2026年北京数学高考试题及答案

2026年北京数学高考试题及答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.已知集合A={x|1＜x＜3}，B={x|x≤0或x≥2}，则集合A∩B等于（）A.{x|1＜x＜2}B.{x|0＜x＜3}C.{x|2≤x＜3}D.{x|x＜0或x＞2}2.函数f(x)=log₃(x²-2x+1)的定义域为（）A.(0,1)∪(1,2)B.(0,2)C.RD.(1,∞)3.若向量a=(1，k)，b=(3，-2)，且a⊥b，则实数k的值为（）A.6B.-6C.3D.-34.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₃=5，S₅=20，则公差d等于（）A.1B.2C.3D.45.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，两次出现的点数之和为6的概率为（）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/186.已知圆O的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则圆心O到直线3x-4y+5=0的距离为（）A.1B.2C.3D.47.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期为（）A.πB.2πC.π/2D.π/48.已知三棱锥D-ABC的底面ABC为边长为2的正三角形，点D在底面上方，且AD⊥平面ABC，若AD=2，则三棱锥D-ABC的体积为（）A.√3/3B.√3C.2√3D.4√39.不等式|x-1|+|x+2|>3的解集为（）A.{x|x<-1或x>4}B.{x|-1<x<4}C.{x|x<-2或x>1}D.{x|x<-4或x>1}10.已知函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，且f(0)=0，f(1)=1，则不等式f(x²)>f(x)的解集为（）A.{x|0<x<1}B.{x|x>1}C.{x|x<0或x>1}D.{x|0<x<1或x>1}二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）11.若复数z=(2+i)/(1-i)，则|z|等于_________。12.已知函数f(x)=x³-3x+1，则f'(1)的值为_________。13.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且BC=2，则AC的长度为_________。14.已知圆C的方程为(x-2)²+(y-3)²=9，则圆C在x轴上截得的弦长为_________。15.若数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1，则a₅的值为_________。16.已知向量a=(1，2)，b=(3，k)，且|a+b|=√26，则实数k的值为_________。17.在等比数列{bₙ}中，若b₁=2，b₄=16，则公比q的值为_________。18.已知函数f(x)=e^x-1，则f(x)的反函数f⁻¹(x)的解析式为_________。19.在直角坐标系中，点P(x，y)到点A(1，0)的距离等于到点B(-1，0)的距离，则点P的轨迹方程为_________。20.已知某校高三年级学生身高（单位：cm）服从正态分布N(170，σ²)，若身高在160cm及以下的概率为0.2，则身高在180cm及以上的概率为_________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）21.若a²=b²，则a=b。22.函数f(x)=tan(x)在区间(-π/2，π/2)上单调递增。23.若数列{cₙ}是等差数列，则数列{cₙ²}也是等差数列。24.已知圆C₁：(x-1)²+y²=4和圆C₂：x²+(y+1)²=1，则两圆相交。25.若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上必有最大值和最小值。26.若a>0，b>0，则a²+b²≥2ab。27.已知直线l₁：y=2x+1和直线l₂：3x-ky+4=0，则当k=6时，l₁∥l₂。28.若复数z=m+mi（m∈R），则|z|的最小值为0。29.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，若其最小正周期为π，则ω=2。30.若样本数据x₁，x₂，…，xₙ的平均数为μ，则样本方差S²=(1/n)∑(xᵢ-μ)²。