九年级数学上册《垂直于弦的直径》课件

第二十九章圆R·九年级数学上册29.2圆的有关性质29.2.1垂直于弦的直径学习目标1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.复习回顾

如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．圆是轴对称图形吗？探索新知探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，你发现了什么？重复做几次，由此你能得到圆具有怎样的对称性？能证明你的结论吗？圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.OMM′AB圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.如何证明？证明：设AB是⊙O的任意一条直径，M为⊙O上点A，B以外的任意一点.过点M作MM′⊥AB，交⊙O于点M′，垂足为N，连接OM，OM′.MM′ABON在△OMM′中，∵OM=OM′，∴△OMM′是等腰三角形.又∵MM′⊥AB，∴MN=M′N.即AB是MM′的垂直平分线，因此⊙O关于直线AB对称.利用圆的轴对称性可以知道，如果⊙O的直径AB垂直于弦MM′，垂足为N，那么M和M′是关于直径AB的对称点.你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？MM′ABON线段：MN=M′N.弧：MA=M′A，MB=M′B.由什么条件，得到什么结论?如果圆的一条直径和一条弦垂直，那么这条直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.MM′ABON几何语言：AB是☉O的直径AB⊥MM′MN=M′NMA=M′AMB=M′B垂径定理的作用：证明线段相等、角相等、弧相等，求半径和弦长.下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？OABCDEABOCABCDOEOBACDE注意：定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段.如图，AB是☉O的弦，半径OC⊥AB于点D.若AB=8，OC=5，则OD的长是______.牛刀小试ODABC3垂径定理的推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.OABCDF几何语言：AB是☉O的直径CF=DF（CD不为直径）AB⊥CDAC=ADBC=BD为什么强调这里的弦不为直径？归纳小结根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任意_____个条件都可以推出其他_____个结论.两三知二推三，可得10个结论！例1赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为

37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径长（结果保留小数点后一位）OCBAD转化AB=37CD=7.23解：如图，AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径长为Rm.OCBADR经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.由题设可知AB=37，CD=7.23，

18.5R–7.23OCBADR18.5R–7.23在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R–7.23)2.解得R≈27.3.因此，赵州桥主桥拱的半径长约为27.3m.方法总结在垂径定理及其推论的运用中，常涉及弦长a，弦心距d（圆心到弦的距离），半径r及弓形高h（弦所对的弧的中点到弦的距离），这四者关系如下.Orhd

Orhd

随堂练习1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为______.2.⊙O的直径AB=20cm，∠BAC=30°，则弦AC=______.3.已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为__________.5cm

14cm或2cm4.如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.求证AC=BD.【选自教材第125页练习第1题】OABCD证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M，∴AM=BM，CM=DM.∴AM–CM=BM–DM，即AC=BD.M5.如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E.求证：四边形ADOE是正方形.【选自教材第125页练习第2题】

6.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，且CD=4m，EM=6m.求⊙O的半径长.【选自教材第125页练习第3题】EOMDC

EOMDC7.如图，若PM=3，PN=4，PA=2，求☉O的半径.OBPAMNH

课堂小结垂径定理内容垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论知二推三辅助线两条辅助线：连半径，作弦心距.构造Rt三角形，利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形一、选择题(共12题，每题3分，共36分)1.如图，

B

，

C

是☉

O

上两点，且∠α＝96°，

A

是☉

O

上一个动点(不与

点

B

，

C

重合)，则∠

A

的度数为(

C

)A.48°B.132°C.48°或132°D.96°第1题图C1234567891011121314151617181920【解析】如图，在优弧

BC

上取一点A'，连接BA'，CA'，

∴∠A'＝48°.∵∠A'＋∠

A

＝180°，∴∠

A

＝132°.综上所述，∠

A

的度数为48°或132°.12345678910111213141516171819202.如图，在半径为5cm的☉

O

中，弦

AB

＝8cm，

OC

⊥

AB

于点

C

，则

OC

的长为(

A

)A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm第2题图A1234567891011121314151617181920【解析】如图，连接

OA

，则

OA

＝5cm.∵

OC

⊥

AB

，

在Rt△

OAC

中，

OA2＝

AC2＋

OC2，即52＝42＋

OC2，∴

OC

＝3cm(负值已舍去).12345678910111213141516171819203.如图，在☉

O

中，若∠

BOC

＝50°，则∠

BAC

的度数是(

C

)A.50°B.30°C.25°D.20°第3题图

C12345678910111213141516171819204.如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过

A

，

B

，

C

三点，那么

这条圆弧所在圆的圆心是(

B

)A.点

P

B.点

Q

C.点

R

D.点

M

第4题图B1234567891011121314151617181920【解析】作线段

AB

的垂直平分线，作线段

BC

的垂直平分线，如图，它们都经过点

Q

，所以点

Q

是这条圆弧所在圆的圆心.12345678910111213141516171819205.如图，将一把透明三角尺放置在量角器上，使点

C

与圆心重合，若∠

ACB

＝90°，∠

A

＝30°.三角尺的直角边

BC

和量角器所在圆的半径相

等，

D

是斜边

AB

与量角器的交点，若点

B

对应的刻度为138°，则点

D

对应的刻度为(

C

)A.52°B.72°C.78°D.82°第5题图C1234567891011121314151617181920【解析】如图，连接

CD

.

