九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》课件

25.2降次——解一元二次方程25.2.4一元二次方程的根与系数的关系第二十五章一元二次方程R·九年级数学上册学习目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题．复习回顾1.一元二次方程的求根公式是什么？

2.如何用判别式b2–4ac来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)当b2–4ac>0时，方程有两个不等的实数根；当b2–4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2–4ac<0时，方程无实数根.方程的两根x1和x2与系数a，b，c还有其他关系吗？探索新知

m+nm–n发现：相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号.

你还有其他方法得出上述关系吗？如果一元二次方程ax2+bx+c=0

的左边可以分解因式为a(x–x1)(x–x2)，那么方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2.反过来，如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2，那么ax2+bx+c=a(x–x1)(x–x2)，即ax2+bx+c=ax2–a(x1+x2)x+ax1x2.由此可得–a(x1+x2)=b，ax1x2=c.

知识要点一元二次方程的根与系数的关系若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，

注意事项（使用前提）方程先化为一般式，确定a，b，c.a

≠0b2–4ac

≥0例5根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：（1）x2–6x–15

=0；（2）3x2+7x–9

=0；（3）5x–1

=4x2.解：（1）x1+x2=–(–6)=6，x1x2=–15.

牛刀小试一元二次方程abcx1+x2x1x2x2+7x+6=0176–763x2+2=1–5x351x(x–1)=3x+71–4–74–77x2–5=x+87–1–13与一元二次方程有关的代数式的常见变形：x12+x22(x1

–x2)2

｜x1–x2｜x1x22+x12x2=(x1+x2)2–2x1x2=(x1+x2)2–4x1x2

=x1x2(x1+x2)牛刀小试

2.设x1，x2

是方程2x2+4x–3=0的两个根，则：（1）x1x22+x12x2

=_______；（2）(x1

–x2)2=_______.310随堂练习

2.已知方程5x2+kx–6=0的一根是2，则另一根是_____，k=_____.–2–1

–7【选自教材第16页练习】（1）x2–3x=15；（2）3x2+2=1–4x；3.不解方程，求下列方程两个根x1，x2

的和与积：解：（1）方程化为

x2–3x–15=0，所以x1+x2=–(–3)=3，x1x2=–15.

（3）5x2–1=4x2–x；（4）2x2–x+2=3x+1.解：（3）方程化为

x2+x–1=0，所以x1+x2=–1，x1x2=–1.

解：依题意有x1+x2=–2，x1x2=–100.（1）x12+x22=(x1+x2)2–2x1x2=(–2)2–2×(–100)=204.

解：依题意有x1+x2=–2，x1x2=–100.（3）(x1–3)(x2–3)=x1x2–3(x1+x2)+9=–100–3×(–2)+9=–85.

5.已知关于x

的方程x2–(2m+3)x+m2=0的两根之和等于两根之积，求m的值.解：设方程x2–(2m+3)x+m2=0的两根为x1，x2.所以x1+x2=2m+3，x1x2=m2.根据题意得m2=2m+3，解得m1=3，m2=–1.当m=3时，原方程为x2–9x+9=0，b2–4ac=45>0.方程有实数根.当m=–1时，原方程为x2–x+1=0，b2–4ac=–3<0.方程无实数根，此m

值舍去.所以m的值为3.课堂小结一元二次方程的根与系数的关系先整理成一般式二次项系数不为0确定a，b，c的值Δ=b2–4ac≥0

ax2+bx+c=0（a≠0）一、选择题(共12题，每题3分，共36分)1.下列方程是一元二次方程的是(

C

)B.