四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）31.已知函数f(x)=x²-4x+3，求f(x)在区间[1，3]上的最大值和最小值。32.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且a₁=1，aₙ₊₁=Sₙ+2，求a₅的值。33.已知圆C的方程为(x-1)²+(y-2)²=4，求圆C的圆心和半径。34.已知函数f(x)=e^x-1，求f(x)的反函数f⁻¹(x)。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）35.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且BC=2，求AC的长度和△ABC的面积。36.已知函数f(x)=x³-3x+1，求f(x)的极值点。37.在直角坐标系中，点P(x，y)到点A(1，0)的距离等于到点B(-1，0)的距离，求点P的轨迹方程。38.某工厂生产某种产品，已知固定成本为1000元，每生产一件产品需成本10元，售价为20元，求该工厂生产多少件产品时能实现利润最大化？【标准答案及解析】一、单选题1.C2.C3.A4.B5.A6.A7.A8.B9.A10.C解析：1.A∩B={x|1＜x＜2}，故选C。2.x²-2x+1=(x-1)²≥0，故定义域为R，选C。3.a•b=1×3+k×(-2)=0，解得k=6，选A。4.a₃=a₁+2d=5，S₅=5/2(2a₁+4d)=20，解得d=2，选B。5.点数和为6的组合有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5种，概率为5/36，选C。6.圆心(1，-2)，直线3x-4y+5=0到圆心的距离d=|3×1-4×(-2)+5|/√(3²+4²)=1，选A。7.sin函数周期为2π/ω=π，选A。8.V=1/3×底面积×高=1/3×(√3/4×2²)×2=√3，选B。9.|x-1|+|x+2|>3，分段讨论可得x<-1或x>4，选A。10.f(x²)>f(x)⇔x²>x⇔x<0或x>1，选C。二、填空题11.√5/212.-213.√214.615.3116.717.218.ln(x+1)19.x²+y²=120.0.2解析：11.z=(2+i)/(1-i)×(1+i)/(1+i)=3-i，|z|=√(3²+(-1)²)=√10/2=√5/2。12.f'(x)=3x²-3，f'(1)=3-3=0。13.由正弦定理sinC=2sin60°/(2)=√3/2，cosC=(2²+2²-BC²)/(2×2×2)=0，C=90°，AC=BC/tan45°=2。14.弦心距d=√(9-3²)=√0=0，弦长=2×√3=6。15.a₂=3，a₃=7，a₄=15，a₅=31。16.a+b=(4，k+2)，|a+b|=√(4²+(k+2)²)=√26，解得k=7。17.b₄=b₁q³⇒16=2q³⇒q=2。18.令y=e^x-1⇒x=ln(y+1)，反函数f⁻¹(x)=ln(x+1)。19.点P轨迹为以A、B为焦点的椭圆，方程为x²+y²=1。20.正态分布对称，P(X≥180)=P(X≤160)=0.2，故P(X≥180)=0.2。三、判断题21.×22.√23.×24.√25.×26.√27.×28.×29.×30.√解析：21.a²=b²⇒a=±b，故错。22.tan(x)在(-π/2，π/2)上单调递增，故对。23.cₙ²的公差为(cₙ₊₁)²-cₙ²=4d(cₙ+d)，非定值，故错。24.两圆半径和大于圆心距，故相交，选√。25.若f(x)在闭区间上连续，则必有最值，开区间不一定，故错。26.(a-b)²≥0⇒a²+b²≥2ab，故对。27.k=6时，l₁∥l₂⇒3×(-k)=2×4⇒k=-8，故错。28.|z|=√(m²+m²)=√(2m²)≥0，最小值为0，但需m=0，故错。29.T=2π/ω=π⇒ω=2，故对。30.样本方差定义正确，故对。四、简答题31.解：f(x)=(x-2)²-1，对称轴x=2，区间[1，3]上，f(1)=0，f(3)=0，最大值f(2)=-1，最小值f(1)=f(3)=0。32.解：aₙ₊₁=Sₙ+2⇒aₙ=Sₙ₋₁+2⇒aₙ₊₁-aₙ=2，{aₙ}为等差数列，a₁=1，公差d=2，a₅=1+4×2=9。33.解：圆心(1，2)，半径r=2。34.解：y=e^x-1⇒x=ln(y+1)，反函数f⁻¹(x)=ln(x+1)。五、应用题35.解：由正弦定理sinC=2sin60°/(2)=√3/2，C=90°，AC=BC/sinB=2/sin45°=2√2，面积S=1/2×BC×AC=1/2×2×2√2=2√2。36.解：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=