∵∠

ACB

＝90°，∠

A

＝30°，∴∠

B

＝90°－30°＝60°.∵

CD

＝

BC

，∴△

BCD

是等边三角形.∴∠

BCD

＝60°.∵点

B

对应的刻度为138°，∴点

D

对应的刻度为138°－60°＝78°.12345678910111213141516171819206.当一个三角形的内心与外心重合时，这个三角形一定是(

D

)A.直角三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形D12345678910111213141516171819207.如图，在边长为2的等边三角形

ABC

中，

D

是

BC

边上的中点，以点

A

为圆心，

AD

长为半径作圆与

AB

，

AC

分别交于

E

，

F

两点，则图中

阴影部分的面积为(

C

)第7题图C1234567891011121314151617181920

12345678910111213141516171819208.底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°，则这个圆锥的

高为(

D

)A.5cmB.3cmC.8cmD.4cmD1234567891011121314151617181920【解析】设圆锥的母线为

xcm，

∵圆锥的底面直径为6cm，∴圆锥的底面半径为6÷2＝3(cm).如图，圆锥的底面半径

OB

，母线

AB

，高

OA

构成一个直角三角形，则

AB

＝5cm，

OB

＝3cm.

故圆锥的高是4cm.12345678910111213141516171819209.如图，☉

O

是△

ABC

的内切圆，

D

，

E

分别为边

AB

，

AC

上的点，且

DE

为☉

O

的切线，若△

ABC

的周长为25，

BC

的长是9，则△

ADE

的周

长是(

A

)A.7B.8C.9D.16第9题图A1234567891011121314151617181920【解析】如图，∵

AB

，

AC

，

BC

，

DE

都和☉

O

相切，∴

BI

＝

BG

，

CI

＝

CH

，

DG

＝

DF

，

EF

＝

EH

.

∴

BG

＋

CH

＝

BI

＋

CI

＝

BC

＝9.∴

C△

ADE

＝

AD

＋

DE

＋

AE

＝

AD

＋

DF

＋

EF

＋

AE

＝

AD

＋

DG

＋

EH

＋

AE

＝

AG

＋

AH

＝

C△

ABC

－(

BG

＋

CH

＋

BC

)＝25－2×9＝7.123456789101112131415161718192010.对于“过直线

l

外一点

A

作这条直线的垂线”的几何作图，甲、乙均设

计了自己尺规作图的过程：甲：①在直线

l

上取一点

B

，连接

AB

，如图；②作线段

AB

的垂直平分线

EF

，交

AB

于点

O

；③以点

O

为圆心，

OB

长为半径作圆，交直线

l

于点

G

；④作直线

AG

，直线

AG

即为所求作的直线.1234567891011121314151617181920乙：①在直线

l

上取点

B

和点

D

，连接

AB

，

AD

，如图；②以点

B

为圆心，

BA

长为半径作圆；③以点

D

为圆心，

DA

长为半径作圆，两圆相交于点

A

和点

M

；④作直线

AM

，直线

AM

就是所求的直线.对于以上作图过程(

D

)A.甲对B.乙对C.甲、乙均不对D.甲、乙均对D1234567891011121314151617181920【解析】对于甲，由作图可知，

O

为

AB

的中点，∴

AB

为☉

O

的直径.∵

G

为☉

O

上一点，∴∠

AGB

＝90°.∴

AG

⊥

BG

，即

AG

⊥

l

.故甲作法正确；对于乙，如图，连接

BM

，

DM

.

由作图，可知

BA

＝

BM

，

DA

＝

DM

，∴

B

，

D

在

AM

的中垂线上.∴

BD

⊥

AM

，即

AM

⊥

l

.故乙作法正确.123456789101112131415161718192011.如图，等边三角形

ABC

的边长为4，☉

A

的半径为2，

D

是

BC

边上的

动点，

DE

与☉

A

相切于点

E

，

DE

的最小值是(

C

)A.2D.3第11题图C1234567891011121314151617181920【解析】如图，连接

AE

，

AD

，作

AH

⊥

BC

于点

H

.

∵

DE

与☉

A

相切于点

E

，∴

AE

⊥

DE

.

∵☉

A

的半径为2，

∴当

AD

取最小值时，

DE

有最小值，而当点

D

与点

H

重合时，

AD

最小.∵等边三角形

ABC

的边长为4，∴

BH

＝

CH

＝2.