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

，

b

，

c

均为常数)C.(2

x

－1)(3

x

＋2)＝5D.(2

x

＋1)2＝4

x2－3C1234567891011121314151617181920

A.3B.－3C.±3D.无法确定【解析】由题意，得

m

－3≠0，

m2－7＝2，解得

m

＝－3.B12345678910111213141516171819203.若

m

，

n

分别是一元二次方程

x2－4

x

＋1＝0的两个根，则

m2－3

m

＋

n

的值为(

A

)A.3B.4C.5D.6【解析】∵

m

，

n

分别是一元二次方程

x2－4

x

＋1＝0的两个根，∴

m2－4

m

＋1＝0，

m

＋

n

＝4.∴

m2－4

m

＝－1.∴

m2－3

m

＋

n

＝

m2－4

m

＋

m

＋

n

＝－1＋4＝3.A12345678910111213141516171819204.方程

x2－4

x

＝7的根的情况是(

C

)A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.有一个实数根5.将

x2－6

x

－4＝0进行配方变形，下列正确的是(

C

)A.(

x

－6)2＝13B.(

x

－6)2＝9C.(

x

－3)2＝13D.(

x

－3)2＝9CC12345678910111213141516171819206.如果关于

x

的一元二次方程(

m

－3)

x2＋3

x

＋

m2－9＝0有一个解是0，

那么

m

的值是(

B

)A.3B.－3C.±3D.0或－3B12345678910111213141516171819207.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月

份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为

x

，则根据

题意可列方程(

D

)A.50(1＋

x

)2＝175B.50＋50(1＋

x

)2＝175C.50(1＋

x

)＋50(1＋

x

)2＝175D.50＋50(1＋

x

)＋50(1＋

x

)2＝175D12345678910111213141516171819208.已知

a

是一元二次方程

x2－

x

－1＝0较大的根，则下列对

a

的值估计

正确的是(

B

)A.2＜

a

＜3B.1.5＜

a

＜2C.1＜

a

＜1.5D.0＜

a

＜1B1234567891011121314151617181920

1234567891011121314151617181920

A.10B123456789101112131415161718192010.小刚在解关于

x

的方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0)时，只抄对了

a

＝2，

c

＝1，解出其中一个根是

x

＝1.他核对时发现所抄的

b

值比原方程的

b

值

小1，则原方程的根的情况是(

A

)A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根C.有另一个根是

x

＝－1D.有两个相等的实数根

A1234567891011121314151617181920

123456789101112131415161718192011.若关于

x

的一元二次方程

nx2－2

x

－1＝0无实数根，则一次函数

y

＝

(

n

＋1)

x

－

n

＋1的图象不经过(

C

)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】∵关于

x

的一元二次方程

nx2－2

x

－1＝0无实数根，∴Δ＝4＋4

n

＜0，解得

n

＜－1，则－

n

＞1.此时

n

＋1＜0，－

n

＋1＞2，故一次函数

y

＝(

n

＋1)

x

－

n

＋1的图象不经过第三象限.C123456789101112131415161718192012.已知2是关于

x

的方程

x2－(5＋

m

)

x

＋5

m

＝0的一个根，并且这个方

程的两个根恰好是等腰三角形

ABC

的两条边长，则△

ABC

的周长为

(

B

)A.9B.12C.9或12D.6或12或15B1234567891011121314151617181920【解析】把

x

＝2代入方程

x2－(5＋

m

)

x

＋5

m

＝0，得4－2(5＋

m

)＋5

m

＝0，解得

m

＝2.方程可整理为

x2－7

x

＋10＝0，解得

x1＝2，

x2＝5.∵这个方程的两个根恰好是等腰三角形

ABC

的两条边长，∴等腰三角形

ABC

的腰长为5，底边长为2.∴三角形

ABC

的周长为5＋5＋2＝12.1234567891011121314151617181920二、填空题(共4题，每题3分，共12分)13.一元二次方程3

x

(

x

－2)＝－4的一般形式是

⁠.14.若关于

x

的一元二次方程

kx2－

x

＋1＝0有实数根，则

k

可取的最大

整数值为

⁠.3

x2－6

x

＋4＝0

－1

123456789101112131415161718192015.为增强学生体质，培养学生正确的体育思想和团队意识，2024年初

某市开展了“篮球进园”活动.近日，该市篮球协会要组织初中学校的篮

球队进行一次联赛，要求每两队之间进行一场比赛，计划安排6天，每

天比赛6场，则参加比赛的球队数是

⁠.

