，清晰标注各力方向。03建立参考坐标系以铰支座A为坐标原点，设定x轴水平向右为正方向，y轴竖直向上为正方向。建立合理的坐标系是统一矢量方向、准确列写平衡方程的基础。04列写平衡方程求解依据平衡条件列方程：

①∑Fx=0→Xₐ=0；

②∑Mₐ(F)=0→Yᵦ·L-F·a-qL²/2=0；

③∑Fy=0→Yₐ+Yᵦ-F-qL=0。

单元三平面力系的合成与平衡·平面一般力系的平衡方程及应用05静定桁架内力计算05/05

单元三平面力系的合成与平衡01桁架定义02桁架组成

桁架组成如图所示，桁架中几根杆相互结合的地方称为结点，各杆件所处的位置不同有不同的名称。在上边的杆件称为上弦杆，在下边的杆件称为下弦杆，在中间的杆件称为腹杆。腹杆又可分为竖杆和斜杆。两个支座之间的距离称为跨度，桁架最高点到支座连线的距离称作桁高。弦杆上相邻结点的区间称为节间。桁架是指由若干直杆在两端用铰链连接组成的结构。与梁相比，当荷载只作用在结点上时，各杆的内力主要是轴力，横截面上的应力基本上是均匀分布的，这样可以充分发挥材料的潜力，因此桁架结构可以用更少的材料，跨越更大的跨度。这种结构在土木工程中有着广泛的应用，尤其是在大跨度的结构中，桁架更是一种重要的结构形式。如图所示的房屋中的钢屋架就属于桁架结构，桥梁、电视塔等也常采用桁架结构。桁架的特点

单元三平面力系的合成与平衡·静定桁架内力计算理想桁架模型01核心假设：理想桁架模型光滑铰结点结点为理想光滑铰链，仅传递轴力，不传递弯矩，这是简化计算的基础前提。杆件均为直杆各杆件轴线为直线，几何形状规则，确保内力仅沿杆件轴线方向传递。荷载结点作用所有外荷载与支座反力均集中作用于结点，保证杆件只受轴力，无附加弯矩。忽略杆件自重杆件自重远小于外荷载，计算时可忽略不计，大幅简化工程计算流程。02内力分析：轴力与符号规则桁架结构的核心受力特征是：所有杆件仅承受轴向拉力或轴向压力（统称「轴力」），不存在剪力与弯矩作用。这种受力特性是桁架结构轻巧高效的关键。拉力（正号+）杆件受拉，有伸长趋势，对结点产生背离的作用力。轴力为正值，设计时需重点验算杆件的抗拉强度。压力（负号-）杆件受压，有缩短趋势，对结点产生指向的作用力。轴力为负值，设计时需特别注意压杆的稳定性问题。单元三平面力系的合成与平衡·静定桁架内力计算

桁架分类静定平面桁架可以分为平行弦桁架、三角形桁架、梯形桁架、折线形桁架等。01根据外形分类静定平面桁架02根据几何组成方式分类

根据桁架的几何组成方式，桁架可以分为以下两种（1）简单桁架：由铰结三角形（基本几何不变体）开始，逐次增加二元体组成。（2）联合桁架：由两个或几个简单桁架按两刚片或三刚片规则联合组成。单元三平面力系的合成与平衡·静定桁架内力计算

01定义若各力的作用线在同一平面内互相平行时，则该力系称为平面