1234567891011121314151617181920

第12题图

A.嘉嘉对，淇淇错B.淇淇对，嘉淇错C.嘉嘉错，嘉淇错D.淇淇错，嘉淇对A1234567891011121314151617181920

∴

PM

＝

OP

－

OM

＝5－3＝2.∴点

P

到

AB

的距离为2，故嘉嘉对；

1234567891011121314151617181920二、填空题(共4题，每题3分，共12分)13.如图，四边形

ABCD

内接于☉

O

，若四边形

ABCO

是平行四边形，

则∠

D

的度数为

⁠.第13题图60°

1234567891011121314151617181920

123456789101112131415161718192014.正

n

边形的中心角为72°，则

n

＝

；正

n

边形的每一个内角

为

⁠.

【方法点拨】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角之和

为360°是解答本题的关键.5

123456789101112131415161718192015.如图，△

ABC

内接于☉

O

，

AD

是☉

O

的直径，∠

ABC

＝30°，则∠

CAD

＝

⁠°.第15题图60

【解析】∵

AD

是☉

O

的直径，∴∠

ACD

＝90°.∵∠

CDA

＝∠

ABC

＝30°，∴∠

CAD

＝90°－∠

CDA

＝60°.123456789101112131415161718192016.[石家庄外国语学校开学考试]如图，已知△

ABC

为等腰直角三

角形，∠

BAC

＝90°，

AC

＝2，以点

C

为圆心，1为半径作圆，

P

为☉

C

上一动点，连接

AP

，并绕点

A

顺时针旋转90°得到AP'，连接CP'，则

CP'的取值范围是

⁠.

第16题图1234567891011121314151617181920【解析】如图，连接

CP

，BP'，由题意，得∠PAP'＝90°，又∵∠

BAC

＝90°，∴∠

CAP

＋∠CAP'＝∠BAP'＋∠CAP'＝90°.∴∠

CAP

＝∠BAP'.

∴△

APC

≌△AP'B(SAS).1234567891011121314151617181920∴

PC

＝P'B＝1.∴点P'在以点

B

为圆心，1为半径的圆上.在等腰直角三角形

ABC

中，∵

AC

＝2，

1234567891011121314151617181920三、解答题(共52分)17.(6分)如图，一量角器所在圆的直径为10cm，其外缘有

A

，

B

两点，

其读数分别为71°和47°.(1)劣弧

AB

所对的圆心角的度数为

°；【解析】劣弧

AB

所对圆心角的度数为71°－47°＝24°.24

1234567891011121314151617181920

123456789101112131415161718192018.(8分)如图，(1)请画出△

ABC

绕点

O

顺时针旋转90°后得到的△

A1

B1

C1；解：(1)如图，△

A1

B1

C1即为所作.1234567891011121314151617181920(2)求出(1)中点

C

旋转到点

C1所经过的路径长(结果保留π).

123456789101112131415161718192019.(8分)如图，

AC

，

BD

是☉

O

的切线，

C

，

D

为切点，连接

AB

.

(1)若

AB

与☉

O

相切于点

E

，求证：

AC

＋

BD

＝

AB

；证明：(1)∵

AB

与☉

O

相切于点

E

，且

AC

，

BD

是☉

O

的切线，

C

，

D

为切点，∴

AE

＝

AC

，

BE

＝

BD

.

∵

AB

＝

AE

＋

BE

，∴

AC

＋

BD

＝

AB

.

1234567891011121314151617181920(2)若

AC

＋

BD

＝

AB

，求证：

AB

与☉

O

相切.证明：(2)如答图，延长

AC

到点

F

，使得

CF

＝

BD

，连接

AO

，过点

O

作

OG

⊥

AB

，垂足为

G

，连

接

OB

，

OD

，

OC

，

OF

.

∵

CF

＝

BD

，

AC

＋

BD

＝

AB

，∴

AB

＝

AC

＋

CF

＝

AF

.

∵

AC

，

BD

是☉

O

的切线，

C

，

D

为切点，∴∠

BDO

＝∠

FCO

＝90°，

OC

＝

OD

.

1234567891011121314151617181920∴△

BDO

≌△

FCO

(SAS).∴

OB

＝

OF

.

又∵

AF

＝

AB

，

AO

＝

AO

，∴△

ABO

≌△

AFO

(SSS).∴∠

BAO

＝∠

FAO

，即

AO

平分∠

BAC

.

又∵

OG

⊥

AB

，

OC

⊥

AC

，∴

OG

＝

OC

.

∴

AB

与☉

O

相切.123456789101112131415161718192020.(8分)如图，

AB

为☉

O

的直径，弦

CD

⊥

AB

于点

F

，

OE

⊥

AC

于点

E

，若

OE

＝3，

OB

＝5，求

OF

的长.解：如图，连接

OC

.

∵

AB

⊥

CD

，

OE

⊥

AC

，∴

CF

＝

FD

，

AE

＝

EC

.

∵

OE

＝3，

OB

＝5，∴

OB

＝

OC

＝

OA

＝5.

∴

AE

＝

EC

＝4.1234567891011121314151617181920∴

AC

＝8.设

OF

＝

x

，则

AF

＝5＋

x

.在Rt△

CAF

中，

CF2＝

AC2－

AF2，在Rt△

OFC

中，

CF2＝

O