解得

x1＝9，

x2＝－8(不符合题意，舍去).则参加比赛的球队数是9.9

1234567891011121314151617181920

x

＝－1

x1＝1，

x2＝－3

1234567891011121314151617181920三、解答题(共52分)17.(每题3分，共12分)解方程：(1)(2

x

＋3)2－25＝0；解：(1)(2

x

＋3)2－25＝0.移项，得(2

x

＋3)2＝25.∴2

x

＋3＝5或2

x

＋3＝－5.解得

x1＝1，

x2＝－4.1234567891011121314151617181920(2)2

x2－7

x

－2＝0；

1234567891011121314151617181920(3)(

x

＋2)2＝3(

x

＋2)；

解：(3)(

x

＋2)2＝3(

x

＋2).移项，得(

x

＋2)2－3(

x

＋2)＝0.因式分解，得(

x

＋2)(

x

＋2－3)＝0.∴

x

＋2＝0或

x

＋2－3＝0.解得

x1＝－2，

x2＝1.1234567891011121314151617181920(4)

x2－2

x

－3＝0.解：(4)

x2－2

x

－3＝0.移项，得

x2－2

x

＝3.配方，得

x2－2

x

＋1＝3＋1，即(

x

－1)2＝4.∴

x

－1＝2或

x

－1＝－2.解得

x1＝3，

x2＝－1.123456789101112131415161718192018.(6分)下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的

任务.解：2

x2＋4

x

－8＝0.二次项系数化为1，得

x2＋2

x

－4＝0.…第一步移项，得

x2＋2

x

＝4.…第二步配方，得

x2＋2

x

＋4＝4＋4，即(

x

＋2)2＝8.…第三步

(1)小明解题过程中，从第

⁠步开始出现错误；三

1234567891011121314151617181920(2)请给出正确的解题过程.

123456789101112131415161718192019.(8分)已知关于

x

的一元二次方程

x2＋2

x

－(

m

－2)＝0有实数根.(1)求

m

的取值范围；解：(1)∵关于

x

的一元二次方程

x2＋2

x

－(

m

－2)＝0有实数根，∴Δ＝

b2－4

ac

＝22－4×1×[－(

m

－2)]＝4

m

－4≥0，解得

m

≥1.(2)若方程有一个根为

x

＝1，求

m

的值及另一个根.解：(2)将

x

＝1代入原方程，得1＋2－(

m

－2)＝0，解得

m

＝5.∴原方程为

x2＋2

x

－3＝(

x

－1)(

x

＋3)＝0，解得

x1＝1，

x2＝－3，∴

m

的值为5，方程的另一个根为

x

＝－3.123456789101112131415161718192020.(8分)如图，在矩形

ABCD

中，

AB

＝21cm，

BC

＝8cm，动点

E

从

点

A

出发，以3cm/s的速度沿

AB

向点

B

运动，动点

F

从点

C

出发，以2

cm/s的速度沿着

CD

向点

D

运动，当点

E

到达点

B

时，点

E

，

F

同时停

止.则

EF

的长为10cm时点

E

的运动时间是多少秒？1234567891011121314151617181920解：如图所示，过点

E

作

EM

⊥

CD

于点

M

，由题意知，当运动时间为

t

秒时，

AE

＝3

t

，

CF

＝2

t

，

EM

＝

BC

＝8，∴

MF

＝

AB

－

AE

－

CF

＝21－5

t

.根据勾股定理，得

MF2＋

ME2＝

EF2，即(21－5

t

)2＋82＝102，整理，得5

t2－42

t

＋81＝0.

123456789101112131415161718192021.(8分)课本再现人教版初中数学教科书九年级上册第23页数学活动对三角点阵中前

n

行

的点数计算进行了探究.如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多

行，其中第1行有一个点，第2行有两个点……第

n

行有

n

个点……小明同学发现，前2行的点数和是1＋2＝3，前3行的点数和是1＋2＋3＝

6，前4行的点数和是1＋2＋3＋4＝10……前

n

行的点数和是1＋2＋3＋4

＋5＋…＋

n

，他有点疑惑，能不能用含

n

的式子把1＋2＋3＋4＋5＋…

＋

n

表示出来.2122小明同学通过阅读课本知道了答案，但他仍在问自己这个结果是怎么来

的.经过思考后，他发现：设

S

＝1＋2＋3＋4＋…＋(

n

－1)＋

n

，①则

S

＝

n

＋(

n

－1)＋…＋4＋3＋2＋